LightOJ 1136 Sigma Function(唯一分解定理)

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分析

  由唯一分解定理可以得出，对于一个数\(x\)，其约数和为：

• \(f(x)= (1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1})\times (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{a_2})\times ...\times (1+p_n+p_n^2+...+p_n^{a_n})\)

  显然如果\(p\)为\(2\)的话它的所有幂次和加上\(1\)的结果都是奇数，而其他的质数都是奇数，当它的最高幂次为偶数的时候，它的所有幂次之和加上\(1\)才是奇数，而只有上式中的所有每个括号里面的和都是奇数的情况下，\(f(x)\)的值才会等于奇数。也就是说，如果\(x\)为一个平方数或者\(x\)为一个平方数乘以\(2\)的幂次的数，那么\(f(x)\)的值一定是奇数。

具体实现

  计算小于\(n\)的所有平方数好说，它为\(sqrt(n)\)，但是还有乘以\(2\)的幂次的情况啊。其实，只要考虑乘以\(2\)的情况就行了，比如说一个平方数乘\(4\)，那么这个数肯定是一个平方数，前面已经计算过了，再比如说一个平方数乘\(8\)，其实就是乘\(4\)的那个平方数再乘\(2\)。所以排除掉平方数之后\(f(x)\)为奇数的数的数量为\(sqrt(n/2)\)。

int main(void) {
    int t,kase=1;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        ll n;
        scanf("%lld", &n);
        ll ans = n;
        ans -= (ll)sqrtl(n);
        ans -= (ll)sqrtl(n/2);
        printf("Case %d: %lld\n", kase++, ans);
    }
    return 0;
}