AcWing - 90 - 64位整数乘法(数学基础)

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今天学习lyd的蓝书学到一种新的解法，以前只会用龟速乘做，没想到还可以利用整型溢出来做，真是太妙了！
1.首先是龟速乘的做法，和快速幂思想差不多，就不多说了

ll solve(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = a, ans = 0;
    while(b) {
        if (b&1) ans = (ans+res)%p;
        res = (res<<1)%p;
        b >>= 1;
    }
    return ans%p;
}

2.然后就是另一种解法了，首先，我们假设\(a\times b\pmod p\)不会溢出，那么这个公式等价于\(a\times b-\lfloor a\times b\div p\rfloor\times p\)(为什么要搞这么个公式过会儿再讲)。好了，现在我们考虑一下会溢出
的情况，因为补码的性质，两数相乘超过64个进制位的数自会自动溢出(相当于模unsigned long long)，但是没有关西，因为我们要模p，而p最大不过1e18，所以我们的最终答案也一定不大于1e18，所以我们只要求出等式左半部分和右半部分的差就可以得到答案了。
现在我们最大的问题就是如何求\(\lfloor a\times b\div p\rfloor\)这一部分啦。这里有个巧妙的办法就是先让a和b去模p，那么a和b模p后的乘积一定不会大于\(p^2\)，我们用long double来存这个数，long double的有效数字是18~19个数字，超过的话会自动舍弃低位数字，前面说过了，我们a和b模p之后的结果不大于\(p^2\)，而之后我们还要除以p，所以只有前面p个数字对我们来说有价值的，刚好，long double的位数满足我们的需求！所以我们现在就能求出来等式两边的数了，这时候他们的差就是我们所要的结果。(可能有的同学还对利用溢出计算不太理解，你可以理解为我们对左右两边计算的结果模\(2^{64}\)然后做差)

ll solve(ll a, ll b, ll p) {
    a %= p, b %= p;
    ll c = (long double)a*b/p;
    ll ans = a*b - c*p;
    return (ans+p)%p;
}

3.我随后天真以为既然利用溢出计算，那么干嘛那么麻烦，这样不就行了吗hhhhhh

ll solve(ll a, ll b, ll p) {
    a *= b;
    if (a<0) a = -a;
    return a%p;
}

嗯...然后喜提wonderful answer, 我们\(a\pmod p\)相当于求\(\lfloor a\div p\rfloor \times p\)， 显然我们这么求溢出之后的a和原数根本不是一个数，那么相除的结果也不对(如果用long double)会面临精度不够的问
题，所以这就是为什么要用上面的公式了