数据结构 最小生成树（Prim算法（普里姆、Kruskal算法（ 克鲁斯卡尔））

8.8、最小生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图；若图中顶点数为n，则它的生成树含有$n-1$条边。

最小生成树

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。设R为图G的所有生产树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树（Minimum-Spanning-Tree，MST）。

注意：

• 最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一最小的
• 最小生成树的边数=顶点数 - 1
• 如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身
• 只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

Prim算法（普里姆）

从某个顶点开始构建生成树；每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止

Prim算法实现思想：

Kruskal算法（ 克鲁斯卡尔）

每次选择一条权值最小的边，使得这条边的两头连通（原本已经连通的就不选）；直到所有的结点都连通

Kruskal算法实现思想：

时间复杂度

Prim算法（普里姆）时间复杂度：$O(|V|^2)$；适用于稠密图

Kruskal算法（克鲁斯卡尔）时间复杂度：$O(|E|log_2|E|)$；适用于稀疏图