数据结构 树的基本概念

7、树和二叉树

7.1、树的基本概念

概念：

空树：结点数为0的数

非空树的特性：

• 有且仅有一个根结点
• 没有后继的结点称为"叶子结点"（或终端结点）
• 有有后继的结点称为"分支结点"（或非终端结点）
• 除了根结点外，每个结点都有且仅有一个前驱
• 每个结点可以有0个或者多个后继

属性描述：

• 结点的层次（深度）：从上往下数
• 结点的高度：从下往上数
• 数的高度（深度）：总共有多少层
• 结点的度：有几个孩子（分支）
• 树的度：各结点度的最大值

有序树：逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是有次序的，不能交换

无序树：逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是无次序的，可以交换

森林：是m（m>=0）棵互不相交的树的集合

树的常考性质1

结点数 = 总度数 + 1

树的常考性质2

树的度：各个结点的度的最大值 m叉树：每个结点最多只能有m个孩子的树

树的常考性质3

度为m的树第i层至多有$m^{i-1}$个结点（i>=1)

树的常考性质4

高度为h的m叉树至多有$\frac{m^i-1}{m-1}$个结点

总共有：$m^0 + m^1 + m^2 + ... + m^i$

树的常考性质5

高度为h的m叉树至少有h个结点

高度为h，度为m的树至少有$h+m-1$个结点

树的常考性质6

具有n个结点的m叉树的最小高度为$\left \lceil log_n(n(m-1)+1) \right \rceil$

答：最小高度就所有结点有m个孩子

$\frac{m^{h-1}-1}{m-1} < n <= \frac{m^h-1}{m-1}$

$m^{h-1} < n(m-1) + 1 <= m^h <$

$h-1 < log_m(n(m-1)+1) <= h$

$h_{min} = \left \lceil log_n(n(m-1)+1) \right \rceil$

7.2、二叉树

二叉树是n（n >= 0）个结点的有限集合

• 空二叉树，即n=0
• 有一个根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树分别又是一颗二叉树

特点：

• 每个结点至多有两颗子树，
• 左右子树不能颠倒（二叉树是有序数）

几个特殊二叉树

• 满二叉树。一颗高度为h，且含有$2^h - 1$个结点的二叉树

  特点：

  • 只有最后一层有叶子结点
  • 不存在度为1的结点
  • 按层次从1开始编号，结点为i的左孩子为$2i$，右孩子为$2i+1$，结点为i的父节点为$\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor$

  

• 完全二叉树。当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应。

  特点：

  • 还有最后两层可能出现叶子结点
  • 最多只有一个度为1的结点
  • 按层次从1开始编号，结点为i的左孩子为$2i$，右孩子为$2i+1$，结点为i的父节点为$\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor$
  • $i <=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$为分支结点，$i > \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$为叶子结点

  

• 二叉排序树。一颗二叉树或者空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树

  • 左子树的上所有结点的关键字均小于根结点的关键字
  • 右子树的上所有结点的关键字均大于根结点的关键字
  • 左子树和右子树又各是一颗二叉排序树

  

• 平衡二叉树。树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1

  

二叉树的常见考点

• 设非空二叉树中度为0、1和2的结点数分别为$n_0、n_1、n_2$，则$n_0 = n_2+1$

  解答：

  设总的结点数为n

  $n = n_0 + n_1 + n_2$

  $n = n_1 + 2n_2 + 1$

  所以：$n_0 = n_2+1$

• 具有n个（n>0）结点的完全二叉树的高度h为$\left \lceil log_2(n+1) \right \rceil $或者$\left \lfloor log_2(n) \right \rfloor + 1$

  推导：$\left \lceil log_2(n+1) \right \rceil$

  n个结点：h层最多为$2^h-1$，h-1层最多有$2^{h-1}-1$

  所以：$2^{h-1}-1<n<=2^h-1$

  所以：$h = \left \lceil log_2(n+1) \right \rceil$

  推导：$\left \lfloor log_2(n) \right \rfloor + 1$

  n个结点：h+1层至少有$2^h$个结点；h层至少有有$2^{h-1}$个结点

  所以：$2^{h-1}<=n<2^h$

  所以：$\left \lfloor log_2(n) \right \rfloor + 1$

• 对于完全二叉树，可以由的结点数n推出度为0、1和2的结点个数$n_0、n_1、n_2$

  完全二叉树最多只有一个度为1的结点，

  即：$n_1 = 0或1$

  由于$n_0 = n_2+1$ ==> $n_0 + n_2$为奇数

  所以：

  若完全二叉树有$2k$个（偶数）个结点，则必有$n_1 = 1;n_0 = k;n_2 = k-1$

  若完全二叉树有$2k-1$个（奇数）个结点，则必有$n_1 = 0;n_0 = k ;n_2 = k-1$