数据结构 矩阵的压缩存储

5、矩阵的压缩存储

5.1、对称矩阵的压缩存储

若n阶矩阵任意一个元素，都有的$a_{i,j} = a_{j,i}$的矩阵称为对称矩阵，

普通存储：二位数组存储需要n*n个位置

压缩存储策略：值存储对角线和下三角（或者对角线和上三角）

$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n-1} & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n-1} & a_{2,n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{pmatrix}$$

策略：储对角线 + 下三角 行优先原则

按行优先原则将个元素存储得到一维数组中

需要数组的大小为$1+2+3+...+n$ ---> $\frac{(n+1)\times n}{2}$

arr存储数组图片

$a_{i,j}$是一维数组的第几个元素了？，$a_{i,j}$前面有$(1+2+3+i-1)$个元素，加上第j列的第j个元素就是$a_{i,j}$的位置：$\frac{(i-1)\times i}{2} + j$个

由于数组下标从零开始，所以$a_{i,j}$的位置：$\frac{(i-1)\times i}{2} + j - 1$

即：$a_{i,j} = arr[\frac{(i-1)\times i}{2} + j - 1] （i>=j）$

策略：储对角线 + 下三角 列优先原则

需要数组的大小和行优先原则一样

arr存储数组图片

$a_{i,j}$是一维数组的第几个元素了？，$a_{i,j}$前面有$(n+n-1+n-2+n-j + 2)$个元素，加上第i行的第i个元素就是$a_{i,j}$的位置：$\frac{2nj + 3j -2n -2 -j^2}{2} + i$个

即：$a_{i,j} = arr[\frac{2nj + 3j -2n -2 -j^2}{2} + i - 1] （i>=j）$

5.2、三角矩阵的压缩存储

上三角或者下三角的全是相同常数的矩阵，叫三角矩阵

$\begin{pmatrix} a_{1,1} & c & ... & c & c\\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & c & c\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & ... & a_{n-1,n-1} & c\\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{pmatrix}$或者$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n-1} & a_{1,n}\\ c & a_{2,2} & ... & a_{2,n-1} & a_{2,n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ c & c & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\ c & c & ... & c & a_{n,n} \end{pmatrix}$

三角矩阵和对称矩阵差不多，只需要存储（对角线+下三角）或者（对角线+上三角）；不过需要多加一个三角的常数

策略：储对角线 + 下三角 行优先原则

需要数组的大小为$1+2+3+...+n+1$ ---> $\frac{(n+1)\times n}{2} + 1$

$$a_{i,j} = \left\{\begin{matrix} arr[\frac{(i-1)\times i}{2} + j - 1] (i>=j) \\ arr[\frac{(n+1)\times n}{2}] (i<j) \end{matrix}\right.$$

5.3、三对角矩阵的压缩存储

$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & 0 & ... & 0 & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{pmatrix}$$

三对角矩阵又称带状矩阵，当|i-j|>1时候，$a_{i,j} = 0$ （i，j<=n)

按照行优先（列优先）原则只可以存存储带状部分

出了第一行和最后一行只有两个元素，其他行都有三个元素

需要数组的大小为：$3n-2$

$a_{i,j}$前面有i-1行，所以前面就有$3(i-1)-1$个元素；又是第i行的$j-i+2$个元素；所以$a_{i,j}$是第$2i+j-2$个元素

即：$a_{i,j} = arr[2i + j - 3]$

例：如果知道数组的第k的位置，怎么得到它的i，j了？

显然：$3(i-1)-1 < k <= 3i-1$

$i < \frac{(k+1)}{3}+1$

因为i为整数 $i = \left \lfloor \frac{(k+1)}{3}+1 \right \rfloor$

由于 $k = 2i+j-3$

所以$j = k-2i+3$

5.4、稀疏矩阵的压缩存储

稀疏矩阵：非零元素的个数远远小于全部矩阵元素的个数

顺序压缩策略：

顺城存储：<行，列，值>

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

i(行)	j(列)	v(值)
1	2	1
2	3	2
2	6	4
3	5	5
4	4	7
4	6	2
5	3	3

可以定义一个结构体：

struct Sparse{
    int i;//行位置
    int j;//列位置
    ElemType v;//值的位置
};

十字链表：

可以定义两个结构体：

typedef struct OLNode{
    int i;//行位置
    int j;//列位置
    ElemType v;//值的位置
    struct OLNode *right,*down; //非零元素所在行和列的后继
}OLNode,*OLink;
 
typedef struct CrossList{
    int mu,nu,tu;//矩阵的行数，列数，非零的个数
    OLink *rhead,*chead;//稀疏矩阵的行和列的头指针
}CrossList;

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$