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yolov5数据增强引发的思考——透视变换矩阵的创建

yolov5的数据增强中，透视、仿射变换统一使用了random_perspective一个函数进行处理，包含了旋转、缩放、平移、剪切变换(shear,实际是按坐标轴方向变换，具体可看下文)、透视。其中下面这段代码的这个参数有点疑惑，因此寻找了不少透视变换的资料，这里记录我自己的思考。

仿射变换

仿射变换主要包括旋转、缩放、平移、shear等，仿射变换矩阵可以由旋转矩阵、平移矩阵等组合得到，仿射变换矩阵可以用如下矩阵表示。参考来源

旋转、平移等基础变换矩阵如下图所示，random_perspective函数内部也是根据相应旋转角度等参数构建相应的矩阵并组合起来。

透视变换

回到开始说的，yolov5源码说的透视参数对应矩阵M[2,0],M[2,1]，random_perspective函数也只是建议参数范围0~0.001，前面的旋转、平移、缩放、shear参数都有具体含义并得到相应的矩阵，透视变换相关的参数却只是给出了数值范围，因此困惑于这个参数具体代表什么含义？

查找很多资料，基本都是opencv怎么使用透视变换、或者怎么实现求解透视变换矩阵的问题（可参考链接）。我想知道的是，透视变换矩阵是怎样由旋转、平移等基本操作矩阵组合而来的，即矩阵M[2,0],M[2,1]参数是怎样的操作得到的。

于是想到透视变换是把图像投影到新的视平面，如上图所示，新平面如果与原图像平面平行那就是简单的仿射变换，不平行那就是绕x/y轴发生了旋转，即空间点的旋转变换。空间坐标系转换。
因此perspective参数应该是绕x，y轴旋转矩阵产生。
测试程序如下

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def __mylearn():
    colors = [(0, 0, 255), (255, 0, 0)]#红色绘制原始框，蓝色绘制变换后的框
    lw = 1
    #voc数据集的一张图片数据
    img = cv2.imread('../examples/2008_000109.jpg')
    src = img.copy()
    h, w, c = img.shape
    cx, cy = w / 2, h / 2
    bboxs = np.loadtxt('../examples/2008_000109.txt')
    cw, ch = 0.5 * bboxs[:, 3], 0.5 * bboxs[:, 4]
    bboxs[:, 3] = bboxs[:, 1] + cw
    bboxs[:, 4] = bboxs[:, 2] + ch
    bboxs[:, 1] -= cw
    bboxs[:, 2] -= ch
    bboxs[:, [1, 3]] *= w
    bboxs[:, [2, 4]] *= h
    srcboxs = bboxs.round().astype(np.int)
    #原始图像绘制bbox框
    for box in srcboxs:
        s = f'c{box[0]}'
        cv2.rectangle(src, (box[1], box[2]), (box[3], box[4]), color=colors[0], thickness=lw)
        cv2.putText(src, s, (box[1], box[2] - 2), cv2.FONT_HERSHEY_COMPLEX, 1.0, color=colors[0], thickness=lw)
 
    rotate = 10
    shear = 5
    scale = 0.8
    R, T1, T2, S, SH = np.eye(3), np.eye(3), np.eye(3), np.eye(3), np.eye(3)
    cos = math.cos(-rotate / 180 * np.pi)  # 图片坐标原点在左上角，该坐标系的逆时针与肉眼看照片方向相反
    sin = math.sin(-rotate / 180 * np.pi)
    R[0, 0] = R[1, 1] = cos  # 旋转矩阵
    R[0, 1] = -sin
    R[1, 0] = sin
    T1[0, 2] = -cx  # 平移矩阵
    T1[1, 2] = -cy
    T2[0, 2] = cx  # 平移矩阵
    T2[1, 2] = cy
    S[0, 0] = S[1, 1] = scale  # 缩放矩阵
    M = (T2 @ S @ R @ T1)  # 注意左乘顺序，对应，平移-》旋转-》缩放-》平移
    # M[:2]等价于cv2.getRotationMatrix2D(center=(cx, cy), angle=rotate, scale=scale)
    img = cv2.warpAffine(src, M[:2], (w, h), borderValue=(114, 114, 114))
    img=np.concatenate((src,img),axis=1)
    cv2.imwrite('affine.jpg', img)
 
    #再加上shear
    SH[0, 1] = SH[1, 0] = math.tan(shear / 180 * np.pi)  # 两个方向
    M = (T2 @ S @ SH @ T1)
    img = cv2.warpAffine(src, M[:2], (w, h), borderValue=(114, 114, 114))
 
    #bboxs坐标转换
    #srcboxs [n,5]
    # M矩阵用于列向量相乘，这里需要用转置处理所有坐标
    n=srcboxs.shape[0]
    xy = np.ones((n * 4, 3))#齐次坐标
    xy[:,:2]=srcboxs[:,[1,2,3,2,3,4,1,4]].reshape((n*4,2)) #顺时针xy,xy,xy,xy坐标
    transbox=(xy@M.T)[:,:2].reshape((n,8)).round().astype(np.int)
    for idx,box in enumerate(transbox):
        s = f'c{srcboxs[idx,0]}'
        cv2.line(img,(box[0], box[1]),(box[2], box[3]),color=colors[1],thickness=lw)
        cv2.line(img, (box[2], box[3]), (box[4], box[5]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.line(img, (box[4], box[5]), (box[6], box[7]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.line(img, (box[6], box[7]), (box[0], box[1]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.putText(img, s, (box[0], box[1] - 2), cv2.FONT_HERSHEY_COMPLEX, 1.0, color=colors[1], thickness=lw)
    img = np.concatenate((src, img), axis=1)
    cv2.imwrite('shrear.jpg',img)
    #透视变换
    #src=cv2.imread('../examples/test.png')
    P,RX,RY=np.eye(3),np.eye(3),np.eye(3)
    k=0.9
    def get_one_z(a,b,c):#z1,z2 get z (0~1)
        z1 = (-b + math.sqrt(b ** 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)
        z2 = (-b - math.sqrt(b ** 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)
        if z1>0 and z1<1:
            return z1
        else:
            return z2
    # 绕x轴旋转
    zx=get_one_z(1+w**2,-2,1-(k*w)**2)#一元二次方程求解
    #ax=math.atan((1-zx)/(w*zx))
    ax=math.asin((1-zx)/(k*w))
    cosx, sinx= math.cos(ax), math.sin(ax)
    RX[1, 1] = RX[2, 2] = cosx
    RX[1, 2] = -sinx
    RX[2, 1] = sinx
    img=cv2.warpPerspective(src,RX,(w,h))
    cv2.imwrite('perspective_rx.jpg', img)
 
    # 图像中心双轴旋转
    zy = get_one_z(1 + h ** 2, -2, 1 - (k * h) ** 2)  # 一元二次方程求解
    ay = math.atan((1 - zy) / (h * zy))
    cosy, siny = math.cos(ay), math.sin(ay)
    RY[0, 0] = RX[2, 2] = cosy
    RY[0, 2] = siny
    RY[2, 0] = -siny
 
    P=RX@RY
    print(P)
    M=T2@P@T1
    img = cv2.warpPerspective(src, M, (w, h))
    xy=xy @ M.T
    transbox = (xy[:, :2] / xy[:, 2:3]).reshape(n, 8).round().astype(np.int)
    for idx, box in enumerate(transbox):
        s = f'c{srcboxs[idx, 0]}'
        cv2.line(img, (box[0], box[1]), (box[2], box[3]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.line(img, (box[2], box[3]), (box[4], box[5]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.line(img, (box[4], box[5]), (box[6], box[7]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.line(img, (box[6], box[7]), (box[0], box[1]), color=colors[1], thickness=lw)
        cv2.putText(img, s, (box[0], box[1] - 2), cv2.FONT_HERSHEY_COMPLEX, 1.0, color=colors[1], thickness=lw)
    img = np.concatenate((src, img), axis=1)
    cv2.imwrite('perspective.jpg',img)

其中绕x,y轴的角度范围确定方式如下图，假设黑色垂直实线为视平面，绕x轴旋转alpha角度，空间点（0，y，z）透视后在视平面位置（0，y/z,1）处，即（0，0，1）~（0，y, z）段透视到视平面（0，0，1）~（0，y/z,1）段。我期望图像透视后整个y方向还占k比率范围。则有(1-z)**2+(hz)**2=(kh)**2,解得z后就可以求alpha大小