并查集的原理及其优化

并查集

顾名思义，并查集是支持“合并”和“查询”操作的集合。

合并操作针对的是两个区域，是将在图论中称为非连通块的区域合并为一个连通块。

查询操作则是查找两个节点是否连通。

而对于无序性的集合来说，需要特别说明，并查集能够操作的是无向图，并不适用于有向图强连通性。

原理和结构

为了方便表示，我们用树这种数据结构来实现并查集，每个节点都有一个父节点，我们定义一个pre[i]数组用于存放第i个节点的父节点。初始化如下：

for(int i = 1;i<=n;i++) pre[i]=i;

这样我们就得到了n个指向自己的节点。

合并

并查集是怎么实现合并操作的呢？最简单地，我们构造一条新的边，将被操作的两个节点连在一起，就能够实现合并操作。但是并不能直接合并，因为每个节点只有一个父节点。有这样一种情况：

节点1——节点2，此时我们认为节点1的父节点为节点2，也就是pre[1]=2，如果需要再将节点1和节点3合并。按照错误的思路，我们会写到pre[1]=3这样一个代码。注意到，此时节点1与节点2便不在连通，因为节点1指向了节点3。那么有人说，将节点2的父节点指向节点3不就好了。是的，这样问题就解决了，但是问题解决的原因是什么。节点1和节点2有什么不同？他们的关系是怎样的？

节点2是节点1的根。没错，之所以用节点2操作可以实现，就是因为节点2是根的这一特性。同样，我们也可以认为节点3是根，在这里将节点3指向节点2也是正确的。所以合并的关键就是对根进行操作。实现代码如下:

void merge(int x,int y){
	x=root(x),y=root(y);//先找到根节点
    if(x==y) return;//如果根节点相同，则已连通，直接return
    pre[x]=y;//pre[y]=x也可以
}

int root(int x){//方法一：递归
    return pre[x]==x?x:root(pre[x]);
}
int root(int x){//方法二：循环
	while(pre[x]!=x) x=pre[x];
}

查询

我们已经知道了并查集的原理和结构，也实现了合并操作，那么查询也就不难了。如何查询两个节点是否连通？考虑到我们树的数据结构，越往根节点走，节点之间的关系应该是越密切，因此我们判断是否的连通的条件就是根节点是否相同，同根即连通。实现代码如下：

if(root(x)==root(y)) return true;
return false;

算法优化

上面是基础的模板，这里进一步思考有没有更加高效的算法。我们注意到，无论是合并还是查询的操作，关键都是在找根节点来进行操作，操作的过程并不复杂，往往就是一行代码，而主要的时间都花在了找根节点上，那么如何减少浪费在找根节点的时间呢？一方面，我们可以优化我们的具体找根的过程，比如通过记忆化，如果节点1的根节点是10，那么在1-10之间的所有节0点，其根节点也都应该是10，那么我们就可以采用路径压缩。另一方面，我们可以考虑合并时花点心思，将树树形结构合并的又矮又胖，也能减少查询的次数。

路径压缩

时间复杂度：O(1)

原理刚刚已经讲过了，就是那么回事，直接上代码：

int root(int x){//方法一：递归
    return pre[x]=(pre[x]==x?x:root(pre[x]));//找到根后返回的过程中，给路径上的节点的pre都赋上根节点的编号
}
int root(int x){//方法二：循环
    int res = x;
    while(pre[res]!=res) res=pre[res];//res为根 
    while(pre[x]!=x){
	int y = x;
    x=pre[x];
    pre[y]=res;
    }//类似于链表的插入操作，只不过这里是将链表中要指向的新的节点改成根节点
}

路径压缩有一个弊端：那就是改变了原来的树形结构

按秩合并

时间复杂度：O(logn)

秩可以理解为树高，我们尽量保证得到一个每个树支上的秩都比较平均的树，而非一个很深很深，每次找根都要从头找到尾的树，因此合并时，可以按秩进行合并。将秩小的节点合并到秩大的节点上，此时秩不会改变，而当两部分秩相同，则根节点的秩+1

int rnk[N];
void merge(int x,int y){
    x=root(X),y=root(y);
    if(x==y)return;
    if(rnk[x]>rnk[y]) swap(x,y)//保证rnk[x]<=rnk[y]
    pre[x]=y;//秩小的指向秩大的
    if(rnk[x]==rnk[y]) rnk[y]++;//相等时需要更新根节点的秩
}

启发式合并（按大小合并）

时间复杂度：O(logn)

大小和秩的本质类似，都是为了避免又长又深的树，代码也类似

int sz[N];
void merge(int x,int y){
    x=root(X),y=root(y);
    if(x==y)return;
    if(sz[x]>sz[y]) swap(x,y)//保证sz[x]<=sz[y]
    pre[x]=y;//小的指向大的
    sz[y]+=sz[x]//根节点更新大小
}

int main(){
for(int i = 1;i<=n;i++)sz[i]=1;//不要忘记初始化，否则一直为0
}

总结大概就到此为止啦~