几何图形、函数、映射、范数

几何图形 -- 函数 -- 映射

函数与几何图形之间具有对应关系，尤其是对于三维以下的空间，函数是几何图形的数学描述，几何图形是函数的高度形象化；

但是当超过三维空间时，函数与几何图形就难以获得较好的想象，于是有了映射的概念，映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合；

数学上一般先讲映射，再讲函数，因为函数是映射的一种特例；

空间/向量/集合 --> 矩阵 --> 空间/向量/集合

为了更好的表达这种映射关系（这里特指线性关系），就引入了矩阵，即矩阵表征了空间之间的映射关系；

而空间通常用向量来表示，向量的基就是这个集合的最一般的关系；

也就是说，一个空间/集合/向量，通过一个映射关系（矩阵），得到了另一个空间/集合/向量；

范数的本质

范数的本质是距离，存在的意义是为了实现比较；比如一维空间中，我们随便取两个点4和9，我们知道9比4大，但是到了二维实数空间中，取两个点（1，1）和（0，3），这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入范数这个概念，把我们的（1，1）和（0，3）通过范数分别映射到实数 $\sqrt{2}$ 和 3 ，这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到，范数它其实是一种映