数的划分与放苹果问题

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5

1 5 1

5 1 1
问有多少种不同的分法。

 

* 本题类似n个苹果放入m个盘子中

* 此基础上加入盘子不能为空

 

* 思路： 

* m个苹果放在n个盘子中，那么定义函数为apple(m,n)：

* 1.m=0，没有苹果，那么只有一种放法，即apple(0,n)=1

* 2.n=1，只有一个盘中，不论有或者无苹果，那么只有一种放法，apple(m,1)=1

* 3.n>m，和m个苹果放在m个盘子中是一样的，即apple(m,n)=apple(m,m)

* 4.m>=n，这时分为两种情况： 

* 一、所有盘子都有苹果。 

* 二、不是所有盘子都有苹果。

* 不是所有盘子都有苹果和至少有一个盘子空着是一样的，即=apple(m,n-1)。

* 所有盘子都有苹果，也就是至少每个盘子有一个苹果，

* m个苹果中的n个放在n个盘子中，剩下的m-n个苹果，

* 这和m-n个苹果放在n个盘子中是是一样的，即=apple(m-n, n)。

* 这时，apple(m,n)=apple(m-n, n)+apple(m,n-1)。

 

#include <cstdio>

#include <iostream>

using namespace std; 

 

int n, k;



//a个苹果放入b个盘子中 

int dfs(int a, int b)

{

//没有苹果 和 只有一个盘子 

if(a == 0 || b == 1) 

return 1;

else if(a < b)  //苹果数 < 盘子数 等价于 苹果数 == 盘子数

return dfs(a, a);

else     //(无空盘)先b果放b盘,再a-b果放b盘 +  (至少有1个空盘)a果放b-1盘 

return dfs(a-b, b) + dfs(a, b-1); 

}



int main()

{

cin>>n>>k;

cout<<dfs(n-k, k);  //先每个盘子放个苹果 就保证盘子不为空 

return 0;

}