有上下界网络流建模方法
无源汇可行流
建模方法：
首先建立一个源ssss和一个汇tttt，一般称为附加源和附加汇。
对于图中的每条弧<u,v><u,v>，假设它容量上界为cc，下界bb，那么把这条边拆为三条只有上界的弧。
一条为<ss,v><ss,v>，容量为bb；
一条为<u,tt><u,tt>，容量为bb；
一条为<u,v><u,v>，容量为c−bc−b。
其中前两条弧一般称为附加弧。
然后对这张图跑最大流，以ssss为源，以tttt为汇，如果所有的附加弧都满流，则原图有可行流。
这时，每条非附加弧的流量加上它的容量下界，就是原图中这条弧应该有的流量。
理解方法：
对于原图中的每条弧，我们把c−bc−b称为它的自由流量，意思就是只要它流满了下界，这些流多少都没问题。
既然如此，对于每条弧<u,v><u,v>，我们强制给vv提供bb单位的流量，并且强制从uu那里拿走bb单位的流量，这一步对应着两条附加弧。
如果这一系列强制操作能完成的话，也就是有一组可行流了。
注意：这张图的最大流只是对应着原图的一组可行流，而不是原图的最大或最小流。
有源汇可行流
建模方法：
建立弧<t,s><t,s>，容量下界为00，上界为∞∞。
然后对这个新图（实际上只是比原图多了一条边）按照无源汇可行流的方法建模，如果所有附加弧满流，则存在可行流。
求原图中每条边对应的实际流量的方法，同无源汇可行流，只是忽略掉弧<t,s><t,s>就好。
而且这时候弧<t,s><t,s>的流量就是原图的总流量。
理解方法：
有源汇相比无源汇的不同就在于，源和汇是不满足流量平衡的，那么连接<t,s><t,s>之后，源和汇也满足了流量平衡，就可以直接按照无源汇的方式建模。
注意：这张图的最大流只是对应着原图的一组可行流，而不是原图的最大或最小流。
有源汇最大流
建模方法：
首先按照有源汇可行流的方法建模，如果不存在可行流，更别提什么最大流了。
如果存在可行流，那么在运行过有源汇可行流的图上（就是已经存在流量的那张图，流量不要清零），跑一遍从ss到tt的最大流（这里的ss和tt是原图的源和汇，不是附加源和附加汇），就是原图的最大流。
理解方法：
为什么要在那个已经有了流量的图上跑最大流？因为那张图保证了每条弧的容量下界，在这张图上跑最大流，实际上就是在容量下界全部满足的前提下尽量多得获得“自由流量”。
注意，在这张已经存在流量的图上，弧<t,s><t,s>也是存在流量的，千万不要忽略这条弧。因为它的相反弧<s,t><s,t>的流量为<t,s><t,s>的流量的相反数，且<s,t><s,t>的容量为0，所以这部分的流量也是会被算上的。
有源汇最小流
有源汇最小流的常见建模方法比较多，我就只说我常用的一种。
建模方法：
首先按照有源汇可行流的方法建模，但是不要建立<t,s><t,s>这条弧。
然后在这个图上，跑从附加源ssss到附加汇tttt的最大流。
这时候再添加弧<t,s><t,s>，下界为00，上界为∞∞。
在现在的这张图上，从ssss到tttt的最大流，就是原图的最小流。
理解方法：
我们前面提到过，有源汇可行流的流量只是对应一组可行流，并不是最大或者最小流。
并且在跑完有源汇可行流之后，弧<t,s><t,s>的流量就是原图的流量。
从这个角度入手，我们想让弧<t,s><t,s>的流量尽量小，就要尽量多的消耗掉那些“本来不需要经过<t,s><t,s>”的流量。
于是我们在添加<t,s><t,s>之前，跑一遍从ssss到tttt的最大流，就能尽量多的消耗那些流量啦QwQ。
