高斯消元（模版 + 理解 )
高斯消元快速入门
一、基本描述
学习一个算法/技能，首先要知道它是干什么的，那么高斯消元是干啥的呢？
高斯消元主要用来求解线性方程组，也可以求解矩阵的秩，矩阵的逆。在ACM中是一个有力的数学武器.
它的时间复杂度是n^3，主要与方程组的个数，未知数的个数有关。
那么什么是线性方程组呢?
简而言之就是有多个未知数，并且每个未知数的次数均为一次，这样多个未知数组成的方程组为线性方程组。
二、算法过程
其实高斯消元的过程就是手算解方程组的过程，回忆一下小的时候怎么求解方程组：加减消元，消去未知数，如果有多个未知数，就一直消去，直到得到类似kx=b（k和b为常数，x为未知数）的式子，就可以求解出未知数x，然后我们回代，依次求解出各个未知数的值，就解完了方程组。
换句话说，分两步：
1. 加减消元
2. 回代求未知数值
高斯消元就是这样的一个过程。
下面通过一个小例子来具体说明
0.求解方程组
有这样一个三元一次方程组：
1.消去x
①×(−3)+②①×(−3)+②得到
0x−y−2z=−40x−y−2z=−4
①+③①+③得到
0x+3y+2z=80x+3y+2z=8
从而得到
2.消去y
②×3+③②×3+③得到
0x+0y−4z=−40x+0y−4z=−4
进而得到
至此，我们已经求解出来了
下一步我们进行回代过程
3.回代求解y
将z=1z=1带入②②，求得
进而得到
4.回代求解x
将z=1,y=2z=1,y=2带入①①，求得
最终得到
至此，整个方程组就求解完毕了。
三、再解算法
对于方程组，其系数是具体存在矩阵(数组)里的，下面在给出实际在矩阵中的表示（很熟悉就可以跳过不看啦~）
0.求解方程组
X Y Z VAL
2 1 1 1
6 2 1 -1
-2 2 1 7
1.消去x
X Y Z VAL
2 1 1 1
0 -1 -2 -4
0 3 2 8
2.消去y
X Y Z VAL
2 1 1 1
0 -1 -2 -4
0 0 -4 -4
3.回代求解y
回代的时候，记录各个变量的结果将保存在另外一个数组当中，故保存矩阵的数组值不会发生改变，该矩阵主要进行消元过程。
X Y Z VAL
2 1 1 1
0 -1 -2 -4
0 0 -4 -4
四、再再解算法
说了这么多，其实有一些情况我们还没有说到。
通过上述的消元方法，其实我们比较希望得到的是一个上三角阵(省去了最后的val)
2 1 1
0 -1 -2
0 0 -4
下面问题来了：
Q1：系数不一定是整数啊？
A1：这时候数组就要用到浮点数了！不能是整数！
Q2：什么时候无解啊？
A2：消元完了，发现有一行系数都为0，但是常数项不为0，当然无解啦！比如：
X Y Z VAL
2 1 1 1
0 -1 -2 -4
0 0 0 5
Q3：什么时候多解啊？
A3：消元完了，发现有好几行系数为0，常数项也为0，这样就多解了！有几行为全为0，就有几个自由元，所谓自由元，就是这些变量的值可以随意取，有无数种情况可以满足给出的方程组，比如：
X Y Z VAL
2 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
您说这x,y,z不是无数组解嘛！
Q4：那什么时候解是唯一的啊！
A4：您做一下排除法，不满足2和3的，不就是解释唯一的嘛！其实也就是说我们的系数矩阵可以化成上三角阵。
五、代码实现
啰里啰嗦说了一堆，想必算法的流程已经熟悉了，代码如何实现呢？
更多类型的 高斯消元模板
#include<stdio.h> #include<algorithm> #include<iostream> #include<string.h> #include<math.h> using namespace std; const int MAXN=50; int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵 int x[MAXN];//解集 bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元 int gcd(int a,int b){ if(b == 0) return a; else return gcd(b,a%b); } inline int lcm(int a,int b){ return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出 } // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解， //-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数) //有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var. int Gauss(int equ,int var){ int i,j,k; int max_r;// 当前这列绝对值最大的行. int col;//当前处理的列 int ta,tb; int LCM; int temp; int free_x_num; int free_index; for(int i=0;i<=var;i++){ x[i]=0; free_x[i]=true; } //转换为阶梯阵. col=0; // 当前处理的列 for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚举当前处理的行. // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) max_r=k; for(i=k+1;i<equ;i++){ if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i; } if(max_r!=k){// 与第k行交换. for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]); } if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列. k--; continue; } for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行. if(a[i][col]!=0){ LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col])); ta = LCM/abs(a[i][col]); tb = LCM/abs(a[k][col]); if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加 for(j=col;j<var+1;j++){ a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb; } } } } // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换. if (a[i][col] != 0) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. if (k < var){ return var - k; // 自由变元有var - k个. } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (i = var - 1; i >= 0; i--){ temp = a[i][var]; for (j = i + 1; j < var; j++){ if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; } if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解. x[i] = temp / a[i][i]; } return 0; } int main(void){ // freopen("in.txt", "r", stdin); // freopen("out.txt","w",stdout); int i, j; int equ,var; while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){ memset(a, 0, sizeof(a)); for (i = 0; i < equ; i++){ for (j = 0; j < var + 1; j++){ scanf("%d", &a[i][j]); } } int free_num = Gauss(equ,var); if (free_num == -1) printf("无解!\n"); else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n"); else if (free_num > 0){ printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num); for (i = 0; i < var; i++){ if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1); else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } }else{ for (i = 0; i < var; i++){ printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } printf("\n"); } return 0; }
