最长递增子序列 O(NlogN)算法

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

//在非递减序列 arr[s..e]（闭区间）上二分查找第一个大于等于key的位置，如果都小于key，就返回e+1
int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key)
{
    int mid;
    if (arr[e] <= key)
        return e + 1;
    while (s < e)
    {
        mid = s + (e - s) / 2;
        if (arr[mid] <= key)
            s = mid + 1;
        else
            e = mid;
    }
    return s;
}

int LIS(int d[], int n)
{
    int i = 0, len = 1, *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1));
    end[1] = d[0]; //初始化：长度为1的LIS末尾为d[0]
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        int pos = upper_bound(end, 1, len, d[i]); //找到插入位置
        end[pos] = d[i];
        if (len < pos) //按需要更新LIS长度
            len = pos;
    }
    return len;
}

 

HDU 1950

/*
    HDU 1950 Bridging signals
            -----最长上升子序列nlogn算法
*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 40005

int arr[MAXN],ans[MAXN],len;

/*
    二分查找。 注意，这个二分查找是求下界的;  (什么是下界？详情见《算法入门经典》 P145)
    即返回 >= 所查找对象的第一个位置（想想为什么）
    也可以用STL的lowe_bound二分查找求的下界
*/

int binary_search(int i){
    int left,right,mid;
    left=0,right=len;
    while(left<right){
        mid = left+(right-left)/2;
        if(ans[mid]>=arr[i]) right=mid;
        else left=mid+1;
    }
    return left;
}

int main()
{

    int T,p,i,j,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&p);
        for(i=1; i<=p; ++i)
            scanf("%d",&arr[i]);

        ans[1] = arr[1];
        len=1;
        for(i=2; i<=p; ++i){
            if(arr[i]>ans[len])
                ans[++len]=arr[i];
            else{
                int pos=binary_search(i);   // 如果用STL： pos=lower_bound(ans,ans+len,arr[i])-ans;
                ans[pos] = arr[i];
        }

    }printf("%d\n",len);}
    return 0;
}