超大背包

Description

有重量和价值分别为 w_i ( 1 ≤ w_i ≤ 10¹⁵ )、v_i ( 1 ≤ v_i ≤ 10¹⁵ ) 的 n (1 ≤ n ≤ 40 )个物品。从这些物品中挑选总重量不超过 C (1 ≤ C ≤ 10¹⁵)的物品，求所选挑选方案中价值总和的最大值。

Input

多测试用例。每个测试用例：

第一行是 n 和 C，接下来有 n 行，每行两个正整数，分别是各个物品的 w_i 和 v_i

Output

每个测试用例输出一行：最大价值。

Sample Input

4 5
2 3
1 2
3 4
2 2

Sample Output

7

 因为价值和重量都太过于大，数组是完全开不下了，不能记录状态，所以考虑其他方法。

如果是去暴力，那么就是暴力枚举物品的组合，然后找到一个组合使得价值最大，复杂度为 O( 2^n )

这里 max( n ) == 40 ，所以时间复杂度还是大到无法接受，考虑是否能将问题规模降下来。

考虑折半枚举法，假设现 n == 40，折半思想是先把前 2^20 个物品的组合先枚举预处理出来 2^20 个 w、v

然后如果我们能对于这枚举出来的前 2^20 个和后面 2^20 个物品的某个组合结合然后找出最优的结果

最后从这 2^20 个最优结果中再取最优就是答案，问题就是如何对于预处理出来的前 2^20 个组合与后面结合产生最优

假设现在背包容量为 C ，在前 2^20 个物品组合中取出一个，价值为 vi 重量为 wi 

那么如果我们能从后 2^20 个中找出一个组合使得其在满足重量 w' ≤ C - wi 的情况下价值最大

只要对于后 2^20 个的所有组合处理出其重量和价值，然后根据重量排序且根据价值去重

这样就能用二分查找来加快查找速度！

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 42;
const LL INF = 0x3f3f3f3f;
pair<LL, LL> Pi[1<<(maxn/2)];
LL W[maxn], V[maxn], C;
int N;

int main(void)
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    while(~scanf("%d %lld", &N, &C)){

        for(int i=0; i<N; i++)
            scanf("%lld %lld", &W[i], &V[i]);

        int n = N>>1;
        for(int i=0; i<(1<<n); i++){/// 利用二进制法枚举子集，集合个数应当为 2^n
            LL SumW, SumV;
            SumW = SumV = 0;
            for(int j=0; j<n; j++){
                if(i >> j & 1){
                    SumW += W[j];
                    SumV += V[j];
                }
            }
            Pi[i] = make_pair(SumW, SumV);/// 将每个组合的 重量&&价值 用 pair 存起来
        }

        sort(Pi, Pi+(1<<n));/// 按照第一键值（重量）排序
        int num = 1;
        for(int i=1; i<(1<<n); i++)
            if(Pi[num-1].second < Pi[i].second)/// 这样的去重能找出在价值一样的情况下，保存最小的 w
                Pi[num++] = Pi[i];

        for(int i=0; i<num; i++){
            printf("%d %lld %lld", i, Pi[i].first, Pi[i].second);
            puts("");
        }

        LL res = 0;
        for(int i=0; i<(1<<(N-n)); i++){/// 枚举后半段的组合
            LL SumW, SumV;
            SumW = SumV = 0;
            for(int j=0; j<(N-n); j++){
                if(i >> j & 1){
                    SumW += W[n+j];
                    SumV += V[n+j];
                }
            }
            if(SumW <= C){
                int idx = (lower_bound(Pi, Pi+num, make_pair(C-SumW, INF)) - Pi)-1;
                pair<LL, LL> Temp = Pi[idx];
                res = max(res, SumV + Temp.second);
            }
        }

        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}