欧几里德算法 || 扩展欧几里德算法

参考文献：1. http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

2 . https://www.cnblogs.com/hadilo/p/5914302.html

一、欧几里得算法（重点是证明，对后续知识有用）

　　欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数

　　定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数

　　引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

　　证明：

　　　　设 r=a%b , c=gcd(a,b)

　　　　则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

　　　　r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

　　　　而b=yc

　　　　可知：y 与 x-py 互质

　　　　证明：

　　假设 y 与 x-py 不互质

　　设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质）

　　将 y 带入可得

　　x-pnk=mk

　　x=(pn+m)k

　　则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc

　　那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k

　　与原命题矛盾，则 y 与 x-py 互质

　　　　因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的最大公约数为 c

　　　　即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

　　　　得证

　　当a%b=0时，gcd(a,b)=b

递归算法：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

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优化：

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

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二、扩展欧几里得算法

　　扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

　　引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

　　证明：

　　当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

　　当 b!=0 时，

　　设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

　　又因 a%b=a-a/b*b

　　则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　　　得证

　　根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法

　　先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

　　再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解

　　不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

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扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

( 1 )exgcd 解不定方程（使用不将a与b转为互质的方法）

　　对于 ax+by=c 的不定方程，设 r=gcd(a,b)

　　当 c%r!=0 时无整数解

　　当 c%r=0 时，将方程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式

　　可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 x0 , y0

　　而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 *c/r 转变回去

　　（如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2）

　　则原方程解为 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r

　　通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数

　　证明：

　　　　将 x , y 带入方程得

　　　　ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c

　　　　ax+by=c

　　　　此等式恒成立

　　　　得证

　　这里 b/r 与 a/r 为最小的系数，所以求得的解是最多最全面的

　　证明：

　　　　为了推出证明中的 ax+by=c ，且想达到更小的系数，只能将 b/r 与 a/r 同除以一个数 s

　　　　而 b/r 与 a/r 互质，且 s 为整数，则 s=1 ，不影响通解

　　　　那么 b/r 与 a/r 就为最小的系数

　　　　得证

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)
        return false;
    int k=c/d;
    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
    return true;
}

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附加一道题的代码：

 #include<stdio.h>
 int a,b,c,x,y;
 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(!b)
     {
         x=1;
         y=0;
         return a;
     }
     int e=exgcd(b,a%b,x,y);
     int temp=x;
     x=y;
     y=temp-a/b*y;
     return e;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
     int k=exgcd(a,b,x,y);
     if(c%k)
        printf("Impossible\n");
     else
     {
         k=c/k;
         x*=k;
         y*=k;
         printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
     }
     return 0;
 }

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解出来的解后可以转化为最小整数解：

x=(x%b+b)%b;（求出的就是最小正整数解）；

套用exgcd模板求得的是一组特殊解，但其实这一个方程式是有一个解系，在很多问题中是要你求得最小整数解，下面我们就解决这个问题，在阅读过很多博客加上自己的理解总结了两种方法（其实差距不大）

1、a*x+b*y=gcd（a，b）

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    int x1,y1;
    exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;
    y=x1-(a/b)*y1;
}

x=(x%b+b)%b;（求出的就是最小正整数解）

2.可以说这是求最小正整数的模板

LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

LL cal(LL a,LL b,LL c)
{
    LL x,y;
    LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0) return -1;
　 　LL b_=b/gcd;
　　 x=(x*(c/gcd)%b_)%b_+b_)%b_;
　 　return x;
}

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这两种本质上没啥区别，只是在一些问题中a，b等系数可能为负，第一种需要预处理，而第二种则可以直接用

附上学习代码处：https://blog.csdn.net/tianyuhang123/article/details/52102686

还会往下拓展。。。。尽情期待！

posted @ 2018-04-26 20:13 shuai_hui 阅读(4434) 评论(2) 编辑收藏举报

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shuaihui

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