HDU4035 Maze (概率DP)

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题意：
有n个房间，由n-1条隧道连通起来，实际上就形成了一棵树，
从结点1出发，开始走，在每个结点i都有3种可能：
1.被杀死，回到结点1处（概率为ki）
2.找到出口，走出迷宫 （概率为ei）
3.和该点相连有m条边，随机走一条
求：走出迷宫所要走的边数的期望值。

设 E[i]表示在结点i处，要走出迷宫所要走的边数的期望。E[1]即为所求。

叶子结点：
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)*(E[father[i]] + 1);
= ki*E[1] + (1-ki-ei)*E[father[i]] + (1-ki-ei);

非叶子结点：（m为与结点相连的边数）
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)/m*( E[father[i]]+1 + ∑( E[child[i]]+1 ) );
= ki*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei)/m*∑(E[child[i]]) + (1-ki-ei);

设对每个结点：E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[father[i]] + Ci;

对于非叶子结点i，设j为i的孩子结点，则
∑(E[child[i]]) = ∑E[j]
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[father[j]] + Cj)
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj)
带入上面的式子得
(1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj)*E[i] = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei) + (1-ki-ei)/m*∑Cj;
由此可得
Ai = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Bi = (1-ki-ei)/m / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Ci = ( (1-ki-ei)+(1-ki-ei)/m*∑Cj ) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);

对于叶子结点
Ai = ki;
Bi = 1 - ki - ei;
Ci = 1 - ki - ei;

从叶子结点开始，直到算出 A1,B1,C1;

E[1] = A1*E[1] + B1*0 + C1;
所以
E[1] = C1 / (1 - A1);
若 A1趋近于1则无解...+

/*
HDU 4035

    dp求期望的题。
    题意：
    有n个房间，由n-1条隧道连通起来，实际上就形成了一棵树，
    从结点1出发，开始走，在每个结点i都有3种可能：
        1.被杀死，回到结点1处（概率为ki）
        2.找到出口，走出迷宫 （概率为ei）
        3.和该点相连有m条边，随机走一条
    求：走出迷宫所要走的边数的期望值。

    设 E[i]表示在结点i处，要走出迷宫所要走的边数的期望。E[1]即为所求。

    叶子结点：
    E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)*(E[father[i]] + 1);
         = ki*E[1] + (1-ki-ei)*E[father[i]] + (1-ki-ei);

    非叶子结点：（m为与结点相连的边数）
    E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)/m*( E[father[i]]+1 + ∑( E[child[i]]+1 ) );
         = ki*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei)/m*∑(E[child[i]]) + (1-ki-ei);

    设对每个结点：E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[father[i]] + Ci;

    对于非叶子结点i，设j为i的孩子结点，则
    ∑(E[child[i]]) = ∑E[j]
                   = ∑(Aj*E[1] + Bj*E[father[j]] + Cj)
                   = ∑(Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj)
    带入上面的式子得
    (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj)*E[i] = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei) + (1-ki-ei)/m*∑Cj;
    由此可得
    Ai =        (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)   / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
    Bi =        (1-ki-ei)/m            / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
    Ci = ( (1-ki-ei)+(1-ki-ei)/m*∑Cj ) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);

    对于叶子结点
    Ai = ki;
    Bi = 1 - ki - ei;
    Ci = 1 - ki - ei;

    从叶子结点开始，直到算出 A1,B1,C1;

    E[1] = A1*E[1] + B1*0 + C1;
    所以
    E[1] = C1 / (1 - A1);
    若 A1趋近于1则无解...

*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN=10010;
const double eps=1e-9;//这里1e-8会WA。设为1e-9和1e-10可以
double k[MAXN],e[MAXN];
double A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN];

vector<int>vec[MAXN];//存树

bool dfs(int t,int pre)//t的根结点是pre
{
    int m=vec[t].size();//点t的度
    A[t]=k[t];
    B[t]=(1-k[t]-e[t])/m;
    C[t]=1-k[t]-e[t];
    double tmp=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int v=vec[t][i];
        if(v==pre)continue;
        if(!dfs(v,t))return false;
        A[t]+=(1-k[t]-e[t])/m*A[v];
        C[t]+=(1-k[t]-e[t])/m*C[v];
        tmp+=(1-k[t]-e[t])/m*B[v];
    }
    if(fabs(tmp-1)<eps)return false;
    A[t]/=(1-tmp);
    B[t]/=(1-tmp);
    C[t]/=(1-tmp);
    return true;
}
int main()
{
    int T;
    int n;
    int u,v;
    int iCase=0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        iCase++;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)vec[i].clear();
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            vec[u].push_back(v);
            vec[v].push_back(u);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf%lf",&k[i],&e[i]);
            k[i]/=100;
            e[i]/=100;
        }
        printf("Case %d: ",iCase);
        if(dfs(1,-1)&&fabs(1-A[1])>eps)
        {
            printf("%.6lf\n",C[1]/(1-A[1]));
        }
        else printf("impossible\n");
    }
}