[USACO12FEB]牛的IDCow IDs 一题多解（求二进制中有k个1 ，第n大的数)
题目：
FJ给他的奶牛用二进制进行编号，每个编号恰好包含K 个"1" (1 <= K <= 10)，且必须是1开头。FJ按升序编号，第一个编号是由K个"1"组成。
请问第N(1 <= N <= 10^7)个编号是什么。
不同寻常的暴力：
样例是升序的第7个，我把1--7都列出来。
1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
发现的规律是，每次将二进制串的从右往左数的第1个前面为0的1往左移一位。
这个1右边的1全部靠后。 其实想想也很容易可以想出答案：既然我要移动1的位置了，那肯定是高位拉 ， 那我后面的1就是反正最后咯，这样才可以是理论上的最小;
a[i]表示的是第i个1的位置，初始值为(按阳历来说)第一个1的位置是1，第二个
1的位置是2，第三个1的位置是3.二进制也就是1 1 1 。
能移动的条件是，当前1的位置+1不等于
下一个1的位置，也就是前面是空的。然后就这样啊....
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k,j;
int a[13];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=i;
for(int i=2;i<=n;i++){
j=1;
while(1){
a[j]++;
if(a[j]!=a[j+1])break;
a[j]=j;
j++;
}
}
j=k;
for(int i=a[k];i>=1;i--){
if(a[j]==i)printf("1"),j--;
else printf("0");
}
return 0;
}
组合数学法：(摘取一片博客 ， 我还不是很qq理解)
一个只有0和1的数字串，只有1对数字串大小有影响，0没有影响，大小取决于1的位置和数量。
因为题目中要求出第n个编号是什么，并且这道题有一个限制：第一位必须是0，那么我们先将这个串用足够大小保存，足够大的话我们可以添加前导0，到最后从第一个非0位输出即可，也就是说我们要找到一个m,使得C(m,k) >= n，可以二分求m。
当k=1直接特判掉。
从大到小确定每一位。
如果做到第i位，之前已经填了j个1，那么这一位填0的方案数就是C(i-1,k-j)，即还剩i-1位可以填k-j个1的方案数。
如果这个数小于n，那么这一位填1，并且n要减去这个数，否则这一位填0。
不过这个组合数会非常大，还会爆long long,需要分类讨论进行二分求m.一定要注意这点，第一次提交就在这里wa的QwQ
时间复杂度O(sqrt(n)k)
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 10000010;
long long n , k , m;
long long num[maxn] , cnt;
long long mid , l , r;
long long zuhe(int x , int y)
{
long long k = 1;
for(int i = x;i > x - y;i --)
{
k *= i;
}
for(int i = y;i > 1;i --)
{
k /= i;
}
return k;
}
int main(){
scanf("%lld%lld" , &n , &k);
if(k == 1)
{
for(int i = n;i > 0;i --)
{
if(i == n)
{
printf("1");
}
else printf("0");
}
puts("");
return 0;
}
else {
//分类讨论二分求m
if(k == 10)
{
l = 1;
r = 600;
while(l <= r)
{
mid = (l + r) / 2;
if(zuhe(mid , k) >= n)
{
m = mid;
r = mid - 1;
}
else {
l = mid + 1;
}
}
}
else {
if(k >= 7)
{
l = 1;
r = 1000;
while(l <= r)
{
mid = (l + r) / 2;
if(zuhe(mid , k) >= n)
{
m = mid;
r = mid - 1;
}
else {
l = mid + 1;
}
}
}
else {
l = 1;
r = 7000;
while(l <= r)
{
mid = (l + r) / 2;
if(zuhe(mid , k) >= n)
{
m = mid;
r = mid - 1;
}
else {
l = mid + 1;
}
}
}
}
for(int i = m;i > 0;i --)
{
long long t = zuhe(i - 1 , k);
if(t < n)
{
num[i] = 1;
n -= t;
k --;
if(!cnt)
{
cnt = i;
}
}
if(!k || !n)
{
break;
}
}
for(long long i = cnt;i > 0;i --)
{
printf("%d" , num[i]);
}
}
puts("");
return 0;
}
动态规划：
太菜了没有想到组合数
我们也医用数位dp去做；
f[i][j] 表示在前i位我们放j个1的情况有几种
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j];
然后我们直接大力的从字符串的高位开始枚举
如果这个位子不放我们后来所有的方法都不够了那就放
#include<bits/stdc++.h>
#define Ll long long
using namespace std;
const Ll N=12,M=1e5+5;
Ll a[M],f[M][N];
Ll n,m,ok,v;
int main()
{
scanf("%lld%lld",&m,&n);
if(n==1){
cout<<1;
for(int i=1;i<m;i++)printf("0");
return 0;
}
for(Ll i=0;i<=1e5;i++)f[i][0]=1;
for(Ll i=1;i<=1e5;i++)if(!v)
for(Ll j=1;j<=n;j++){
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
if(j==n&&f[i][j]>=m){v=i;break;}
}
for(Ll i=v;i;i--){
if(f[i-1][n]<m)
a[i]=1,m-=f[i-1][n],n--;
if(a[i])ok=1;
if(ok)cout<<a[i];
}
}
组合数字最快然后超神暴力然后动态规划
