图形学笔记 - 数学相关

Math in CG

1.Vector

（1）vector

函数api：

• GLSL：

  • vec2、vec3、vec4

• HLSL：

  • float2、float3、float4

向量的模：

• 一般在两边各加两条竖线表示
  $$||\overrightarrow{v}||$$

（2）dot product

点积，别名：内积、数量积

代数定义：

Vec2：

$$\begin{gathered} u=(a,b)v=(x,y) \\ u\cdot v=ax+by \end{gathered}$$

Vec3：

$$\begin{gathered} u=(a,b,c)v=(x,y,z) \\ u\cdot v=ax+by+cz \end{gathered}$$

几何定义：

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\cdot ||\overrightarrow{v}||\cdot cos\theta$$

可以求某向量在一个方向上的投影 -- 注意：点积的几何意义只适用于3维以内，高维只有代数定义

二维证明:已知点乘的几何意义,利用三角函数和角公式,cos(θ)=cos(α1-α2)=cosα1·cosα2+sinα1·sinα2=ax+by

Wiki百科证明 - 任意n维：

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}|{|}^2 \\ \mathrm{令}:\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \\ \mathrm{向}\mathrm{量}:\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \\ ⬆️\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{的}\mathrm{前}\mathrm{提}:\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{是}\mathrm{点}\mathrm{积}【\mathrm{或}\mathrm{者}\mathrm{理}\mathrm{解}\mathrm{为}\mathrm{点}\mathrm{乘}\mathrm{自}\mathrm{身},\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{点}\mathrm{乘}\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{分}\mathrm{配}\mathrm{律}】 \\ \mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{模}:||\overrightarrow{c}|{|}^2=||{\overrightarrow{a}}^2||+||{\overrightarrow{b}}^2||-2||\overrightarrow{a}||\cdot ||\overrightarrow{b}||\cdot cos\theta \\ \mathrm{或}\mathrm{者}\mathrm{写}\mathrm{成}:c^2=a^2+b^2-2abcos\theta \\ \because {\overrightarrow{c}}^2=||\overrightarrow{c}|{|}^2 \\ \therefore \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=||\overrightarrow{a}||\cdot ||\overrightarrow{b}||\cdot cos\theta \end{gathered}$$

api函数：

• GLSL：float dot(vec_n, vec_n);
• HLSL：float dot(float_n, float_n);

拓展：点积可以写成矩阵乘法形式（数学做题中出现）

• 可以将其中一个向量进行转置（取决于将向量视为行矩阵还是列矩阵）
  $$a\cdot b=a{b}^T$$

（3）cross product

代数定义：

Vec3：

$$\begin{gathered} u=(a,b,c)v=(x,y,z) \\ u\times v=(bz-cy,cx-az,ay-bx) \end{gathered}$$

PS：叉乘可以写成行列式，但其中一行是向量而不是常数，所以叉乘的结果是向量，而不是一个数

几何定义：

• 叉乘结果是一个向量，该向量正交于执行叉乘的两个向量

  • 证明:正交就是两分量夹角为90度,那么可以通过点乘进行证明
    

• 叉乘的行列式：刚好是以uv为邻边的平行四边形的面积

$$||u\times v||=||u||\cdot ||v||\cdot sin\theta$$

"Vec2"：

二维有叉乘吗？严格意义来讲，没有。叉乘的定义：两个向量叉乘结果是一个与该两个向量正交的向量，因此在二维空间中，不存在这种向量，不具有几何意义。

$$\begin{gathered} u=(a,b)v=(x,y) \\ u\times v=(ay-bx) \end{gathered}$$

但我们仍然可以进行这种计算，因为计算的结果是有意义的，(ay-bx)确实能够代表u和v之间的夹角θ的sin值

证明:已知点乘的几何意义,利用三角函数和角公式,sin(θ)=sin(α1-α2)=sinα1·cosα2-cosα1·sinα2=ay-bx

api函数：

• GLSL：vec3 cross(vec3, vec3);

  • ⚠️GLSL的cross函数只支持vec3的叉积操作

  • 为支持vec2叉积，我们可以这么写：

  • float res = cross(vec3(uv1, 0.0), vec3(uv2, 0.0)).z;
    

• HLSL：float3 cross(float3, float3); -- 好像支持float2? whatever~

dot/cross product中涉及交换律/结合律等太简单了,用的时候自己推即可

（4）其他函数

*：

• GLSL/HLSL：都是逐分量相乘

正交化：

• GLSL：vec_n normalize(vec_n);
• HLSL：float_n normalize(float_n);

模：

• GLSL：float length(vec_n);
• HLSL：float length(float_n);

※（5）格拉姆-施密特正交化

格拉姆-施密特正交化的作用：已知向量集{...}，对其正交化处理，得到互相正交的新的向量集

算法步骤：依次加入向量，将当前向量减去该向量对已在正交向量集里向量的投影

（6）深入探讨：叉乘、点乘

叉乘

• 叉乘交换顺序，结果变反

  • $$A\times B=-B\times A$$

  • 容易证明：叉乘可以写成行列式的形式，那么交换AB的顺序相当于交换行列式中两行，那么结果变反

• 特殊向量参与叉乘运算

  • 单位向量 -- 没有特殊性

    $$A\times I=(y-z,z-x,x-y)$$

  • 0向量

    $$A\times 0=0$$

  • 同一向量之间

    $$A\times A=0$$

    易证：行列式两行相等，结果为0

• 向量三重积 <=> 叉乘不满足结合律

  • $$\begin{gathered} A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B) \\ \ne (A\times B)\times C \end{gathered}$$

  • 向量叉乘为什么不满足交换律：

    • TODO，叉乘的结果的模相同吗？

  • 向量三重积多种证明方式：

    • 推导1：向量运算推导

      B×C得到垂直于BOC平面的向量(假设为D)，所以说与T垂直的向量一定在BOC平面中，那么任意向量与D叉乘的结果(假设为K)，首先一定是垂直于D的，那么K一定在BOC平面内，那么得到公式

      $$A\times (B\times C)=mB+nC(m,n\in R)$$

      我们对等式两边同时点乘A：

      $$\begin{gathered} A\cdot (A\times D)=A\cdot (mB+nC) \\ A\cdot (A\times D):\mathrm{标}\mathrm{量}\mathrm{三}\mathrm{重}\mathrm{积},\mathrm{因}\mathrm{两}\mathrm{分}\mathrm{量}\mathrm{相}\mathrm{同},\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{值}\mathrm{为}0 \\ mA\cdot B+nA\cdot C=0 \end{gathered}$$

      假设：

      $$\begin{gathered} m=pA\cdot Cn=-pA\cdot Bp\in R \\ \therefore A\times (B\times C)=p(A\cdot C)B-p(A\cdot B)C \end{gathered}$$

      这种假设刚好使等式成立，所以说恒等式中未知数只剩p，我们可以带入特殊向量求p的值

      带入不互相正交的向量，比如：

      $$A=(1,1,0)B=(1,0,0)C=(0,0,1)$$

      => 推导出p=1，所以推导成功

      这里推导mn与p的关联性时不太严谨,这里将m与n转换为p,其实用到了m/n=-(A`B)/(A`C),这里没有考虑分母为0的情况,所以应该额外单独讨论
      

    • 推导2：结合矩阵推导

      • 推导前提：向量之间的点乘和叉乘，我们都可以转换为矩阵的形式 -- 叉乘不满足结合律，但矩阵乘法满足结合律

        （前提：我们将向量看作是列向量）

        点乘：A向量与B向量的点乘 = A的"转置矩阵"与B矩阵的矩阵乘法

        $$A\cdot B=A^{T}B$$

        叉乘：A向量与B向量的叉乘 = A的"叉乘矩阵"与B矩阵的矩阵乘法

        叉乘矩阵可以通过叉乘实际结果逆推

        $$\begin{gathered} A\times B=A^{\times }B \\ {A}^{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

        标量乘法：常数a与向量B的乘法 = 常数写成矩阵

        $$aB=A^{T}BA=\left[\begin{array}{c}a\\ a\\ a\end{array}\right]$$

        这里有一个问题：若把常数a直接写成两个矩阵(C·D)的乘法，那么这两个矩阵与B矩阵的运算符是什么？也是矩阵乘法？？？那么是否可以通过结合律为这三个矩阵进行不同的组合
        aB=(C·D)B=?=C(D·B)
        解析：答案是不行 ❌
        常量与向量的乘法是标量乘法，而向量与向量的乘法是点乘，这个不能混为一谈
        

        • 推导：

          $$\begin{gathered} A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B) \\ {A}^{\times }{B}^{\times }C=B(A^{T}C)-C(A^{T}B) \\ \mathrm{注}\mathrm{意}:\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{右}\mathrm{侧}\mathrm{是}\mathrm{标}\mathrm{量}\mathrm{乘}\mathrm{法},\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{不}\mathrm{能}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{律}\mathrm{随}\mathrm{意}\mathrm{组}\mathrm{合} \\ (A^{\times }{B}^{\times }+A^{T}B)C=B(A^{T}C) \end{gathered}$$

          左侧C前面的系数我们可以计算出来：

          $$\begin{gathered} A^{\times }{B}^{\times }= \\ {A}^{T}B \end{gathered}$$

          TODO：这种证明方法有错，待研究🧐

• 标量三重积

  • 可以写成矩阵形式 - TODO

2.Matrix

（1）matrix

函数api：

• GLSL：

  • mat2、mat3、mat4 -- 其他：mat2x3等...

  • 获取分量方法：m[0][1]类似二维矩阵的方式

  • ⚠️比较反人类，特别注意：

    • GLSL以列为主序，这句话有如下影响：

      • mat2x3：是2列3行矩阵

      • 分量获取也是按照先列后行，m[0][1]：第0列第1行

      • 矩阵构造时也是按行构造：

        • 举例：二维旋转矩阵M

          $$M=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

        • 对应glsl代码：mat2 M = mat2(c, s, -s, c);

• HLSL：

  • float2x2、float3x3、float4x4 -- 其他：float2x3等..
  • 初始化：矩阵初始化以行为主序 -- 同Eigen库
  • 同上例：mat2 M = mat2(c, -s, s, c);

⚠️（2）vec * mat

向量与矩阵的乘法：

• 首先明确一点：无论是哪种api，左边矩阵提供的都是行，右边矩阵提供的都是列

• 那么为什么会出现左乘和右乘矩阵的区别：是因为不同api对向量的理解不同！

  • GLSL：向量被看作列矩阵，【🧠这里很好记忆，因为矩阵也是"列"主序，所以其实向量和矩阵的构造函数是相通的】，所以它只能放在矩阵乘法右侧，所以变化矩阵需要左乘

    • 这里有一个容易产生混淆的地方：GLSL是列主序，所以到底是怎么相乘的，举例说明：

      • $$M=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$$

      • // GLSL:
        mat2 m = mat2(1, 2, 3, 4); // 以列主序构造 
        vec2 v = vec2(10, 20);
        vec2 res = m * v; // res:(1*10+3*20, 2*10+4*20)
        
        // 所以可以看出,尽管由列主序构,但并没有说这里的列就等价于了HLSL的行
        

    • 变化矩阵综合：T*R*S

问题1：左乘或右乘会影响相同变化矩阵的描述吗？如果会影响，当前推导的公式是基于哪种乘法呢，如何对齐左乘与右乘？

比如说我们知道如果一个变化是线性变换，那么它的矩阵表示中每行是对单位基向量做相同的变换，那么这个是基于右乘的前提？

=> 是的，是基于右乘的前提，推导线性变换时，我们是将对应乘法，转换成了矩阵形式：

$$\tau (\mathbf{\text{u}})=x\tau (\mathbf{\text{i}})+y\tau (\mathbf{\text{j}})+z\tau (\mathbf{\text{k}})=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\leftarrow \tau (\mathbf{\text{i}})\to \\ \leftarrow \tau (\mathbf{\text{j}})\to \\ \leftarrow \tau (\mathbf{\text{k}})\to \end{array}\right]$$

所以我们这里其实默认了，坐标或者说向量是以行向量的形式存在，【因为线性变换的推导是HLSL教材上得来】

那么我们是否可以得出结论：如果我们在这里将向量看成列向量，那么左乘的变化矩阵，其实它的每一列是对标准基向量的同等变换！

所以如何对齐？所以很巧合的是，左乘的api又要求用行向量构造矩阵，所以矩阵初始化时其实连续的片段是有意义的，并没有分隔开；更甚者，我们直接在向量为行向量下推导出矩阵，然后假装自己不知道GLSL是以列为主序这么书写进去，结果是正确的！=> 所以说很多公式或博客其实并没有说明左乘右乘以及api的影响，只是它碰巧就这么对了～

所以我们看到部分博客中旋转矩阵是反的，因为左乘右乘的变化矩阵互相为转置矩阵！！！

TODO：验证shadertoy旋转：https://www.shadertoy.com/view/DsKSDm

（3）matrix multiplication

$$\begin{gathered} A_{m\ast n}\ast B_{n\ast p}=C_{m\ast p} \\ {c}_{ij}=\sum _k{a}_{ik}{b}_{kj} \end{gathered}$$

⚠️但是大多数api对乘法的定义是完全相反的，这比较annoying！

api函数：【api往往对矩阵类型"重载"了*操作符】

• GLSL：

  • ❤️左乘：与常规定义相反，*操作符右侧矩阵提供行，左侧矩阵提供列，对应元素相乘 -- 与godot相同【godot底层api是opengl/es】

  • 左乘需要注意的，多个变化矩阵情况：例如SRT矩阵变换

  • mat3 M = (T * R * S);
    // 或者依次左乘
    M = S * M;
    M = R * M;
    M = T * M;
    

• HLSL：

  • 右乘：与常规相同

（4）transpose

api函数：

• GLSL/HLSL：transpose

（5）determinant - 行列式

表示方式：

$$det(A)=|A|$$

行列式：

• 行列式的定义比较含糊，我们只需要知道，二阶行列式、三阶行列式的公式，以及n阶行列式的递归推导
• n阶行列式：....{取其中一行，计算(-1)^(i+j)*对应代数余子式之和}

余子式：

• 定义：矩阵去掉第i行第j列后的行列式 -- 本质上是一个行列式

代数余子式：

• 定义：一个矩阵A的(i,j)代数余子式：C_ij 是指A的(i,j)余子式M_ij与(-1)^i+j的乘积

• $$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

余子矩阵：

• 定义：A矩阵对应位置存储的是代数余子式

伴随矩阵：

• 记作：adjoint

  $$adj(A)=A^{\ast }$$

• 定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵C的转置矩阵

  $$adj(A)=C^T$$

• 应用：

  • 根据拉普拉斯公式的推论，n阶方阵有：

    $$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I$$
    • 证明：
    • A*是余子矩阵的转置，这样A和A*的矩阵乘法中，在对角线上，矩阵元素与对应代数余子式相乘，得到的结果都是det(A)
    $$\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{线}\mathrm{上}:\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{ik}$$
    • 在非对角线上，相当于将原本第j行元素换成第i行元素求取行列式，由于有两行相同，所以行列式为0【或者说：本身正在计算第j行行列式，却把第j行元素替换成了第i行】
      $$\mathrm{非}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{线}\mathrm{上}:\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}$$

  • 如果矩阵可逆，可以推导出矩阵的逆和矩阵的伴随之间的关系：

    $$\begin{gathered} A{A}^{\ast }=|A|I \\ A{A}^{-1}=I \\ =>A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|} \end{gathered}$$

行列式的性质：

• 性质1：只要行列式任意一行或列为全0，则行列式为0 - easy
• 性质2：行列式中任意两行(列)互换，行列式的值取反号
• 性质3：如果行列式中某一行所有元素都是两项之和，该行列式可以拆成两个行列式相加
• 性质4：行列式中某一行所有元素都乘以相同的系数k，等价用k乘以此行列式
• 【行列式的初等变换】性质5：行列式某行(列)乘以一个非零常数加到另一行(列)上，行列式不变
  • 推导1：如果行列式有两行(列)相同，或者成比例，行列式为0 -- 证明：则取其中任意一行乘以-1，加到另一行，使该行元素全部为0

性质5的证明:
加到另一行，说明可以把行列式拆分为两个行列式，其中一个为原行列式，另一个行列式中有两行成k倍关系，根据性质2和性质4，所以可以得到这个行列式为0，所以新的行列式等于原行列式
性质5推导1的证明:
可以通过性质5直接证明，或者性质2，两行相同，那么交换两行行列式取反，所以行列式只能为0

三阶行列式的快速求法

• 我们可以通过斜对角线快速求的结果：

  • $$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\\ i& j& k\end{array}\right|=\mathrm{从}\mathrm{左}\mathrm{到}\mathrm{右}\mathrm{从}\mathrm{上}\mathrm{到}\mathrm{下}-\mathrm{从}\mathrm{右}\mathrm{到}\mathrm{左}\mathrm{从}\mathrm{上}\mathrm{到}\mathrm{下}=(ayk+bzi+cxj)-(azj+bxk+cyi)$$

  • 

（6）inverse - 逆

定义：

• $$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I_n$$

n阶矩阵A可逆的充要条件：

• $$|A|\ne 0$$

• 其他后续补充...

求法：

• 伴随矩阵法

  • $$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$

• 初等变化法

  • 具体步骤：

    • 构造矩阵(A,I)，通过初等变换将A转换为I，我们就得到A^-1

      $$(A,I)\sim (I,A^{-1})$$

    • 

  • 参考博客：https://www.sudoedu.com/线性代数视频课程/矩阵/用初等变换求逆矩阵/

（7）矩阵初等变换

初等变换：

• 交换矩阵的两行
• 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素
• 把矩阵的某一行所有元素乘以一个不为0的数k，然后加到另一行对应元素

其他后续补充:
1.秩
2.特征值
3.Ax=b
......

3.变换

线性变换：

• 定义：线性变换是一种函数，我们关注输入和输出为三维向量的情况：

  $$\tau (\mathbf{\text{u}})=\tau (x,y,z)=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$$

  线性变化需要满足两个性质：

  $$\begin{gathered} \tau (\mathbf{\text{u}}+\mathbf{\text{v}})=\tau (\mathbf{\text{u}})+\tau (\mathbf{\text{v}}) \\ \tau (k\mathbf{\text{u}})=k\tau (\mathbf{\text{u}}) \end{gathered}$$

• 线性变换的矩阵表示法：根据线性变换的性质，我们有意将向量u拆成：

  $$\begin{gathered} \mathbf{\text{u}}=x\mathbf{\text{i}}+y\mathbf{\text{j}}+z\mathbf{\text{k}} \\ \mathrm{其}\mathrm{中}:x,y,z\mathrm{是}\mathrm{常}\mathrm{数},\mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}3d\mathrm{坐}\mathrm{标}; \\ \mathbf{\text{i}}=(1,0,0)\mathbf{\text{j}}=(0,1,0)\mathbf{\text{k}}=(0,0,1) \end{gathered}$$

  那么根据线性变换的性质：

  $$\tau (\mathbf{\text{u}})=\tau (x\mathbf{\text{i}}+y\mathbf{\text{j}}+z\mathbf{\text{k}})=x\tau (\mathbf{\text{i}})+y\tau (\mathbf{\text{j}})+z\tau (\mathbf{\text{k}})$$

  这种三个对应相乘的形式，我们可以用向量/矩阵的乘法表示：

  $$\tau (\mathbf{\text{u}})=\mathbf{\text{u}}A=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\leftarrow \tau (\mathbf{\text{i}})\to \\ \leftarrow \tau (\mathbf{\text{j}})\to \\ \leftarrow \tau (\mathbf{\text{k}})\to \end{array}\right]$$

  我们称矩阵A为线性变化τ的矩阵表示法 => 换言之，对三维向量的线性变化，都可以转换为矩阵的形式；特别的，这个矩阵很特殊，矩阵的每行分别是对标准基向量的变换

  ※甚至我们只需要关注对标准基向量的变换!!!比如当我们关注旋转变换时，(当然我们需要保证它是一个线性变换)，我们只需要关注比如(1,0,0)这个向量在旋转后结果(?,?,?)即可，那比如绕z轴旋转θ角度，非常容易求得结果为(cosθ,sinθ,0)

特殊线性变换：【对于特殊的线性变换，我们可以很容易根据上面的推导得到对应矩阵】

• 缩放

  • 对应线性变换函数：

    $$s(x,y,z)=(s_{x}x,s_{y}y,s_{z}z)$$

  • 对应矩阵：

    $$\begin{gathered} \tau (\mathbf{\text{i}})=(s_x,0,0)\tau (\mathbf{\text{j}}),\tau (\mathbf{\text{k}})\mathrm{同}\mathrm{理} \\ =>\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right] \end{gathered}$$

• 旋转

  • 旋转有许多种，包括：对x/y/z以及任意轴的旋转

  • 常见旋转矩阵：

    【我们约定：正θ角表示逆时针旋转】我们可以通过旋转是线性变换可以推导出特殊旋转矩阵：

    TODO

    其实可以发现，这里xyz轴可以任意替换，也不用关心左右手坐标系 -- 比如关于y轴旋转，那么我们考虑zox平面，那么z行就是cos sin，x行就是-sin cos，以此来记忆

  • 讨论最简单的一种 -- 关于z轴旋转θ度：

    $$r(x,y,z)=(?,?,z)$$

    这里?还真不好求，我们可以通过上面👆论证的，仅仅考虑对标准基向量的变换，快速得到结果

  • 常规旋转 -- 向量v绕轴n以θ旋转【罗德里格旋转公式】

    • 证明：

    • 

    • 我们将v向量分为平行于n轴的向量和垂直于n轴的向量 -- 因为旋转只影响垂直于n轴的向量

    • $$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}+\overrightarrow{v_{\parallel }}$$

    • 我们假设n是单位向量(简化表达)：

    • $$\begin{gathered} \overrightarrow{v_{\parallel }}=(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{n} \\ \overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_{\parallel }} \end{gathered}$$

    • 上面右图可以发现，我们可以将垂直向量的旋转问题，看成一个(原向量的模,0)向量在以下xoy平面旋转：

    • $$\begin{gathered} x\mathrm{轴}:\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}} \\ y\mathrm{轴}:\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}\mathrm{或}\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}} \end{gathered}$$

    • 那么旋转后的向量对x轴和y轴的投影之和就是旋转向量：

    • $$\begin{gathered} {\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}}^{\prime }=||{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}||\cdot cos\theta \cdot \frac{\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}}{||{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}||}+||{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}||\cdot sin\theta \cdot \frac{\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}||} \\ \because |\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}| \\ =\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}\cdot cos\theta +(\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})\cdot sin\theta \end{gathered}$$

    • 所以整合公式：

    • $$\begin{gathered} {\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v_{\parallel }}+{\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}}^{\prime } \\ =\overrightarrow{v_{\parallel }}+\overrightarrow{v_{\mathrm{\perp }}}\cdot cos\theta +(\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})\cdot sin\theta \\ =(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{n}+(\overrightarrow{v}-(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{n})\cdot cos\theta +(\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})\cdot sin\theta \\ =(1-cos\theta )\cdot (\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{n}+cos\theta \cdot \overrightarrow{v}+(\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})\cdot sin\theta \end{gathered}$$

    • 结果：

    • $$\begin{gathered} R_n(v)=pro{j}_n(v)+R_n(v_{\mathrm{\perp }}) \\ =cos\theta \mathbf{\text{v}}+(1-cos\theta )(\mathbf{\text{n}}\cdot \mathbf{\text{v}})\mathbf{\text{n}}+sin\theta (\mathbf{\text{n}}\times \mathbf{\text{v}}) \end{gathered}$$

    • 证明此变换是线性变换：

      • 性质1：

        • 叉积满足分配率：

          $$n\times (v_1+v_2)=n\times v_1+n\times v_2$$

        • 点积满足分配率：

          $$n\cdot (v_1+v_2)=n\cdot v_1+n\cdot v_2$$

      • 性质2：易证，不管点积叉积，都可以将常数提取出来

    • 当知道变换是线性变换后，我们可以构造矩阵 -- 对标准基向量变换以快速构造：

      $$\begin{gathered} n=(x,y,z)\theta \\ {R}_n=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta +(1-cos\theta )x^2& (1-cos\theta )xy+sin\theta z& (1-cos\theta )xz-sin\theta y\\ (1-cos\theta )xy-sin\theta z& cos\theta +(1-cos\theta )y^2& (1-cos\theta )yz+sin\theta x\\ (1-cos\theta )xz+sin\theta y& (1-cos\theta )yz-sin\theta x& cos\theta +(1-cos\theta )z^2\end{array}\right] \end{gathered}$$

• 平移并不是线性变换

• ‼️重要性质：旋转矩阵的逆等于旋转矩阵的转置

• 🤔️【思考】线性变换的组合是线性变换吗，model矩阵中SRT的SR是线性变换吗？如何通过model矩阵逆推S、R、T矩阵？

  • 线性变换的复合还是线性变换！

    • 解析：考虑什么叫变换的组合，比如旋转和缩放，这两个变换的组合就是先旋转后再缩放，或用代数形式推理：

      $$\begin{gathered} {\tau }_2({\tau }_1(u+v))={\tau }_2({\tau }_1(u)+{\tau }_1(v))={\tau }_2({\tau }_1(u))+{\tau }_2({\tau }_1(v)) \\ {\tau }_2({\tau }_1(ku))=k{\tau }_2({\tau }_1(u)) \end{gathered}$$

    • 故：SR的复合矩阵的每行依旧是对标准基向量的变化

  • 仿射变换相较于线性变换的特殊性：可以分离出线性变换部分(SR)与平移部分(T)

正交矩阵：

• 定义：如果AA^T=I或A^TA=I，则n阶实矩阵A称为正交矩阵

• 正交矩阵的性质：

  • $$A^{-1}=A^T$$

  • A的各行或各列是单位向量，且两两正交

  • $$|A|=1\mathrm{或}=-1$$
    • 证明：
      $$|A{A}^T|=|A||A^T|=|A{|}^2=1$$

旋转是正交矩阵的证明:
首先旋转是线性变换，所以旋转对应的矩阵的行向量，分别是对标准基向量的变换，那么对这三个标准基向量ijk同时施加旋转，结果依旧是单位向量，且它们之间是两两正交的

仿射变换：

• 定义：仿射变换 = 线性变换 + 平移

• $$\alpha (u)=\tau (u)+b=uA+b=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{b}_x& b_y& b_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right]$$

• 将3d坐标扩充为齐次坐标后：

  $$\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& 0\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& 0\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& 0\\ b_x& b_y& b_z& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }& 1\end{array}\right]$$

坐标系变换：

• 坐标系中基向量理解：

  • 比如3维空间中(x,y,z)坐标：

  • $$\begin{gathered} (x,y,z)=x\mathbf{\text{i}}+y\mathbf{\text{j}}+z\mathbf{\text{k}} \\ \overrightarrow{i}=(1,0,0) \\ \overrightarrow{j}=(0,1,0) \\ \overrightarrow{k}=(0,0,1) \end{gathered}$$

  • 所以其实ijk可以是任何向量，xyz是相对这个坐标系的坐标（好像是废话～）

• 坐标系之间变换

  • 两个坐标系之间的变换，假设坐标系A的xyz轴和原点相对于坐标系B的坐标为uvw和Q，那么从坐标系A到坐标系B的坐标转换矩阵为：

    $$\left[\begin{array}{c}\leftarrow u\to \\ \leftarrow v\to \\ \leftarrow w\to \\ \leftarrow Q\to \end{array}\right]$$

    那么从B到A的坐标变换矩阵为该矩阵的逆矩阵，也就是uvw这个3x3局部矩阵的逆和Q取反

  • 🔥记忆方式：将坐标从A转换到B，变换矩阵为A相对于B的坐标(xyz和原点) -- 与常规认知相反，下意识会认为应该是B相对于A的坐标

    • 比如：local->world的变换矩阵，就是local相对于world的坐标，局部坐标系实际在世界空间中的位置 -- "实际上世界空间是固定的，局部空间是处于世界空间中"

4.渲染管线

（1）坐标系

$$local\to world\to view\to ndc$$

坐标系之间的转换只涉及RT，R：rotation，T：transform，是一个仿射变换，可以看成旋转(线性变换)和平移这两个变化矩阵的组合，所以变化矩阵格式如下：

$$M=\left(\begin{array}{c}\tau (\overrightarrow{i})\\ \tau (\overrightarrow{j})\\ \tau (\overrightarrow{k})\\ Q\end{array}\right)$$

‼️重要性质：因为旋转矩阵是正交矩阵，所以求变换矩阵的逆M^-1很简单，属于旋转的3x3部分的逆就是转置

$$M=\left(\begin{array}{cccc}{u}_x& u_y& u_z& 0\\ v_x& v_y& v_z& 0\\ w_x& w_y& w_z& 0\\ Q_x& Q_y& Q_z& 1\end{array}\right)M^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{u}_x& v_x& w_x& 0\\ u_y& v_y& w_y& 0\\ u_z& v_z& w_z& 0\\ -Q_x& -Q_y& -Q_z& 1\end{array}\right)$$

坐标系变换矩阵简述

• world - local -> world

  • local相对于world的坐标，相当于要将物体放在world空间的什么位置

• view - world -> view

  • world相对于camera并不好算，反而camera相对于world很简单，只需要摄像机空间朝向(z)，正上方(y)，就能构建view矩阵的逆矩阵

• projection - camera -> ndc

  • 比如将平截头体透视到投影窗口上【相似三角形】，利用矩阵的闲余元素将z从[n,f]映射到[0,1]

  • 

  • r：aspect ratio 长宽比【记忆方式：分辨率长在前，宽在后】；α：垂直视仰角，这个角度是两倍与水平面的夹角

  • 

  • 其中投影窗口具体离人眼位置，以及长宽具体值并不重要【我们可以假设高为2，那长就为2r】，因为我们最终会将投影窗口根据纵横比映射到后台缓冲区 => 为了去除投影窗口对纵横比的依赖，我们会做一个额外映射，将x从[-r,r]映射到[-1,1] 【透视除法】

  • 总结：

    $$\begin{gathered} camera\stackrel{\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{△}}{\to }homogeneous\stackrel{\mathrm{透}\mathrm{视}÷}{\to }ndc \\ ndc:\{\begin{array}{c}x\in [-1,1]\\ y\in [-1,1]\\ z\in [0,1]\end{array} \end{gathered}$$

🌟projection矩阵推导：

参考网站：https://blog.csdn.net/shuaigougou5545/article/details/126324406

不妨假设投影窗口长度为2r，宽度为2，那么投影窗口距离人眼距离为1/tan(α/2)，根据相似三角形可以得到：-- 其中，相似三角形能将x映射到[-r,r]，但要满足ndc则还需要进行额外除以r

$$\begin{gathered} y_{ndc}=\frac{y}{z}\cdot \frac{1}{tan\frac{\alpha }{2}} \\ {x}_{\mathrm{投}\mathrm{影}\mathrm{平}\mathrm{面}}=\frac{x}{z}\cdot \frac{1}{tan\frac{\alpha }{2}}{x}_{ndc}=x_{\mathrm{投}\mathrm{影}\mathrm{平}\mathrm{面}}/r \\ \therefore x^{\prime }=\frac{x}{r\cdot tan\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{1}{z}{y}^{\prime }=\frac{y}{tan\frac{\alpha }{2}}\cdot \frac{1}{z} \end{gathered}$$

这里我们可以看到,其实r、alpha、n、f共同决定观察的平截头体,所以我们通过定义投影窗口,相当于定义了我们会将xy限制/投影在某个范围内(投影窗口:x坐标[-r,r],y坐标[-1,1])

公式中都出现z，但z导致线性关系破裂（难以通过构造矩阵表达），我们可以在构造矩阵时分别处理线性变换和非线性变换【透视除法】-- 透视除法：我们让矩阵结果w分量保存z值，最后再通过xyz同时除以w实现结果

所以我们初步得到了projection矩阵：

$$(x,y,z,w)\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\cdot tan\frac{\alpha }{2}}& 0& ?& 0\\ 0& \frac{1}{tan\frac{\alpha }{2}}& ?& 0\\ 0& 0& ?& 1\\ 0& 0& ?& 0\end{array}\right)=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },w^{\prime })$$

我们发现矩阵中关于z的变换的元素闲余，我们可以利用起来，将z从[n,f]近远平面之间进行线性映射到[0,1]

因为z'与xy无关，所以M₀₂和M₁₂均为0，假设M₂₂为A，M₃₂为B，那么有如下关系式：

$$\begin{gathered} Az+B=z^{\prime } \\ z\in [n,f]\to z^{\prime }\in [0,1] \end{gathered}$$

🕳️这里有大坑：我们之后会进行透视除法，所以这里的并不是一个线性映射 => 这里我们只能保证我们的构造的函数是保序函数！！

$$\begin{gathered} Az+B=z^{\prime }{z}_{ndc}=z^{\prime }/z=A+\frac{B}{z} \\ A+\frac{B}{n}=0A+\frac{B}{f}=1 \\ \therefore A=\frac{f}{f-n}B=\frac{-nf}{f-n} \end{gathered}$$

projection矩阵的完整版：

$$M_{projection}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\cdot tan\frac{\alpha }{2}}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{tan\frac{\alpha }{2}}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{f}{f-n}& 1\\ 0& 0& \frac{-nf}{f-n}& 0\end{array}\right)$$

TODO：

5.rotation

与旋转相关的数学概念有：旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴角。

参考文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840

（1）欧拉角

内旋/外旋：

• https://blog.csdn.net/xinxiangwangzhi_/article/details/124650910
• https://blog.csdn.net/weixin_42927959/article/details/89880825

内旋/外旋

• 内旋：绕物体自身的坐标系旋转 -- 欧拉角的默认前提

• 外旋：绕惯性系旋转（轴是固定的，不会动）

前提：矩阵乘法一般不满足交换律，所以旋转并不是简单线性累加

Z-Y-X欧拉角

TODO：

（2）四元数

复数

$$\begin{gathered} z=(a,b)=a+bi \\ \bar{z}=(a,-b)=a-bi \\ \mathrm{人}\mathrm{为}\mathrm{定}\mathrm{义}:i^2=-1 \end{gathered}$$

• a为实部，b为虚部，虚部单位i，共轭复数虚部相反

• 复数运算规则：

  • $$\begin{gathered} (a,b)\pm (c,d)=(a+c,b+d) \\ (a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=ac+bd{i}^2+(ab+cd)i=(ac-bd,ab+cd) \\ \frac{(a,b)}{(c,d)}=\frac{(a,b)(-c,d)}{(c,d)(-c,d)}=(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2})\mathrm{前}\mathrm{提}:(c^2+d^2\ne 0) \end{gathered}$$

• 极坐标表示法：复数运算法则与2D向量相似，我们可以将复数看成2D坐标

  • $$z=(a,b)=a+bi=rcos\theta +irsin\theta =(rcos\theta ,rsin\theta )$$

  • 特殊性质 - 复数乘法：

    $$\begin{gathered} z_1{z}_2=(r_{1}cos{\theta }_1+i{r}_{1}sin{\theta }_1)(r_{2}cos{\theta }_2+i{r}_{2}sin{\theta }_2) \\ =(r_1{r}_2(cos{\theta }_{1}cos{\theta }_2-sin{\theta }_{1}sin{\theta }_2),r_1{r}_2(cos{\theta }_{1}sin{\theta }_2+sin{\theta }_{1}cos{\theta }_2)) \\ =(r_1{r}_{2}cos({\theta }_1+{\theta }_2),r_1{r}_{2}sin({\theta }_1+{\theta }_2)) \end{gathered}$$

    比较该公式与复数的极坐标表示，如果r₂=1，也就是z₂为单位复数，则该乘法的结果其实就是对z₁复数（向量）进行了一个旋转操作

    结论：将复数z₁（把它视为2D向量）与单位复数z₂相乘就相当于对z₁进行旋转操作

四元数代数

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{q}}=(u,w)=(q_1,q_2,q_3,q_4)=q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k+q_4 \\ \overline{\mathbf{\text{q}}}=(-u,w)=(-q_1,-q_2,-q_3,q_4)=-q_{1}i-q_{2}j-q_{3}k+q_4 \\ \mathrm{人}\mathrm{为}\mathrm{定}\mathrm{义}:i^2=j^2=k^2=ijk=-1 \\ \therefore ij=k,ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j \end{gathered}$$

• u为虚部，w为实部，(这里我们一般将虚部放在前面,与复数相反,问题不大)

• 运算法则：类似于向量和复数

  • 四元数乘法：

    $$pq=r=(r_1,r_2,r_3,r_4)=r_{1}i+r_{2}j+r_{3}k+r_4$$

    对应相乘，能得到i的有：单含i的，以及j与k相乘

    $$\mathrm{含}i\mathrm{的}:p_{1}i\ast q_4+p_{2}j\ast q_{3}k+p_{3}k\ast q_{2}j+p_4\ast q_{1}i$$

    同理得到：

    $$\begin{gathered} r_1=p_1{q}_4+p_2{q}_3-p_3{q}_2+p_4{q}_1 \\ {r}_2=-p_1{q}_3+p_2{q}_4+p_3{q}_1+p_4{q}_2 \\ {r}_3=p_1{q}_2-p_2{q}_1+p_3{q}_4+p_4{q}_3 \\ {r}_4=-p_1{q}_1-p_2{q}_2-p_3{q}_3+p_4{q}_4 \\ pq=r=(r_1,r_2,r_3,r_4)=\left(\begin{array}{cccc}{p}_4& -p_3& p_2& p_1\\ p_3& p_4& -p_1& p_2\\ -p_2& p_1& p_4& p_3\\ -p_1& -p_2& -p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ q_4\end{array}\right) \end{gathered}$$

    结论：四元数的乘法可以写成类似矩阵乘法的形式

    $$pq={\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ q_4\end{array}\right)}^T{\left(\begin{array}{cccc}{p}_4& -p_3& p_2& p_1\\ p_3& p_4& -p_1& p_2\\ -p_2& p_1& p_4& p_3\\ -p_1& -p_2& -p_3& p_4\end{array}\right)}^T$$

    • 四元数与纯实数或乘法单位元e=(0,0,0,1)

      • $$\begin{gathered} pe=\left(\begin{array}{cccc}{p}_4& -p_3& p_2& p_1\\ p_3& p_4& -p_1& p_2\\ -p_2& p_1& p_4& p_3\\ -p_1& -p_2& -p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=p \\ ep=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ p_4\end{array}\right)=p \end{gathered}$$

    • 四元数连乘

      • 两个四元数相乘的结果依然是一个四元数（4D向量/行向量或列向量），所以很明显可以连乘，如何用矩阵形式表示：TODO？？？-- 考虑方向：四元数乘法是否具有结合律

  • 四元数乘法另一种形式：

    • 四元数乘法可以写成点乘和叉乘的形式 => 数学家可能从这里发现了公式与罗德里格公式的相似之处

    • 四元数就是向量，所以点积和叉积和向量的定义相同

    • $$\begin{gathered} p=(u,a)q=(v,b) \\ u\times v=(p_2{q}_3-p_3{q}_2,p_3{q}_1-p_1{q}_3,p_1{q}_2-p_2{q}_1) \\ u\cdot v=p_1{q}_1+p_2{q}_2+p_3{q}_3 \end{gathered}$$

      我们观察之前计算的结果：

      $$\begin{gathered} r_1=p_1{q}_4+p_2{q}_3-p_3{q}_2+p_4{q}_1 \\ {r}_2=-p_1{q}_3+p_2{q}_4+p_3{q}_1+p_4{q}_2 \\ {r}_3=p_1{q}_2-p_2{q}_1+p_3{q}_4+p_4{q}_3 \\ {r}_4=-p_1{q}_1-p_2{q}_2-p_3{q}_3+p_4{q}_4 \end{gathered}$$

      推导：

      $$\begin{gathered} r_4=-u\cdot v+ab \\ {r}_1=(u\times v{)}_x+p_1{q}_4+p_4{q}_1 \\ {r}_2=(u\times v{)}_y+p_2{q}_4+p_4{q}_2 \\ {r}_3=(u\times v{)}_z+p_3{q}_4+p_4{q}_3 \\ \therefore r_{1/2/3}=(u\times v{)}_{x/y/z}+(bu{)}_{x/y/z}+(av{)}_{x/y/z} \\ \therefore r=u\times v+bu+av \end{gathered}$$

      总结：

      $$\begin{gathered} p=(u,a)q=(v,b) \\ pq=(u\times v+bu+av,-u\cdot v+ab) \end{gathered}$$

四元数相关性质

• 共轭

  • $$\begin{gathered} q=(u,w)=(q_1,q_2,q_3,q_4) \\ q\ast =\bar{q}=(-u,w)=(-q_1,-q_2,-q_3,q_4) \end{gathered}$$

• 范数（模）

  • $$\begin{gathered} q=(u,w)=(q_1,q_2,q_3,q_4) \\ ||q||=\sqrt{u^2+w^2}=\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2} \end{gathered}$$

  • 单位四元数 => 模为1的四元数

  • 显然：

    $$||q||=||\bar{q}||$$

• 共轭、范数重要运算法则

  • 共轭的运算与逆类似：通过pq乘法的代数表示进行推导

    $$\begin{gathered} p=(u,a)q=(v,b) \\ pq=(u\times v+bu+av,-u\cdot v+ab) \end{gathered}$$

    得到：

    $$\begin{gathered} (pq{)}^{\ast }=q^{\ast }{p}^{\ast } \\ (p+q{)}^{\ast }=p^{\ast }+q^{\ast } \end{gathered}$$

  • 重要性质：

    • $$\begin{gathered} p{p}^{\ast }=||p|{|}^2 \\ (r_1,r_2,r_3=0,\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{值}\mathrm{为}\mathrm{纯}\mathrm{实}\mathrm{数}) \end{gathered}$$

    • $$||pq||=||p||\cdot ||q||$$

      证明：

      $$\begin{gathered} \because ||p||=\sqrt{p{p}^{\ast }} \\ \therefore ||pq||=\sqrt{(pq)(pq{)}^{\ast }} \\ =\sqrt{p(q{q}^{\ast })p^{\ast }} \\ =\sqrt{p||q|{|}^2{p}^{\ast }} \\ =||q||\sqrt{p{p}^{\ast }} \\ =||p||\cdot ||q|| \end{gathered}$$

• 逆

  • 定义：

    $$q{q}^{-1}=q^{-1}q=1=(0,0,0,1)$$

  • 性质：

    $$\begin{gathered} \because q{q}^{-1}=1q{q}^{\ast }=||q|{|}^2 \\ \therefore q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{||q|{|}^2} \\ \therefore \mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{四}\mathrm{元}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{逆}=\mathrm{其}\mathrm{共}\mathrm{轭} \end{gathered}$$

• 极坐标表示

  • 极坐标用ρ、θ构造，我们这里不能将ijk看成三维标准基向量（虽然看起来有那么回事～），θ很难说在三维中的意义是什么

  • 首先考虑单位四元数：

    $$\begin{gathered} q=(u,w) \\ ||q||=1\to u^2+w^2=1^2 \\ \therefore w^2<1 \end{gathered}$$

    u和w这种平方和为1的状况，我们可以考虑sin^2+cos^2=1的结构，因为w是1维度，而u是3维度，为了考虑角度与三角函数值唯一对应的情况，我们应该将w视为cos，那么theta角的范围应该在[0,pi]

    $$\begin{gathered} ||w||=cos\theta \theta \in [0,\pi ] \\ ||u||=sin\theta ? \end{gathered}$$

    分析u，一个3维向量的模是sinθ，那么这个三维向量应该是任意单位向量乘上常数sinθ

    $$u=sin\theta \cdot n||n||=1$$

    所以：

    $$\begin{gathered} q=(u,w)=(nsin\theta ,cos\theta )\theta \in [0,\pi ] \\ ||n||=1 \end{gathered}$$

    意味着，我们可以将一个三维单位向量n和角度θ存入四元数 => 意义：后面到旋转算子就知道了，目前可以透露的是，n代表的任意旋转轴，θ代表的旋转角度，通过旋转算子用四元数表示旋转操作

    考虑特殊情况：

    • θ不在[0,π]的范围

      • θ在[-π,0]的情况，就是反向旋转，用四元数表示：

        $$q^{\prime }=(nsin(-\theta ),cos(-\theta ))=(-nsin\theta ,cos\theta )=q^{\ast }$$

      • 绕旋转轴旋转角度，最大就是π，那么超过π的

    • n不是单位向量

四元数旋转算子

• 数学家发现，四元数结构qvq*的结果，刚好是罗德里格旋转算法，因此我们就通过对p进行四元包夹乘法

• 前提：

  • q是单位四元数 - 所以q的逆与共轭等价
  • 我们将纯虚数视为向量或坐标v
  • 旋转算子得到的结果期望也是一个纯虚数（向量/坐标）

• 旋转算子的推导：

  • 四元数的旋转算子：

    $$\begin{gathered} v^{\prime }=qv{q}^{\ast }=qv{q}^{-1} \\ q=(nsin\theta ,cos\theta )\theta \in [0,\pi ]||n||=1 \end{gathered}$$

  • 要用到的公式：

  $$\begin{gathered} 1.\mathrm{四}\mathrm{元}\mathrm{数}\mathrm{乘}\mathrm{法}: \\ p=(u,a)q=(v,b) \\ pq=(u\times v+bu+av,-u\cdot v+ab) \\ 2.\mathrm{罗}\mathrm{德}\mathrm{里}\mathrm{格}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{公}\mathrm{式}: \\ {R}_n(v)=pro{j}_n(v)+R_n(v_{\mathrm{\perp }}) \\ =cos\theta \mathbf{\text{v}}+(1-cos\theta )(\mathbf{\text{n}}\cdot \mathbf{\text{v}})\mathbf{\text{n}}+sin\theta (\mathbf{\text{n}}\times \mathbf{\text{v}}) \\ 3.\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{三}\mathrm{重}\mathrm{积}\mathrm{公}\mathrm{式}: \\ a\times (b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b) \end{gathered}$$

  • 三重积：

    • $$a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)=c\cdot (a\times b)$$

    • 其中任意两向量相等，三重积结果为0

  推导：

  $$\begin{gathered} p=(v,0)q=(u,w)q^{-1}=q^{\ast }=(-u,w) \\ qp{q}^{\ast }=(u,w)(v,0)(-u,w) \\ =(u\times v+wv,-u\cdot v)(-u,w) \\ =(a^{″},b^{″}) \\ {a}^{″}=-u\times v\times u-wv\times u+(u\cdot v)u+wu\times v+w^{2}v \\ {b}^{″}=(u\times v)\cdot u+wv\cdot u-wu\cdot v=0 \end{gathered}$$

  b''=0是我们预期的结果，对于a‘’来说：

  分析-u×v×u，其中u×v是垂直于uv平面的向量假设为t，假定一个手性，绘制出坐标系，那么t×u的结果应该是与v相反，所以说总结果为-u×v×u=v -- 错误的🙅，方向是v的方向，但大小并不是 【可以写成u×(v×u)，这样可以代向量三重积的公式】

  $$\begin{gathered} a^{″}=-u\times v\times u-wv\times u+(u\cdot v)u+wu\times v+w^{2}v \\ \mathrm{这}\mathrm{里}:p=(v,0)q=(nsin\theta ,cos\theta )=(u,w)\mathrm{且}||n||=1 \\ \therefore a^{″}=2(u\cdot v)u-(u\cdot u)v+2wu\times v+w^{2}v \\ =(co{s}^2\theta -si{n}^2\theta )v+2si{n}^2\theta (n\cdot v)n+2sin\theta cos\theta (n\times v) \\ =cos2\theta v+(1-cos2\theta )(n\cdot v)n+sin2\theta (n\times v) \end{gathered}$$

  根据推导我们可以看到旋转算子qvq*的结果，就是罗德里格旋转公式的结果，n是旋转轴，但θ是真实旋转角度的一半（也就是说我们想要旋转alpha度，那么θ角就是alpha的一半）

  总结：

  已知向量v（v=(v,0)），绕n轴（n轴是单位向量）旋转θ角度，对应的旋转四元数q（q=(nsinθ, cosθ)），那么旋转后的新向量v'（v'=qvq*：四元数连乘）

6.解析几何

（1）长方形与长方形相交 （长方形可旋转）

判断相交的流程：

1. 判断两个长方形的边是否有相交 -- 相交=>true；否则=>进入2
2. 判断两个长方形是否存在包含关系 -- 包含=>true；否则=>false
   • 判断x,y的值域范围存在包含关系 - 这与长方形是否存在包含关系等价

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遗留问题

alpha值的物理证明，为什么比如通过透明物质是通过alpha来计算最终光线的；albedo物理意义，透明物体的albedo和不透明物体的区别

坐标系变换矩阵的一些api

用三个角度的坐标系 - 垂直视仰角

vec与vec相乘，透视乘法？

判断是否有逆

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n.基本数学定理

（1）余弦定理

余弦定理定义：

$$\begin{gathered} cos\alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ {a}^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\alpha \end{gathered}$$ 余弦定理证明： $$\begin{gathered} c=b\cdot cos\alpha +a\cdot cos\beta \\ {c}^2=bc\cdot cos\alpha +ac\cdot cos\beta \\ \mathrm{同}\mathrm{理}:a^2=ab\cdot cos\gamma +ac\cdot cos\beta b^2=ab\cdot cos\gamma +bc\cdot cos\alpha \\ \therefore a^2+b^2-c^2=2ab\cdot cos\gamma \end{gathered}$$

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奇怪的知识

• 逆&除法：
  • 当乘法满足交换律时，我们用除法定义；当乘法不满足交换律时，我们用逆定义；