THUPC2019 令人难以忘记的题目名称 题解

首先感性感觉这个东西是比较有循环节的，但这是后话。

最后几步一定是 差分相同->每个数相同->全为0。

不平凡地猜想差分 \(k\) 次全 \(0\) 等价于可以 \(k\) 步胜利。

假设差分 \(k-1\) 次后全为 \(a\)，这个序列取反后差分 \(k-1\) 次就全是 \(-a\)。那么选择这个序列就能保证差分 \(k-1\) 次后全是 \(0\)。

另一边的等价性可以归纳证明。

此时列出差分 \(t\) 次的式子：

\(S'_i=\sum_{j=0}^t(-1)^j\binom{t}{j}S_{i+j}\)

带入 \(t=p^k\) 后，发现 \(S'_i=S_i-S_{i+p^k}\)

（注意到 \(p=2\) 时化出来不同，但是最终是一样的）

注意到序列长度是 \(n\)，于是可以化成 \(S'_{i}=S_i-S_{i+\gcd(p^t,n)}\)。

如果有解，那么 \(p^t\) 足够大一定有解，假设 \(n\) 对于 \(p\) 的次数为 \(p^c\)，那么一定要满足 \(S'_{i}=S_i-S_{i+p^c}\)。

此时有答案不超过 \(p^c\)，于是只保留序列的前 \(p^c\) 项继续做，判断 \(p^{c-1}\) 是否合法，合法直接递归，不合法就差分 \(p^{c-1}\) 次递归。

时间复杂度 \(O(np)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5;
int n,p,ans,a[N],b[N];
bool chk(int x){
	for(int i=0;i<n;i++) if(a[i]!=a[(i+x)%n]) return 0;
	return 1;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&p);
	for(int i=0,x;i<n;i++) scanf("%d",&x),a[i]=x%p;
	int t=1;
	while(n%(t*p)==0) t*=p;
	if(!chk(t)) return puts("-1"),0;
	while((n=t)>1){
		t/=p;
		for(;!chk(t);ans+=t){
			for(int i=0;i<n;i++) b[i]=(a[i]-a[(i+t)%n]+p)%p;
			copy(b,b+n,a);
		}
	}
	printf("%d\n",ans+(a[0]>0));
	return 0;
}