《简单计数题》简要题解
Ⅰ
1
做过。
2
考虑只有 \(N=1\) 的情况，则有一条右上的路径分开了 \(0\) 和 \(1\) 。有 \(2^K\) 情况。
对于每一种元素分别考虑，可得答案为 \(2^{NK}\) 。
3
随便做都可以，没想到可以按着树形 DP 来做。
4
真是sb了，一直在想从大到小，结果直接从小到大就行了，不过可以用组合数做法。
5
做过。
6
选择一些数 \(A_{i}=i\) ，方案数为 \(\binom{N}{K}\) 。
剩下均不相等，则为错排问题。
\(N\) 项的错排 \(F_N=(N-1)(F_{N-1}+F_{N-2})\) 。
7
老小学奥数了。
思路一：
首先男生之间有 \(N!\) 种方法。
考虑老师间只用女生隔开：
显然只能隔一个，看成一个整体。 \(2M\) 种。
加上男生，有 \(N+1\) 个人，则答案为 \(2MA_{N+2}^{M-1}\) 。
有男生隔开：
放两个老师： \(A_{N+1}^{2}=N(N+1)\) 。
放女生： \(A_{N+3}^{M}\)
综上， \(N!(2MA_{N+2}^{M-1}+N(N+1)A_{N+3}^{M})\) 。
思路二：
不管老师的限制： \((N+2)!A_{N+3}^{M}\) 。
不符合限制的： \(2(N+1)!A_{N+2}^{M}\)
相减即为答案。
Ⅱ
1
模板 Polya 定理。
求 \(\phi\) 的时候其实可以不暴枚，用 DFS 枚举质因数指数就能做。
2
没啥好说的，也是个板题。
剩下的以后再补
Ⅲ
补一会数学基础再来。
Ⅳ
1
做过
2
有意思的题
首现这个本质不同是假的，除以一个 \(M!\) 即可。
接下来考虑直接容斥：
设 \(F_i\) 为 \(i\) 个元素的答案。
因为只能出现偶数次，所以确定前 \(i-1\) 个即可，又互不相同不为空，所以首先弄出来个 \(A_{2^N-1}^{i-1}\) 。
最后一个不能为空，等价于前 \(i-1\) 个已经合法。
接着还有互不相同的条件，考虑最后一个和哪个相同了，且有 \(2^N-i+1\) 种选法，剩下的数去掉这两个仍然合法。
综上， \(F_i=A_{2^N-1}^{i-1}-F_{i-1}-F_{i-2}(i-1)(2^N-i+1)\) 。
3
就是个树上拓扑序计数。
正常的证法是 DP 一下。
不过我是感性理解做的：对于每棵子树，要根节点最大，所以要除以 \(\operatorname{size}_{i}\) ，且每棵子树互不干扰。
则答案为 \(\frac{N!}{\prod_{i=1}^{N}\operatorname{size}_{i}}\)
4
做过
5
怎么是个傻题。按照 DAG 的方案，再减去环的个数即可。这屑题我都不想写……
（话说上上个不是更屑）
6
补一会数学基础再来
7
补一会数学基础再来
8
看了好久就才懂……没救了
https://www.cnblogs.com/shrshrshr/p/14401154.html
