UOJ#191. 【集训队互测2016】Unknown

题意：维护一个数列，每个元素是个二维向量，每次可以在后面加一个元素或者删除一个元素。给定P(x,y)，询问对于[l,r]区间内的元素 $S_i$ , $S_i \times P$ 的最大值是多少。

首先简单地推出类似斜率优化的式子，那么我们需要在凸包上二分。

学习了一下这份代码http://uoj.ac/submission/69959

使用线段树按下标维护凸包。那么这里有一个问题，如果按照传统的写法，合并一次的复杂度是与 $O(区间长度)$ 的，这样会导致单次插入/删除的时间复杂度变为 $O(n)$ ，是不能接受的。

注意到与普通的线段树不一样的是，这个只会从后面添加元素，所以一个区间只有被填满了以后才需要询问，进而我们可以只在这个区间被填满了以后再合并，但是单次操作的最坏时间复杂度仍是 $O(n)$ 。

考虑是什么样的操作使上面的复杂度变成 $O(n)$ 的呢：在某个较长的区间的右端点附近来回插入删除，每当它满了就会合并一个，删除再插入一个又会满。

于是我们考虑，在这个区间刚满的时候不合并这个区间，而是等到同层的下一个区间也填满的时候再合并这个区间。

这样一旦一个结点花费 $O(L)$ 的时间合并后，至少 $O(L)$ 次操作才会使它再次合并，所以每层单个操作的均摊时间复杂度为 $O(1)$ ，共 $\log$ 层，单个操作的均摊时间复杂度为 $O(\log n)$ .

但是这样做的话，当一个结点被询问区间完全包含的时候我们并不一定直接使用这个结点的信息，因为它还没有合并。我们只能继续递归它的儿子，直到发现合并过的节点才能返回答案。

那么一共会用到多少个区间的信息呢？我们知道线段树区间查询会落在 $O(\log n)$ 个区间上，由于每层只有最后一个区间没有合并，所以这 $O(\log n)$ 个区间里只有最右边的区间最多会放在 $\log$ 个子区间上，其他的最多放在2个子区间上，所以总共仍然会落在 $O(\log n)$ 个区间上。