2016-5-30模拟测试

• T1

  • description
    给一棵\(n(\leqslant 100000)\)个节点的树，每个节点的种类两两不同，要求支持一下几个操作：
    1.将这个点到根的路径变成一种新的点
    2.询问以这个点为根的子树中的点到根的所有路径，对于每一条路径，贡献为这条路径上不同的点的个数。
    3.换根
  • solution
    可以发现这些都是LCT的操作，将虚边设为1，实边设为0，则只需要问子树内所有点到根的权值和就行了，而这个在\(access\)的过程中配合线段树的子树修改即可。
  • notice
    在配合线段树进行子树修改的时候，往往需要知道一个点在另一个点的哪棵子树中，这可以用倍增或者链剖处理，LCT处理起来就更方便了，并且我们可以以直接知道这些点和根的位置关系，讨论一下就行了（注意讨论的严谨性）。

• T2

  • description
    对于\(\forall 1 \leqslant k \leqslant n\) 求\(1,2,3...n\)的所有错排中含有长度为\(k\)的环(令\(i\)向\(a_i\)连边)的排列的数量。
  • solution
    枚举循环节长度，以及至少有几个循环节，容斥计算即可，还要套个错排公式。

• T3

  • description
    给一个序列\(a_1,a_2,...a_n\)，若\(i<j且a_i>a_j\)则\(i,j\)之间有一条边，求即是独立集又是支配集的集合的数量。
  • solution
    独立集:上升序列
    支配集+独立集：设\(f_i\)为前\(i\)个数选了\(i\)的方案数，对于\(f_i\)可以更新\(f_j\)的需满足对于\(\forall i < k < j,a_i < a_k < a_j\),复杂度\(O(n^2)\).
    我考场上记了一个已选的最大的和未选的最小的，本来是\(O(n^3)\)的但是必须满足最大的小于最小的，就会有很多无用状态，拿map进行转移就通过了所有的测试点。