数论基础

基础公式

• 莫比乌斯函数

\[\mu(n)= \left\{\begin{matrix} 1 & n=1 \\ (-1)^k & n=\prod_{i=1}^kp_i \\ 0 & else \end{matrix}\right.\]

• 莫比乌斯反演公式

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \sim f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

- 证明
$$\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n}[\mu(d)\sum_{d'|\frac{n}{d}}f(d')] = \sum_{d'|n}[f(d')\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)]=f(n)$$

• \(\mu\)函数的性质

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

• 欧拉函数的性质1

\[\sum_{d|n}{\varphi(d)}=n \]

- 证明
将前$n$个数按$\gcd$分组，则有$$n=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\varphi(d)$$

• 欧拉函数的性质2
  \(n>1\)时$$\sum_{\gcd(i,n)=1}i=\frac{n\varphi(n)}{2}$$
  • 证明1
    若\(d|n\)那么\((n-d)|n\),将\(n\)和\(n-d\)配成一组，每组的和为\(n\),一共有\(\frac{\varphi(n)}{2}\)组,所以\(\sum_{\gcd(i,n)=1}i=\frac{n\varphi(n)}{2}\).
  • 证明2
  \[\sum_{\gcd(i,n)=1}i=\frac{n\varphi(n)}{2}=\sum_{i=1}^{n}i[\gcd(i,n)=1]=\sum_{i=1}^{n}[i\sum_{d|\gcd(i,n)}\mu(d)]=\sum_{d|n}[\mu(d)\sum_{d|i}i]=\sum_{d|n}[\mu(d)\frac{n}{2}(1+\frac{n}{d})]=\frac{n}{2}(\sum_{d|n}\mu(d)+\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d})=\frac{n[n=1]}{2}+\frac{n\varphi(n)}{2}=\frac{n\varphi(n)}{2} \]