深度学习教程 | 深层神经网络
本节讨论深层神经网络，包括深层神经网络的结构、深层神经网络前向传播和反向传播过程、需要深层神经网络的原因、神经网络参与超参数、神经网络与人脑简单对比。
- 作者：韩信子@ShowMeAI
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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得，对应的课程视频可以在这里查看。
引言
在ShowMeAI前一篇文章 浅层神经网络 中我们对以下内容进行了介绍:
- 神经网络的基本结构(输入层，隐藏层和输出层)。
- 浅层神经网络前向传播和反向传播过程。
- 神经网络参数的梯度下降优化。
- 不同的激活函数的优缺点及非线性的原因。
- 神经网络参数随机初始化方式
本篇内容我们将讨论深层神经网络。
1.深层神经网络
我们在前面提到了浅层神经网络，深层神经网络其实就是包含更多隐层的神经网络。下图分别列举了不同深度的神经网络模型结构：
我们会参考「隐层个数」和「输出层」对齐命名。如上图逻辑回归可以叫做1 layer NN，单隐层神经网络可以叫做2 layer NN，2个隐层的神经网络叫做3 layer NN，以此类推。所以当我们提到L layer NN，指的是包含\(L-1\)个隐层的神经网络。
下面我们来了解一下神经网络的一些标记写法。以如下图的4层神经网络为例：
① 总层数用\(L\)表示，\(L=4\)
- 输入层是第\(0\)层，输出层是第\(L\)层
② \(n^{[l]}\)表示第\(l\)层包含的单元个数，\(l=0,1,\cdots,L\)
-
下图模型中，\(n^{[0]}=n_x=3\)，表示三个输入特征\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)
-
下图模型中\(n^{[1]}=5\)，\(n^{[2]}=5\)，\(n^{[3]}=3\)，\(n^{[4]}=n^{[L]}=1\)
③ 第\(l\)层的激活函数输出用\(a^{[l]}\)表示，\(a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})\)
④ \(W^{[l]}\)表示第\(l\)层的权重，用于计算\(z^{[l]}\)
⑤ 输入\(x\)记为\(a^{[0]}\)
⑥ 输出层\(\hat y\)记为\(a^{[L]}\)
注意，\(a^{[l]}\)和\(W^{[l]}\)中的上标\(l\)都是从1开始的，\(l=1,\cdots,L\)。
2.深层神经网络前向运算
下面我们来推导一下深层神经网络的前向传播计算过程。依旧是上面提到的4层神经网络，我们以其为例来做讲解。
2.1 单个样本的计算
对于单个样本，我们有：
2.2 m个样本的批量计算
对于\(m\)个训练样本的情况，我们以向量化矩阵形式来并行计算：
以此类推，对于第\(l\)层，其前向传播过程的\(Z^{[l]}\)和\(A^{[l]}\)可以表示为：
其中\(l=1,\cdots,L\)
3.向量化形态下的矩阵维度
在单个训练样本的场景下，输入\(x\)的维度是\((n^{[0]},1)\)神经网络的参数\(W^{[l]}\)和\(b^{[l]}\)的维度分别是：
-
\(W^{[l]}: (n^{[l]},n^{[l-1]})\)
-
\(b^{[l]}: (n^{[l]},1)\)
其中，
- \(l=1,\cdots,L\)
- \(n^{[l]}\)和\(n^{[l-1]}\)分别表示第\(l\)层和\(l-1\)层的所含单元个数
- \(n^{[0]}=n_x\)，表示输入层特征数目
对应的反向传播过程中的\(dW^{[l]}\)和\(db^{[l]}\)的维度分别是：
-
\(dW^{[l]}:\ (n^{[l]},n^{[l-1]})\)
-
\(db^{[l]}:\ (n^{[l]},1)\)
-
注意到，\(W^{[l]}\)与\(dW^{[l]}\)维度相同，\(b^{[l]}\)与\(db^{[l]}\)维度相同。这很容易理解。
正向传播过程中的\(z^{[l]}\)和\(a^{[l]}\)的维度分别是：
-
\(z^{[l]}:\ (n^{[l]},1)\)
-
\(a^{[l]}:\ (n^{[l]},1)\)
-
\(z^{[l]}\)和\(a^{[l]}\)的维度是一样的，且\(dz^{[l]}\)和\(da^{[l]}\)的维度均与\(z^{[l]}\)和\(a^{[l]}\)的维度一致。
对于\(m\)个训练样本，输入矩阵\(X\)的维度是\((n^{[0]},m)\)。需要注意的是\(W^{[l]}\)和\(b^{[l]}\)的维度与只有单个样本是一致的：
-
\(W^{[l]}:\ (n^{[l]},n^{[l-1]})\)
-
\(b^{[l]}:\ (n^{[l]},1)\)
只不过在运算\(Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b^{[l]}\)中，\(b^{[l]}\)会被当成\((n^{[l]},m)\)矩阵进行运算，这是基于python numpy的广播特性，且\(b^{[l]}\)每一列向量都是一样的。\(dW^{[l]}\)和\(db^{[l]}\)的维度分别与\(W^{[l]}\)和\(b^{[l]}\)的相同。
不过，\(Z^{[l]}\)和\(A^{[l]}\)的维度发生了变化：
-
\(Z^{[l]}:\ (n^{[l]},m)\)
-
\(A^{[l]}:\ (n^{[l]},m)\)
-
\(dZ^{[l]}\)和\(dA^{[l]}\)的维度分别与\(Z^{[l]}\)和\(A^{[l]}\)的相同。
4.为什么需要深度网络
当今大家看到的很多AI智能场景背后都是巨大的神经网络在支撑，强大能力很大一部分来源于神经网络足够“深”，也就是说随着网络层数增多，神经网络就更加复杂参数更多，学习能力也更强。下面是一些典型的场景例子说明。
4.1 人脸识别例子
如下图所示的人脸识别场景，训练得到的神经网络，每一层的作用有差别：
- 第一层所做的事就是从原始图片中提取出人脸的轮廓与边缘，即边缘检测。这样每个神经元得到的是一些边缘信息。
- 第二层所做的事情就是将前一层的边缘进行组合，组合成人脸一些局部特征，比如眼睛、鼻子、嘴巴等。
- 后续层次逐层把这些局部特征组合起来，融合成人脸的模样。
可以看出，随着层数由浅到深，神经网络提取的特征也是从边缘到局部特征到整体，由简单到复杂。隐藏层越多，能够提取的特征就越丰富、越复杂，模型的准确率也可能会随之越高。（详细的人脸识别原理可以查看ShowMeAI的文章 CNN应用：人脸识别和神经风格转换 ）
4.2 语音识别例子
语音识别模型也是类似的道理：
- 浅层的神经元能够检测一些简单的音调
- 较深的神经元能够检测出基本的音素
- 更深的神经元就能够检测出单词信息
- 网络足够深的话，还能对短语、句子进行检测
神经网络从浅到深，提取的特征从简单到复杂。特征复杂度与神经网络层数成正相关。特征越来越复杂，表达能力和功能也越强。（详细的语音识别原理知识可以查看ShowMeAI的文章 Seq2seq序列模型和注意力机制 ）
4.3 深度网络其他优势
除学习能力与特征提取强度之外，深层网络还有另外一个优点，就是能够减少神经元个数，从而减少计算量。
下面有一个例子，使用电路理论，计算逻辑输出：
- 上面的计算表达式中，\(\oplus\)表示「异或」操作。
对于这个逻辑运算，如果使用深度网络完成，每层将前一层的两两单元进行异或，最后到一个输出，如下图左边所示。
这样，整个深度网络的层数是\(log_2(n)\)(不包含输入层)。总共使用的神经元个数为：
可见，输入个数是\(n\)，这种深层网络所需的神经元个数仅仅是\(n-1\)个。
如果不用深层网络，仅仅使用单个隐藏层，如上右图所示，由于包含了所有的逻辑位(0和1)，那么需要的神经元个数\(O(2^n)\)是指数级别的大小。
对于其他场景和问题也一样，处理同样的逻辑问题，深层网络所需的神经元个数比浅层网络要少很多。这也是深层神经网络的优点之一。
尽管深度学习有着非常显著的优势，吴恩达老师还是建议对实际问题进行建模时，尽量先选择层数少的神经网络模型，这也符合奥卡姆剃刀定律(Occam’s Razor)。对于比较复杂的问题，再使用较深的神经网络模型。
5.构建深度网络单元块
下面用流程块图来解释神经网络前向传播和反向传播过程。
如图所示，对于第\(l\)层来说，前向传播过程中，我们有：
- 输入：$a^{[l-1]} $
- 输出：$a^{[l]} $
- 参数：\(W^{[l]}\)、\(b^{[l]}\)
- 缓存变量：$z^{[l]} $
反向传播过程中：
- 输入：$da^{[l]} $
- 输出：$da^{[l-1]} \(、\)dW^{[l]} \(、\)db^{[l]}$
- 参数：\(W^{[l]}\)、\(b^{[l]}\)
上面是第\(l\)层的流程块图，对于神经网络所有层，整体的流程块图前向传播过程和反向传播过程如下所示：
6.前向传播与反向传播
我们继续接着上一部分流程块图的内容，推导神经网络正向传播过程和反向传播过程的具体表达式。
6.1 前向传播过程
令层数为第\(l\)层，输入是\(a^{[l-1]}\)，输出是\(a^{[l]}\)，缓存变量是\(z^{[l]}\)。其表达式如下：
\(m\)个训练样本的形态下，向量化形式为：
6.2 反向传播过程
输入是\(da^{[l]}\)，输出是\(da^{[l-1]}\)、\(dW^{[l]}\)、\(db^{[l]}\)。其表达式如下：
由上述第四个表达式可得\(da^{[l]}=W^{[l+1]T}\cdot dz^{[l+1]}\)，将\(da^{[l]}\)代入第一个表达式中可以得到：
该式非常重要，反映了\(dz^{[l+1]}\)与\(dz^{[l]}\)的递推关系。
\(m\)个训练样本的形态下，向量化形式为：
7.参数与超参数
神经网络中有两个大家要重点区分的概念：参数(parameters)和超参数(hyperparameters)。
- 神经网络中的参数就是我们熟悉的\(W^{[l]}\)和\(b^{[l]}\)。
- 神经网络的超参数是例如学习率\(\alpha\)，训练迭代次数\(N\)，神经网络层数\(L\)，各层神经元个数\(n^{[l]}\)，激活函数\(g(z)\)等。
- 之所以叫做超参数，是因为它们需要提前敲定，而且它们会决定参数\(W^{[l]}\)和\(b^{[l]}\)的值。
如何设置最优的超参数是一个比较困难的、需要经验知识的问题。通常的做法是选择超参数一定范围内的值，分别代入神经网络进行训练，测试cost function随着迭代次数增加的变化，根据结果选择cost function最小时对应的超参数值。这类似于机器学习中的实验验证的方法。(关于机器学习的模型评估详见 ShowMeAI文章图解机器学习 | 模型评估方法与准则)
8.神经网络vs人脑
神经网络跟人脑机制到底有什么联系呢？究竟有多少的相似程度？
我们前面看到神经网络实际上可以分成两个部分：前向传播过程和反向传播过程。神经网络的每个神经元采用激活函数的方式，类似于感知机模型。这种模型与人脑神经元是类似的，但是一种非常简化的人脑神经元模型。
人脑神经元可分为树突、细胞体、轴突三部分。树突接收外界电刺激信号(类比神经网络中神经元输入)，传递给细胞体进行处理(类比神经网络中神经元激活函数运算)，最后由轴突传递给下一个神经元(类比神经网络中神经元输出)。
人脑神经元的结构和处理方式要复杂的多，神经网络模型只是非常简化的模型。
人脑如何进行学习？是否也是通过反向传播和梯度下降算法现在还不清楚，可能会更加复杂。这是值得生物学家探索的事情。
参考资料
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