图解AI数学基础 | 概率与统计

作者：韩信子@ShowMeAI
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1.概率论及在AI中的使用

概率（Probability），反映随机事件出现的可能性大小。事件 $A$ 出现的概率，用 $P(A)$ 表示。

概率论（Probability Theory），是研究随机现象数量规律的数学分支，度量事物的不确定性。

概率论&应用 Probability Theory

机器学习大部分时候处理的都是不确定量或随机量。因此，相对计算机科学的其他许多分支而言，机器学习会更多地使用概率论。很多典型的机器学习算法模型也是基于概率的，比如朴素贝叶斯（Naive Bayesian）等。

在人工智能领域，概率论有广泛的应用：

可以借助于概率方法设计算法（概率型模型，如朴素贝叶斯算法）。

可以基于概率与统计进行预测分析（如神经网络中的softmax）。

2.随机变量（Random Variable）

简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现，是可以『随机』地取不同值的『变量』。通常，用大写字母来表示随机变量本身，而用带数字下标的小写字母来表示随机变量能够取到的值。

例如， $X$ 为随机变量， $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{i}$ 是随机变量 $X$ 可能的取值。

随机变量 Random Variable

随机变量可以分为『离散型随机变量』和『连续型随机变量』：

离散型随机变量（discrete random variable）：即在一定区间内变量取值为有限个（或可数个）。例如，某地区某年的出生人口数。
连续型随机变量（continuous random variable）：即在一定区间内变量取值为无限个（或数值无法一一列举出来）。例如，某地区男性健康成人的体重值。

3.随机向量（Random Vector）

随机向量 Random Vector

将几个随机变量按顺序放在一起，组成向量的形式，就是随机向量。

在样本空间全部都一样的情况下，一个 $n$ 维的随机向量是

x \vec{(ξ)} = (\begin{matrix} x_{1} (ξ) \\ x_{2} (ξ) \\ \dots \\ x_{n} (ξ) \end{matrix})

$x \overrightarrow{(\xi)}=\left(\begin{array}{c} x_{1}(\xi) \\ x_{2}(\xi) \\ \cdots \\ x_{n}(\xi) \end{array}\right)$

其中， $\xi$ 就是样本空间中的样本点。随机变量是 $1$ 维随机向量的特殊情况。

4.概率分布（Probability Distribution）

广义上，概率分布用于表述随机变量取值的概率规律。或者说，给定某随机变量的取值范围，概率分布表示该随机事件出现的可能性。

狭义地，概率分布指随机变量地概率分布函数，也称累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。

概率分布 Probability Distribution

离散型随机变量的概率分布：

使用分布列描述离散型随机变量的概率分布，即给出离散型随机变量的全部取值及每个值的概率。
常见的离散型随机变量的分布有：单点分布、0-1分布、几何分布、二项分布、泊松分布等。

连续型随机变量的概率分布：

如果随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，存在非负函数 $f(x)$ 使对于任意实数 $X$ 有 $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ ，则称 $X$ 为连续型随机变量，其中函数 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数。

常见的连续型随机变量的分布有：正态分布、均匀分布、指数分布、 $t-$ 分布、 $F-$ 分布、 $\xi^{2}-$ 分布等。

机器学习中一个典型的概率分布应用，是分类问题中，很多模型最终会预估得到样本属于每个类别的概率，构成1个概率向量，表征类别概率分布。

5.条件概率（Conditional Probability）

条件概率 Conditional Probability

很多情况下我们感兴趣的是，某个事件在给定其它事件发生时出现的概率，这种概率叫条件概率。

给定 $A$ 时 $B$ 发生的概率记为 $P(B \mid A)$ ，概率的计算公式为：

P (B ∣ A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

$P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}$

6.贝叶斯公式（Bayes’ Theorem）

先看看什么是『先验概率』和『后验概率』，以一个例子来说明：

先验概率：某疾病在人群中发病率为 $0.1\%$ ，那某人没有做检验之前，预计患病率为 $P(\text { 患病 })=0.1 \%$ ，这个概率就叫做『先验概率』。

后验概率：该疾病的检测准确率为 $95\%$ ，即该病患者检测显示阳性的概率为 $95\%$ （检测显示阴性的概率为 $5\%$ ），即 $P(\text { 显示阳性|患病 })=95\%$ ；或者说未患病的检测者，检测结果显示阴性的概率为 $95\%$ ，检测显示阳性的概率为 $5\%$ 。那么，检测显示为阳性时，此人的患病概率 $P(\text { 患病| 显示阳性})$ 就叫做『后验概率』。

贝叶斯公式 Bayes' Theorem

贝叶斯公式：贝叶斯提供了一种利用『先验概率』计算『后验概率』的方法：

条件概率公式：

P (B ∣ A) = \frac{P (A B)}{P (A)} P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

$P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \quad\quad\quad P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}$

由条件概率公式变换得到乘法公式：

P (A B) = P (B ∣ A) P (A) = P (A ∣ B) P (B)

$P(A B)=P(B \mid A) P(A)=P(A \mid B) P(B)$

将条件概率公式和乘法公式结合：

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) \cdot P (B)}{P (A)}

$P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}$

引入全概率公式：

P (A) = \sum_{i = 1}^{N} P (A ∣ B_{i}) \cdot P (B_{i})

$P(A)=\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)$

将全概率代入 $P(B \mid A)$ ，可以得到贝叶斯公式：

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P (A ∣ B_{i}) \cdot P (B_{i})}{\sum_{i = 1}^{N} P (A ∣ B_{i}) \cdot P (B_{i})}

$P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}$

上述例子的计算结果：

\begin{aligned} P (患病 ∣ 显示阳性) & = \frac{P (显示阳性|患病) P (患病)}{P (显示阳性)} \\ = \frac{P (显示阳性|患病) P (患病)}{P (显示阳性|患病) P (患病) + P (显示阳性|无病) P (无病)} \\ = \frac{95 % * 0.1 %}{95 % * 0.1 % + 5 % * 99.9 %} = 1.86 % \end{aligned}

$\begin{aligned} P(\text { 患病 } \mid \text { 显示阳性 }) &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性 })} \\ &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })+P(\text { 显示阳性|无病) } P(\text { 无病 })} \\ &=\frac{95 \% * 0.1 \%}{95 \% * 0.1 \%+5 \% * 99.9 \%}=1.86 \% \end{aligned}$

贝叶斯公式贯穿了机器学习中随机问题分析的全过程。从文本分类到概率图模型，其基本分类都是贝叶斯公式。

期望、方差、协方差等主要反映数据的统计特征。机器学习的一个很大应用就是数据挖掘等，因此这些基本的统计概念也是很有必要掌握。另外，像后面的EM算法中，就需要用到期望的相关概念和性质。

7.期望（Expectation）

在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。期望是最基本的数学特征之一，反映随机变量平均值的大小。

期望 Expectation

假设 $X$ 是一个离散型随机变量，其可能的取值有 $\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$ ，各取值对应的概率取值为 $P\left(x_{k}\right)$ ， $k=1, 2, \ldots, n$ 。其数学期望被定义为：

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} P (x_{k})

$E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} P\left(x_{k}\right)$

假设 $X$ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $f(x)$ ，其数学期望被定义为：

E (x) = \int_{- ω}^{+ w} x f (x) d x

$E(x)=\int_{-\boldsymbol{\omega}}^{+\boldsymbol{w}} x f(x) d x$

8.方差（Variance）

在概率论和统计学中，样本方差，是各个样本数据分别与其平均数之差的平方和的平均数。方差用来衡量随机变量与其数学期望之间的偏离程度。

方差 Variance

离散型：（ $\mu$ 表示期望）

D (X) = \sum_{k = 1}^{n} {(x_{k} - μ)}^{2}

$D(X)=\sum_{k=1}^{n} \left(x_{k}-\mu\right)^{2}$

一个快速计算方差的公式（即平方的期望减去期望的平方）：

D (X) = E {[X - E (X)]^{2}} = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

$D(X)=E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}$

连续型：（ $\mu$ 表示期望）

D (x) = \int (x - μ)^{2} f (x) d x

$D(x)=\int(x-\mu)^{2} f(x) d x$

9.协方差（Covariance）

协方差 Covariance

在概率论和统计学中，协方差被用于衡量两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间的总体误差。期望值分别为 $E[X]$ 与 $E[Y]$ 的两个实随机变量 $X$ 与 $Y$ 之间的协方差为：

C o v (X, Y) = E [X - E (X)] [Y - E (Y)] = E (X Y) - E (X) E (Y)

$Cov(X,Y) =E { [X-E(X)][Y-E(Y)] } =E(XY)-E(X)E(Y)$

以下是几个常用等式：

\begin{aligned} C o v (X, Y) & = C o v (Y, X) \\ C o v (X, X) & = D (X) \\ D (X + Y) & = D (X) + D (Y) + 2 C o v (X, Y) \\ C o v (X, Y) & = E (X Y) - E (X) E (Y) \end{aligned}

$\begin{aligned} Cov(X, Y)&=Cov(Y, X) \\ Cov(X, X)&=D(X) \\ D(X+Y)&=D(X)+D(Y)+2 Cov(X, Y) \\ Cov(X, Y)&=E(X Y)-E(X) E(Y) \end{aligned}$

10.相关系数（Correlation coefficient）

11.常见分布函数

常见分布函数 Distribution Function

1）伯努利分布（Bernoulli Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，伯努利分布也叫0-1分布，是单个二值型离散随机变量的分布。

伯努利分布 Bernoulli Distribution

概率分布函数： $P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}$
期望： $E(X)=p$
方差： $D(X)=p(1-p)$

2）几何分布（Geometric Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，几何分布是离散型概率分布，数学符号为 $X\sim G(p)$ 。其定义为：在 $n$ 次伯努利试验中，试验 $k$ 次才得到第一次成功的机率（即前 $k-1$ 次皆失败，第 $k$ 次成功的概率）

几何分布 Geometric Distribution

概率分布函数：

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p

$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p$

期望： $E(X)=\frac{1}{p}$
方差： $D(X)=\frac{1-p}{p^{2}}$

3）二项分布（Binomial Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，二项分布即重复 $n$ 次伯努利试验，各次试验之间都相互独立，并且每次试验中只有两种可能的结果，而且这两种结果发生与否相互对立，数学符号为 $X \sim B(n,p)$ 。

二项分布 Binomial Distribution

如果每次试验时，事件发生的概率为 $p$ ，不发生的概率为 $1-p$ ，则 $n$ 次重复独立试验中发生 $k$ 次的概率为：

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

$P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$

期望： $E(X)=n p$
方差： $D(X)=n p(1-p)$

4）泊松分布（Poisson Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，用于描述某段时间内事件具体的发生概率，数学符号为 $X \sim \pi \left ( \lambda \right )$ 。

泊松分布 Poisson Distribution

泊松分布的参数 $\lambda$ 表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

概率分布函数为：

P (X = k) = \frac{(λ)^{k} e^{- λ}}{k!}

$P(X=k)=\frac{(\lambda )^{k} e^{-\lambda}}{k !}$

期望： $E(X)=\lambda$
方差： $D(X) = \lambda$

例如，某医院平均每小时出生 $2.5$ 个婴儿（ $\lambda=2.5$ ），那么接下来一个小时，会出生几个婴儿？

没有婴儿出生（ $k=0$ ）的概率为： $P(X=0)=\frac{(2.5)^{0} \cdot e^{-2.5}}{0 !} \approx 0.082$
有1个婴儿出生（ $k=1$ ）的概率为： $P(X=1)=\frac{(2.5)^{1} \cdot e^{-2.5}}{1 !} \approx 0.205$
有2个婴儿出生（ $k=2$ ）的概率为： $P(X=2)=\frac{(2.5)^{2} \cdot e^{-2.5}}{2 !} \approx 0.257$

k	0	1	2	···
p	0.082	0.205	0.257	···

通常，柏松分布也叫等待概率，是一种比二项分布应用场景更为丰富的概率模型，在数控、电商优化中也经常能见到它的影子。

5）正态分布（Normal Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，正态分布又叫高斯分布（Gaussian Distribution），其曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。数学符号为 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 。

正态分布 Normal Distribution

若随机变量 $X$ 服从一个数学期望为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^{2}$ 的正态分布，其概率分布函数：

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$

期望： $E(X)=\mu$
方差： $D(X)=\sigma^{2}$

6）均匀分布（Uniform Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。

均匀分布由两个参数 $a$ 和 $b$ 定义，数学符号为 $X \sim U (a, b)$ （其中， $a$ 为数轴上较小值， $b$ 为数轴上较大值）。

均匀分布 Gaussian Distribution

概率分布函数：

f (x) = \frac{1}{b - a}, a < x < b

$f(x)=\frac{1}{b-a} , a<x<b$

期望： $E(X)=\frac{a+b}{2}$
方差： $D(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}$

7）指数分布（Exponential Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，指数分布与其他分布的最大不同之处在于，随机变量 $X$ 指的是不同独立事件发生的时间间隔值，时间越长事件发生的概率指数型增大(减小)，数学符号为 $X \sim E(\lambda)$ 。

指数分布 Exponential Distribution

指数分布的参数 $\lambda$ 表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数，其概率分布函数为：

f (x) = λ e^{- λ x}, x \geq 0

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0$

期望： $E(X)=\frac{1}{\lambda}$
方差： $D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}$

在我们日常的消费领域，通常的目的是求出在某个时间区间内，会发生随机事件的概率有多大。如：银行窗口服务、交通管理、火车票售票系统、消费市场研究报告中被广泛运用。

例如：某医院平均每小时出生 $2.5$ 个婴儿（ $\lambda=2.5$ ）。如果到下一个婴儿出生需要的间隔时间为 $t$ (即时间 $t$ 内没有任何婴儿出生）。

间隔15分钟（ $X=1/4$ ）后才有婴儿出生的概率为： $f(1/4) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{4}} \approx 0.9197$
间隔30分钟（ $X=1/2$ ）后才有婴儿出生的概率为： $f(1/2) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{2}} \approx 0.7163$

一些总结：

常见分布函数 Distribution Function

12.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）

在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和 KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。

在机器学习的过程中，我们经常遇到在有限制的情况下，最大化表达式的问题。如：

\begin{aligned} m a x f (x, y ） \\ s . t . g (x, y) = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} &maxf(x,y）\\ &s.t. \quad g(x,y)=0 \end{aligned}$

此时我们可以构造 $L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right )$ ，其中 $\lambda$ 称为拉格朗日乘子。接下来要对拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda )$ 求导，令其为 $0$ ，解方程即可。

以下是图文解释：

拉格朗日乘子法 Lagrange Multiplier

红线标出的是约束 $g(x,y)=c$ 的点的轨迹。蓝线是 $f(x,y)$ 的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行，从梯度的方向上来看显然有 $d_{1}>d_{2}$ 。

红色的线是约束。如果没有这条约束， $f(x,y)$ 的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。现在加上了约束，正好落在这条红线上的点才可能是满足要求的点。也就是说，应该是在 $f(x,y)$ 的等高线正好和约束线 $g(x,y)$ 相切的位置。

对约束也求梯度 $\nabla g(x,y)$ （如图中红色箭头所示），可以看出要想让目标函数 $f(x,y)$ 的等高线和约束相切 $g(x,y)$ ，则他们切点的梯度一定在一条直线上。也即在最优化解的时候 $\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)-C$ ，即 $\nabla [f(x,y)+\lambda(g(x,y)−c)]=0,\lambda≠0$ 。

那么拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right )$ 在达到极值时与 $f(x,y)$ 相等，因为 $F(x,y)$ 达到极值时 $g(x,y)−c$ 总等于零。

简单的说， $L(x,y,\lambda)$ 取得最优化解的时候，也就是 $L(x,y,\lambda)$ 取极值的时候。此时 $L(x,y,\lambda)$ 的导数为 $0$ ，即 $\nabla L(x,y,\lambda )=\nabla \left [ f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right ) \right ] =0$ ，可以得出 $f(x,y)$ 与 $g(x,y)$ 梯度共线，此时就是在条件约束 $g(x,y)$ 下， $f(x,y)$ 的最优化解。

在支持向量机模型（SVM）的推导中，很关键的一步就是利用拉格朗日对偶性，将原问题转化为对偶问题。

13.最大似然估计（Maximum Likelihood Estimate）

最大概似估计（MLE）是一种粗略的数学期望，指在模型已定、参数 $\theta$ 未知的情况下，通过观测数据估计未知参数 $\theta$ 的一种思想或方法。

最大似然估计的哲学内涵就是：我们对某个事件发生的概率未知，但我们做了一些实验，有过一些对这个事件的经历(经验)，那么我们认为，这个事件的概率应该是能够与我们做的实验结果最吻合。当然，前提是我们做的实验次数应当足够多。

举个例子，假设我们要统计全国人口的身高。首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值。

最大似然估计 Maximum Likelihood Estimate, MLE

最大似然函数的求解思想是：给定样本取值后，该样本最有可能来自参数 $\theta$ 为何值的总体。即：寻找 $\bar{\theta}_{M LE}$ 使得观测到样本数据的可能性最大。

最大似然函数估计值的一般求解步骤是：

写出似然函数

L (θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}) = {\begin{cases} \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i}; θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}) \\ \prod_{i = 1}^{n} f (x_{i}; θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}) \end{cases}

$L\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)=\left\{\begin{array}{l} \prod_{i=1}^{n} p\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \\ \prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \end{array}\right.$

对似然函数取对数
两边同时求导数
令导数为 $0$ 解出似然方程

在机器学习中也会经常见到极大似然的影子。比如后面的逻辑斯特回归模型（LR），其核心就是构造对数损失函数后运用极大似然估计。

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posted @ 2022-02-24 23:46 ShowMeAI 阅读(931) 评论(0) 编辑收藏举报

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