Codeforces Round 974 (Div.3) 题解

Codeforces Round 974 (Div.3) 题解

A. Robin Helps 模拟

按照题意模拟即可。

void Showball(){
   int n,k;
   cin>>n>>k;
   int cur=0,ans=0;
   for(int i=0;i<n;i++){
    int x;
    cin>>x;
    if(x>=k) cur+=x;
    else if(!x){
      if(cur>=1) cur--,ans++;
    }
   } 
   cout<<ans<<endl;
}

B. Robin Hood and the Major Oak 数学

奇数相乘结果永远为奇数，所以 $i^i$ 的奇偶性与 $i$ 的奇偶性一样。所以判断区间奇数个数是否是偶数即可。

void Showball(){
   int n,k;
   cin>>n>>k;
   if(((n+1)/2-(n-k+1)/2)&1) cout<<"NO\n";
   else cout<<"YES\n";
}

C. Robin Hood in Town 二分

单调性显然成立，考虑二分答案。$check$ 函数按照题目模拟即可。注意二分范围要取到 $1e18$。

void Showball(){
   int n;
   cin>>n;
   vector<int> a(n);
   LL sum=0;
   for(int i=0;i<n;i++){
     cin>>a[i];
     sum+=a[i];
   } 
   if(n<=2) return cout<<"-1\n",void();
   
   auto check=[&](LL x){
     double avg=((sum+x)*1.0)/(2.0*n);
     int cnt=0;
     for(int i=0;i<n;i++){
       if(a[i]<avg) cnt++;
     }
     return cnt>n/2;
   };
   LL l=0,r=1e18;
   while(l<r){
    LL mid=l+r>>1;
    if(check(mid)) r=mid;
    else l=mid+1;
   }
   cout<<l<<endl; 
}

D. Robert Hood and Mrs Hood 思维

问题的关键是求解与区间 $[l,r]$ 相交的区间有多少个？直接求不好求解，需要线段树，不妨思考问题的反面。与区间 $[l,r]$ 不相交的区间有多少个？显然为右端点小于 $l$ 的区间和左端点大于 $r$ 的区间数之和。这两部分我们都可以维护一个前缀和后缀即可。

void Showball(){
   int n,d,k;
   cin>>n>>d>>k;
   vector<int> L(n+2),R(n+2);
   for(int i=1;i<=k;i++){
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    L[l]++;
    R[r]++;
   }
   for(int i=1;i<=n;i++) R[i]+=R[i-1];
   for(int i=n;i>=0;i--) L[i]+=L[i+1];
 
   int maxn=-inf,minn=inf,imaxn=0,iminn=0;
   for(int i=1;i+d-1<=n;i++){
     int t=R[i-1]+L[i+d];
     if(t>maxn) maxn=t,imaxn=i;
     if(t<minn) minn=t,iminn=i;
   }
   cout<<iminn<<" "<<imaxn<<endl;
}

E. Rendez-vous de Marian et Robin 最短路

最短路问题，先不考虑骑马，那么答案自然就是以 $1$ 和 $n$ 为起点跑两遍最短路，然后枚举一遍相遇的点，维护一下答案即可。考虑骑马，一旦骑过马，那么之后的权值为都原本的一半，因此我们可以开一个额外的数组维护骑马情况下的最短路。并且把是否骑马也存到优先队列中即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64=long long;

const i64 inf=1e18;
void Showball(){
    int n,m,h;
    cin>>n>>m>>h;
    vector<int> has_house(n);
    for(int i=0;i<h;i++){
        int x;
        cin>>x;
        x--;
        has_house[x]=1;
    }

    vector<vector<array<int,2>>> e(n);
    while(m--){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        u--;
        v--;
        e[u].push_back({v,w});
        e[v].push_back({u,w});
    }

    auto dijkstra=[&](int s){
        priority_queue<array<i64,3>,vector<array<i64,3>>,greater<array<i64,3>>> pq;
        pq.push({0LL,s,0});
        vector<array<i64,2>> dis(n,{inf,inf});
        dis[s][0]=0;
        vector<array<int,2>> st(n);
        while(!pq.empty()){
            auto [d,u,house]=pq.top();
            pq.pop();

            if(st[u][house]) continue;
            st[u][house]=1;

            if(!house&&has_house[u]){
                pq.push({d,u,1});
            }

            for(auto [v,w]:e[u]){
                int nw=house?w/2:w;
                if(dis[v][house]>d+nw){
                    dis[v][house]=d+nw;
                    pq.push({dis[v][house],v,house});
                }
            }
        }

        vector<i64> d(n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            d[i]=min(dis[i][0],dis[i][1]);
        }
        return d;
    };

    auto d1=dijkstra(0);
    auto dn=dijkstra(n-1);

    i64 ans=inf;
    for(int i=0;i<n;i++){
        ans=min(ans,max(d1[i],dn[i]));
    }
    if(ans==inf) ans=-1;
    cout<<ans<<"\n";
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t=1;
    cin>>t;

    while(t--){
      Showball();
    }

    return 0;
}

F. Sheriff's Defense 树形DP

简单的树形DP，考虑每个营地是否强化即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64=long long;

void Showball(){
     int n,c;
     cin>>n>>c;
     vector<vector<int>> e(n);
     vector<int> a(n);
     for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
     for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        u--;
        v--;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
     }

     vector<array<i64,2>> dp(n);
     function<void(int,int)> dfs=[&](int u,int fa)->void{
        dp[u][0]=0;
        dp[u][1]=a[u];

        for(auto v:e[u]){
            if(v==fa) continue;
            dfs(v,u);
            dp[u][0]+=max(dp[v][0],dp[v][1]);
            dp[u][1]+=max(dp[v][0],dp[v][1]-2*c);
        }
     };

     dfs(0,-1);
     
     cout<<max(dp[0][0],dp[0][1])<<"\n";

}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t=1;
    cin>>t;

    while(t--){
      Showball();
    }

    return 0;
}

H. Robin Hood Archery 思维+异或哈希/莫队

容易发现，警长最多平局，不会取得胜利。并且只有区间内所有数出现次数为偶数次时才会达成平局，否则必败。

容易想到前缀异或和，区间异或为 $0$。但其实这是一个必要不充分条件，比如：$1,2,3$ 这三个数的异或和为 $0$ 。但是并不是满足要求的。因此，为了防止发生冲突，我们可以借助哈希。并且原本的区间异或操作可以用差值去求解。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using u64=unsigned long long;

const int N = 1e6+10;

u64 h[N];

void init(){
    mt19937_64 rnd(time(0));
    for(int i=1;i<N;i++){
        h[i]=rnd();
    }
}
void Showball(){
   int n,q;
   cin>>n>>q;
   vector<u64> pre(n+1);
   for(int i=1;i<=n;i++){
     int x;
     cin>>x;
     pre[i]=pre[i-1]^h[x];
   }
   while(q--){
     int l,r;
     cin>>l>>r;
     if(pre[r]==pre[l-1]) cout<<"YES\n";
     else cout<<"NO\n";
   }
} 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t=1;
    cin>>t;
    init();
    while(t--){
      Showball();
    }

    return 0;
}

当然，这道题目也可以用莫队解决。维护同样的问题，那么我们只需要去维护出现次数为奇数的数量是否为 $0$ 即可。有一些卡常，把 $vector$ 换成普通数组就过了。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64=long long;

const int N=1e6+10;
struct Q{
  int l,r,id;
}q[N];

int cnt[N],pos[N],a[N],ans[N];
void Showball(){
  int n,m;
  cin>>n>>m;
  //分块
  int siz=sqrt(n);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];
    cnt[a[i]]=0;
    pos[i]=i/siz;
  }  
  for(int i=0;i<m;i++){
    cin>>q[i].l>>q[i].r;
    q[i].id=i;
  }
  sort(q,q+m,[&](Q x,Q y){
    return pos[x.l]!=pos[y.l]?pos[x.l]<pos[y.l]:(pos[x.l]&1?x.r<y.r:x.r>y.r);
  });

  int l=1,r=0;
  int count=0;

  auto Add=[&](int x){
    cnt[a[x]]^=1;
    if(cnt[a[x]]==1) count++;
    else count--;
  };
  
  for(int i=0;i<m;i++){
    while(q[i].l<l) Add(--l);
    while(q[i].r>r) Add(++r);
    while(q[i].l>l) Add(l++);
    while(q[i].r<r) Add(r--);
    ans[q[i].id]=count;
  }
  for(int i=0;i<m;i++) cout<<(ans[i]?"NO\n":"YES\n");
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t=1;
    cin>>t;

    while(t--){
      Showball();
    }

    return 0;
}