KMP1（字符串基本概念，KMP算法和简单应用)

KMP1（字符串基本概念，KMP算法和简单应用)

基础定义

字符串

$S$：无特殊说明，字符串仅由26个小写字母${}^{\prime }{a}^{\prime }{-}^{\prime }{z}^{\prime }$ 构成， 并用大写字母表示一个字符串。

$|S|$：表示一个字符串的长度

$S[i]$ : 表示字符串 $S$ 第 $i$ 个位置的字母，下标从 $1$ 开始。

子串

$S[l,r]$ : 表示字符串 $S$ 从第 $l$ 到第 $r$ 个字母顺次连接而成的新字符串。

$Pre[i]$: 表示字符串 $S$ 的长度为 $i$ 的前缀， $Pre[i]=s[1,i]$

$Suf[i]$：表示字符串 $S$ 的长度为 $i$ 的后缀， $Suf[i]=s[|S|-i+1,|S|]$

Border

如果字符串 $S$ 的同长度的前缀和后缀完全相同，则称此前缀为一个Border。

特殊地，字符串本身也可以是它的 Border。(根据语境判断)

e.g. 若 $S=bbabbab$，试求所有 Border

$b$

$bbab$

周期和循环节

对于字符串 $S$ 和正整数 $p$，如果有 $S[i]=S[i-p]$ , 对于 $p<i\le |S|$ 成立， 则称 $p$ 为字符串 $S$ 的一个周期。

特殊地， $p=|S|$ 一定是 $S$ 的周期

重要性质

$p$ 是 $S$ 的周期 $⟺|S|-p$ 是 $S$ 的 Border

因此周期和Border 等价，遇到题目可以相互转化

注意： Border 不具有二分性！

Border的性质

传递性：$S$ 的 Border 的 Border 也是 $S$ 的 Border

求 S 的所有 Border 等价于求所有前缀的最大Border

KMP

Next数组：

next[i] 表示 pre[i] 的非平凡最大Border

next[1]=0

我们发现 $pre[i]$ 的 Border 去掉最后一个字母就会变成 $pre[i-1]$ 的Border

因此，求 $pre[i]$ 的Border时，可以遍历 $pre[i-1]$ 的所有Border，

即 $next[i-1],next[next[i-1]],...,0$ ，检查后一个字母是否等于 $s[i]$

参考代码：

struct KMP{
    vector<int> nxt;
	void init(string s){//用来维护出nxt数组
		int n=s.size();
		nxt.assign(n+1,0);
		s="?"+s;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			nxt[i]=nxt[i-1];
			while(nxt[i]&&s[nxt[i]+1]!=s[i]) nxt[i]=nxt[nxt[i]];
			nxt[i]+=(s[nxt[i]+1]==s[i]);
		}
	}
};

例题1 字符串的问题

题目链接

题意：

找出字符串 $S$ 中满足下列条件的最长子串：

1.该子串是 $S$ 的前缀

2.该子串是 $S$ 的后缀

3.该子串除了开头的结尾还出现一次

思路：

转化一下题意，找到最长的在中间出现一次的Border。

朴素做法自然是枚举所有的Border，然后判断是否出现即可。

但其实，我们只用计算 $nxt[n]$ 和 $nxt[nxt[n]]$。因为 $nxt[nxt[n]]$

说明对应的Border至少出现了四次。一定是满足题意的。

代码：

struct KMP{
    vector<int> nxt;
	void init(string s){
		int n=s.size();
		nxt.assign(n+1,0);
		s="?"+s;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			nxt[i]=nxt[i-1];
			while(nxt[i]&&s[nxt[i]+1]!=s[i]) nxt[i]=nxt[nxt[i]];
			nxt[i]+=(s[nxt[i]+1]==s[i]);
		}
	}
};
void Showball(){
    string s;
    cin>>s;
    int n=s.size();
    KMP kmp;
    kmp.init(s);
    int border=kmp.nxt[n];
    for(int i=1;i<n;i++){
    	if(border&&kmp.nxt[i]==border){
    		return cout<<s.substr(0,border),void();
    	}
    }
    border=kmp.nxt[kmp.nxt[n]];
    if(border==0) cout<<"Just a legend";
    else cout<<s.substr(0,border);
}

例题2 字符串匹配(模板)

题目链接

题意：

给出两个字符串 $S$ 和 $T$, 求出 $T$ 在 $S$ 中所有出现的位置。

思路：

枚举每个位置，遇到不同时，只需要跳到下一个Border即可。

template<class Type>
struct KMP{
	vector<int> init(Type s){
		int n=(int)s.size()-1;
		vector<int> nxt(n+1,0);
		for(int i=2;i<=n;i++){
			nxt[i]=nxt[i-1];
			while(nxt[i]&&s[nxt[i]+1]!=s[i]) nxt[i]=nxt[nxt[i]];
			nxt[i]+=(s[nxt[i]+1]==s[i]);
		}
		return nxt;
	}

	vector<int> match(Type s,Type t){
    	vector<int> pos;
		vector<int> nxt=init(t);
		int n=(int)s.size()-1,m=(int)t.size()-1;
		for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
			while(j&&s[i]!=t[j+1]) j=nxt[j];
			j+=(t[j+1]==s[i]);
			if(j==m){//匹配成功
				j=nxt[j];
				pos.push_back(i-m+1);
			}
		}
		return pos;
	}
};
KMP<string> kmp;
void Showball(){
    string s,t;
    cin>>s>>t;
    s="?"+s;
    t="?"+t;
    vector<int> nxt=kmp.init(t);
    vector<int> pos=kmp.match(s,t);
    for(auto x:pos) cout<<x<<endl;
    int n=t.size();
    for(int i=1;i<n;i++) cout<<nxt[i]<<" \n"[i==n-1];
}

例题3 栗酱的数列

题目链接

题意：

给你一个长度为 $n$ 的数列 $A$ 和一个长度为 $m$ 的数列 $B$。$(m\le n)$

求出 $A$ 中有多少个长度为 $m$ 的连续子序列 $A^{\prime }$ 满足 $(A_1^{\prime }+B_1)\mathrm{\%}k=(A_2^{\prime }+B_2)\mathrm{\%}k=...=(A_m^{\prime }+B_m)\mathrm{\%}k$。

思路：

遇到这种式子，一个很经典的处理方式就是将相同类型的移项到同一边。于是有 $(A_1^{\prime }-A_2^{\prime })\mathrm{\%}k=-(B_1-B_2)\mathrm{\%}k$。从 $1$ 到 $m-1$ 都满足。那么，我们可以预处理这两个差分数组。然后问题就变成了匹配问题。我们就可以魔改一下 $KMP$ s算法即可解决。

代码：

void Showball(){
    int n,m,k;
    cin>>n>>m>>k;
    vector<int> a(n+1),b(m+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	cin>>a[i];
    	a[i]%=k;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
    	cin>>b[i];
    	b[i]%=k;
    }

    vector<int> da(n),db(m);
    for(int i=1;i<n;i++) da[i]=(a[i]-a[i+1]+k)%k;	 
    for(int i=1;i<m;i++) db[i]=(k-(b[i]-b[i+1]+k)%k)%k;

    vector<int> ans=kmp.match(da,db);
	cout<<ans.size()<<endl;
}

拓展

Border的性质：

周期定理：若 $p,q$ 均为串 $S$ 的周期，则 $gcd(p,q)$ 也为 $S$ 的周期

一个串的 Border 数量是 $O(n)$ 个，但他们组成了 $O(logN)$ 个等差数列

KMP 的推广

扩展KMP(Z 算法)

KMP 自动机， Border树

AC自动机， 即KMP的多串模式。

Trie图， 即KMP自动机的多串模式。

Border树

定义：

对于一个字符串 $S$, $n=|S|$ , 它的 $Border$ 树 共有 $n+1$ 个节点： $0,1,2,3,...,n$。

$0$ 是这课有向树的根，对于其他点，每个点的父节点是 $nxt[i]$

性质：

1.每个前缀 $pre[i]$ 的所有Border：节点 $i$ 到根的链

2.哪些前缀有长度为 $x$ 的Border： $x$ 的子树

3.求两个前缀的公共Border 等价于求LCA