CF 1971 F. Circle Perimeter (*1600) 思维 数学

CF 1971 F. Circle Perimeter (*1600) 思维 数学

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题意：

找出平面直角坐标系中所有到原点距离 $d$ , 满足 $r\le d<r+1$ 的所有整数坐标点。

思路：

注意到所有的都是对称出现的，因此我们只需要找出第一象限的点然后乘 $4$ 即可。

我们可以枚举从 $1-r$ 横坐标，然后算出纵坐标的范围即可。对于当前枚举的横坐标 $x$。

有 $r\le \sqrt{x^2+y^2}<r+1$ 。平方一下得： $r^2\le x^2+y^2<(r+1{)}^2$ 。

移项得： $r^2-x^2\le y^2<(r+1{)}^2-x^2$ 。开根得： $\sqrt{r^2-x^2}\le y<\sqrt{(r+1{)}^2-x^2}$。

所以有 $y_{min}=\sqrt{r^2-x^2}$ , $y_{max}=\sqrt{(r+1{)}^2-x^2-eps}$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ff first
#define ss second
#define pb push_back
#define all(u) u.begin(), u.end()
#define endl '\n'
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10, M = 105;
const int mod = 1e9 + 7;
const int cases = 1;
const double eps = 0.5;

void Showball(){
   int r;
   cin>>r;
   LL ans=0;
   auto f=[&](LL n){return n*n;};
   for(LL i=1;i<=r;i++){
      LL maxn=floor(sqrt(f(r+1)-f(i)-eps));
      LL minn=ceil(sqrt(f(r)-f(i)));
      ans+=maxn-minn+1;
   }
   cout<<ans*4<<endl;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int T=1;
    if(cases) cin>>T;
    while(T--)
    Showball();
    return 0;
}