2-SAT
2-SAT
2-SAT,简单的说就是给出 \(n\) 个集合,每个集合有两个元素,已知若干个 \(<a,b>\),表示 \(a\) 与 \(b\) 矛盾(其中 \(a\) 与 \(b\) 属于不同的集合)。然后从每个集合选择一个元素,判断能否一共选 \(n\) 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案,一般题中只需要求出一种即可。
对于条件 \(a \lor b\) 可以转换成 \((\lnot a \rightarrow b) \land (\lnot b \rightarrow a)\)。
那么我们可以根据这个式子连边,那么同一强连通分量的值一定是相等的。
所以如果 \(x\) 与 \(\lnot x\) 在同一个强连通分量中时,一定无解。
强连通分量的编号就是反图的拓扑序
编号为1的强联通分量没有出度
模板:
stack<int> stk;
vector<int> e[N];
int dfn[N],low[N],tot;
int instk[N],scc[N],siz[N],cnt;
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++tot;
stk.push(u);instk[u]=1;
for(auto v:e[u]){
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}else if(instk[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u]==low[u]){
int v;++cnt;
do{
v=stk.top();
stk.pop();
instk[v]=0;
scc[v]=cnt;
++siz[cnt];
}while(v!=u);
}
}
void Showball(){
int n,m;
cin>>n>>m;
while(m--){
int i,a,j,b;
cin>>i>>a>>j>>b;
i--;j--;
e[(i<<1)+!a].pb((j<<1)+b);
e[(j<<1)+!b].pb((i<<1)+a);
}
for(int i=0;i<2*n;i++){
if(!dfn[i]) tarjan(i);
}
vector<int> ans(n);
for(int i=0;i<n;i++){
if(scc[i<<1]==scc[i<<1|1]) return cout<<"IMPOSSIBLE\n",void();
ans[i]=scc[i<<1|1]<scc[i<<1];
}
cout<<"POSSIBLE\n";
for(int i=0;i<n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
}