2-SAT

2-SAT

2-SAT，简单的说就是给出 \(n\) 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 \(<a,b>\)，表示 \(a\) 与 \(b\) 矛盾（其中 \(a\) 与 \(b\) 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 \(n\) 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。

对于条件 \(a \lor b\) 可以转换成 \((\lnot a \rightarrow b) \land (\lnot b \rightarrow a)\)。

那么我们可以根据这个式子连边，那么同一强连通分量的值一定是相等的。

所以如果 \(x\) 与 \(\lnot x\) 在同一个强连通分量中时，一定无解。

强连通分量的编号就是反图的拓扑序
编号为1的强联通分量没有出度

模板：

stack<int> stk;
vector<int> e[N];
int dfn[N],low[N],tot;
int instk[N],scc[N],siz[N],cnt;

void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    stk.push(u);instk[u]=1;
    for(auto v:e[u]){
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(instk[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        int v;++cnt;
        do{
            v=stk.top();
            stk.pop();
            instk[v]=0;
            scc[v]=cnt;
            ++siz[cnt];
        }while(v!=u);
    }
}
void Showball(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    while(m--){
        int i,a,j,b;
        cin>>i>>a>>j>>b;
        i--;j--;
        e[(i<<1)+!a].pb((j<<1)+b);
        e[(j<<1)+!b].pb((i<<1)+a);
    }
    for(int i=0;i<2*n;i++){
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    vector<int> ans(n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(scc[i<<1]==scc[i<<1|1]) return cout<<"IMPOSSIBLE\n",void();
        ans[i]=scc[i<<1|1]<scc[i<<1];
    }
    cout<<"POSSIBLE\n";
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
}