一、堆的概念及特性
相对来说，堆的概念虽然也源于生活，但是又高于生活。因为他保留了现实中的一些特征，又新增了一些新的特征。
(1) 现实中的堆
现实中，我们熟悉的堆一般如上图所示，比如木堆。
一般具有这个规律：每层的元素数量比上一层多一个，如果用公式表示则为 f(n) = f(n-1) + 1，初值 f(1) = 1, n表示自顶向下的层数。
其实很容易就得出 f(n) = n 这个公式了，这不是重点，重点是理解现实中的堆。
（2）数据结构中的堆
对比现实中的堆，虽然每层的元素数量相较于上一层都增加了，但是不再是增加固定的数值1了。
观察其规律：每层的元素数量都为上一层的两倍，用公式表示则为 f(n) = f(n-1) * 2, 初值f(1) = 1, n表示自顶向下的层数。
同样可以得出 f(n) = 2^(n-1), 也就是数据结构中的堆是这样一个结构。
我们可以换一种形式理解，这样更加直观，如下：
这样看起来是否更加清晰了呢？
其实从上述的性质也知道，每层的元素数量都为上层的2倍，这其实就是二叉树的节点的性质，所以：
堆本身其实就是一种二叉树的结构，而且是完全二叉树。
二、堆的实现
就如同二叉树一样，无序的树结构、堆结构是没啥实用性的，咱们用到的一般都是有序的树和堆。其中有序的树往往用于二叉查找树，而有序的堆则是指的大根堆、小根堆（这两个概念在其他高级语言中，往往叫优先队列 priority_queue）。
有了前面实现队列和栈的思路，堆的总体思路这里就不再赘述了，具体实现可以看后续代码，这里只谈其中的难点。
那么怎么实现堆的有序性呢？
如上述所知，堆实际上是一种完全二叉树，那么在二叉树中如何实现有序性的呢？这点我们可以借鉴二叉搜索树，二叉搜索树中，有序性是由每个节点的特性来保证的，对于每个节点来说， 左子节点 > 根节点 > 右子节点， 满足该特性，就保证了整个二叉树的数据有序性。
那么在堆中，就可以借鉴这种思想，由每个节点特性来保证整个堆的数据有序性。
由于堆本身的需求和二叉搜索树不同，我们只需要保证每次从堆中取数据，取的值都是堆中最大（或者最小），那么就满足我们的需要了。大根堆（小根堆）的概念就是由此而来。
（1）上述过程中，我们说到了根节点、左子节点、右子节点的关系，那么他们之间是如何联系起来的？也就是说，如何通过根节点，确定左子节点和右子节点呢？
就如同队列和栈一样，堆的实现也是使用的数组进行实现。观察上面的图，其实我们就能发现，根节点和左子节点、右子节点的下标之间是有联系的。如下：
left = root * 2
right = root * 2 + 1
left 为左子节点下标， right为右子节点下标，root为根节点下标。
注意：堆中元素位置从1开始，数组首位一般都是填充位。
（2）往堆中新增元素时，如何保证堆的有序性? (这里用大根堆进行说明)
这个问题其实就是为新元素寻找合适的位置。由于在插入新元素之前，这个堆本身是有序的（也就是对每个节点来说，都有根节点 > 左右子节点）。
那么，我们就可以在堆末尾插入新的元素，这样只需要比较新插入的元素和他的根节点，然后交换位置，直到找到合适的位置，这样就完成了插入新元素的操作。（这个操作，我们称之为自底向上堆化）
如下：
void AddToHeap(Heap *obj, int val)
{
obj->arr[++obj->num] = val; // 先在末尾插入
// 然后调整顺序
int cur = obj->num;
while(cur / 2 > 0 && obj->arr[cur / 2] < obj->arr[cur])
{
Swap(&obj->arr[cur / 2], &obj->arr[cur]);
cur = cur / 2;
}
}
（3）从堆中取出元素时，如何保证堆的有序性? (同样用大根堆进行说明)
由于直接取出堆顶元素，然后再对剩余元素进行堆化操作复杂度过高，一般不采用这种方式。我们可以交换堆顶元素和堆底元素，然后再对堆顶元素进行堆化操作。（这个操作，我们称之为自顶向下堆化）
如下：
void DeleteFromHeap(Heap *obj)
{
// 先交换首尾元素
Swap(&obj->arr[1], &obj->arr[obj->num]);
// 然后调整堆内顺序
obj->num--;
int index = 1;
while(true)
{
int maxIndex = index;
if(index * 2 <= obj->num && obj->arr[maxIndex] < obj->arr[index * 2])
{
maxIndex = index * 2;
}
if(index * 2 + 1 <= obj->num && obj->arr[maxIndex] < obj->arr[index * 2 + 1])
{
maxIndex = index * 2 + 1;
}
if(maxIndex == index)
{
break;
}
Swap(&obj->arr[index], &obj->arr[maxIndex]);
index = maxIndex;
}
}
三、代码实现
typedef struct
{
int *arr; // 实现堆的数组,申请的大小为size + 1
int size; // 堆的size,也是最大的下标值
int num; // 堆中的元素个数
}Heap; // 大根堆
Heap *CreatHeap(int size)
{
Heap *newHeap = malloc(sizeof(Heap));
if(newHeap == NULL)
{
return NULL;
}
newHeap->arr = malloc(sizeof(int) * (size + 1));
if(newHeap->arr == NULL)
{
free(newHeap);
return NULL;
}
newHeap->size = size;
newHeap->num = 0;
return newHeap;
}
void FreeHeap(Heap *obj)
{
free(obj->arr);
free(obj);
}
int GetHeapTop(Heap *obj)
{
return obj->arr[1];
}
void Swap(int *a, int *b)
{
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
void AddToHeap(Heap *obj, int val)
{
obj->arr[++obj->num] = val; // 先在末尾插入
// 然后调整顺序
int cur = obj->num;
while(cur / 2 > 0 && obj->arr[cur / 2] < obj->arr[cur])
{
Swap(&obj->arr[cur / 2], &obj->arr[cur]);
cur = cur / 2;
}
}
void DeleteFromHeap(Heap *obj)
{
// 先交换首尾元素
Swap(&obj->arr[1], &obj->arr[obj->num]);
// 然后调整堆内顺序
obj->num--;
int index = 1;
while(true)
{
int maxIndex = index;
if(index * 2 <= obj->num && obj->arr[maxIndex] < obj->arr[index * 2])
{
maxIndex = index * 2;
}
if(index * 2 + 1 <= obj->num && obj->arr[maxIndex] < obj->arr[index * 2 + 1])
{
maxIndex = index * 2 + 1;
}
if(maxIndex == index)
{
break;
}
Swap(&obj->arr[index], &obj->arr[maxIndex]);
index = maxIndex;
}
}
