1. 题目
读题
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/a5390d76441647fbb182f34bee6a1ca7
来源：牛客网
一维消消乐
小v在vivo手机的应用商店中下载了一款名为“一维消消乐”的游戏，介绍如下：
1、给出一些不同颜色的豆子，豆子的颜色用数字（0-9）表示，即不同的数字表示不同的颜色；2、通过不断地按行消除相同颜色且连续的豆子来积分，直到所有的豆子都消掉为止；3、假如每一轮可以消除相同颜色的连续 k 个豆子（k >= 1），这样一轮之后小v将得到 k*k 个积分；4、由于仅可按行消除，不可跨行或按列消除，因此谓之“一维消消乐”。
请你帮助小v计算出最终能获得的最大积分。
这道题 和 leetcode 546. 移除盒子 是同一道原题
考查点
2. 解法
思路
- 定义一个三维数组dp[i][j][k]，表示区间[i,j]内，左边有k个与boxes[j]相同的盒子时的最大积分。
- 动态转移方程是，
dp[i][j][k] = max(calculate(boxes, dp, i, j - 1, 0) + (k + 1) * (k + 1), calculate(boxes, dp, i, m, k + 1) + calculate(boxes, dp, m + 1, j - 1, 0))，其中m是区间[i,j-1]内与boxes[j]相同颜色的盒子的下标。
- 这个方程的意思是，我们可以选择移除最右边的盒子，或者将区间内与最右边盒子相同颜色的盒子移动到右边，然后计算两个子问题的最大积分和。我们需要在这两种选择中取最大值作为当前状态的值。
这道题很难理解
# dp[i][j][k] 表示在 [i,j]部分能得到的最大得分
# k表示boxes[i]左边有k个与之相等的数可以与它结合（可能原本有多余k个数，但是能和它合并一起消失的，只有k个）
# 如...X DFD X DFDF X SDF [X LSKDFJ X LSJDFLK X DLKFJ...]
# dp[i][j][k]表示只考虑[]部分对分数的贡献，那么第一个X可能跟着前面K个X消失，也可能等着后面的X一起消失
# 1. 跟前面的k个一起消失的话 得分为 (k+1)**2 + helper(i+1,j,0)
# 2.1 跟后面的第二个X一起消失的话，[]中的“LSKDFJ” 部分独立拿分，X成为第二个X开头的子序的前导之一 k->1+k
# 得分为helper(i+1,m-1,0)+helper(m,j,1+k) m此时是第二个X的序号
# 2.2 跟后面的第三个X一起消失的话，[]中的“LSKDFJ X LSJDFLK” 部分独立拿分，X成为第三个X开头的子序的前导之一 k->1+k
# 得分还是helper(i+1,m-1,0)+helper(m,j,1+k) m此时是第三个X的序号
# 2.3 至于“LSKDFJ”与“LSJDFLK”部分分别独立拿分，再合并k+3个X拿分的情况，包含于2.1情况中
# 因为helper(m,j,1+k) 可以递归，下一层的2.1情况就是前K个与第一个X第二个X和第三个X合并
# 所以只用考虑[]中第一个X与第Y个X直接合并，中间部分作为子区间独立拿分的情况
# 几种情况取最高得分，并存入dp[i][j][k]代码逻辑
- 首先，我们需要定义一个三维数组dp[i][j][k]，表示区间[i,j]内，左边有k个与boxes[j]相同的盒子时的最大积分。
- 然后，我们需要找到状态转移方程，即如何从已知的状态得到未知的状态。
- 一种基本的情况是，我们只移除最右边的盒子，那么我们可以得到dp[i][j][k] = calculate(boxes, dp, i, j - 1, 0) + (k + 1) * (k + 1)，其中calculate是一个递归函数，用来计算子问题的答案。
- 另一种情况是，我们尝试将区间[i,j-1]内与boxes[j]相同颜色的盒子移动到右边，这样可以增加积分。为了找到这样的盒子，我们需要遍历区间[i,j-1]，并且判断是否有boxes[m] == boxes[j]。如果有，那么我们可以将区间[i,j-1]分成两个子区间[i,m]和[m+1,j-1]，并且计算它们的最大积分和。
- 我们需要在这两种情况中选择最大的积分作为dp[i][j][k]的值，并且记录下来，避免重复计算。
- 最后，我们返回dp[0][n-1][0]作为最终答案，其中n是盒子的数量。
具体实现
class Solution {
public int removeBoxes(int[] boxes) {
// dp[i][j][k]表示区间[i,j]内，左边有k个与boxes[j]相同的盒子时的最大积分
int[][][] dp = new int[100][100][100];
return calculate(boxes, dp, 0, boxes.length - 1, 0);
}
public int calculate(int[] boxes, int[][][] dp, int i, int j, int k) {
if (i > j) return 0; // 空区间
if (dp[i][j][k] != 0) return dp[i][j][k]; // 已经计算过
// 优化：合并右边连续相同颜色的盒子
while (i < j && boxes[j] == boxes[j - 1]) {
j--;
k++;
}
// 基本情况：只移除最右边的盒子
dp[i][j][k] = calculate(boxes, dp, i, j - 1, 0) + (k + 1) * (k + 1);
// 尝试将区间[i,j-1]内与boxes[j]相同颜色的盒子移动到右边
for (int m = i; m < j; m++) {
if (boxes[m] == boxes[j]) {
// 计算两个子区间的最大积分和
dp[i][j][k] = Math.max(dp[i][j][k], calculate(boxes, dp, i, m, k + 1) + calculate(boxes, dp, m + 1, j - 1, 0));
}
}
return dp[i][j][k];
}
}
