7-010-(LeetCode- 322) 零钱兑换

1. 题目

读题

https://leetcode.cn/problems/coin-change/description/ 

考查点

 这道题的考查点是动态规划的思想和方法，以及如何定义状态和状态转移方程。动态规划是一种将复杂问题分解为子问题，并存储子问题的解的方法。它可以用来解决一些具有最优子结构和重叠子问题的问题，比如零钱兑换问题。要使用动态规划，我们需要定义一个合适的状态，表示问题的某个阶段或子问题的解，以及一个状态转移方程，表示状态之间的关系或递推关系。这道题中，我们定义了一个一维数组dp，其中dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币个数，这就是状态。我们也定义了一个状态转移方程，表示对于每个金额i，我们可以考虑是否使用硬币coin来凑成金额i，如果使用，则需要dp[i-coin]+1个硬币，如果不使用，则需要dp[i]个硬币。我们取两者中的较小值作为dp[i]的更新值，这就是状态转移方程。

2. 解法

思路

这道题的思路是使用动态规划的方法，将复杂问题分解为子问题，并存储子问题的解。具体来说，我们定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币个数。我们从小到大遍历金额i，对于每个金额i，我们遍历硬币数组coins中的每个硬币面额coin，考虑是否使用硬币coin来凑成金额i。如果使用，则需要dp[i-coin]+1个硬币，如果不使用，则需要dp[i]个硬币。我们取两者中的较小值作为dp[i]的更新值。最后，我们返回dp[amount]，如果它等于amount+1，说明无法凑成总金额，返回-1；否则返回它本身。 

 

这道题的状态转移公式是：

dp[i]=min(dp[i],dp[i−coin]+1)

其中，i表示金额，coin表示硬币面额，dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币个数。

 

代码逻辑

代码的逻辑可以分为以下几个步骤：

1. 定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币个数。
2. 初始时，dp[0]=0，其他元素都设为一个较大的值，比如amount+1。
3. 遍历coins数组中的每个硬币面额coin，并更新dp数组中的每个元素。对于每个元素dp[i]，我们可以考虑是否使用硬币coin来凑成金额i，如果使用，则需要dp[i-coin]+1个硬币，如果不使用，则需要dp[i]个硬币。我们取两者中的较小值作为dp[i]的更新值。
4. 最后，我们返回dp[amount]，如果它等于amount+1，说明无法凑成总金额，返回-1；否则返回它本身。

 

具体实现

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        //定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币个数
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始时，dp[0]=0，其他元素都设为一个较大的值，比如amount+1
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            dp[i] = amount + 1;
        }
        //遍历coins数组中的每个硬币面额coin
        for (int coin : coins) {
            //更新dp数组中的每个元素
            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
                //考虑是否使用硬币coin来凑成金额i
                //取两者中的较小值作为dp[i]的更新值
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }
        //返回dp[amount]
        return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount];
    }
}

　　

3. 总结