1. 题目

https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/description/

2. 解法

总有三种解法

动态规划、中心扩展和马拉车算法这三种解法。根据网上的资料，我总结了以下几点：

动态规划的思路是用一个二维数组 dp[i][j] 表示字符串从 i 到 j 的子串是否是回文的，然后根据状态转移方程 dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i+1][j-1] 来更新 dp 数组，并记录最长的回文子串。这种方法的时间复杂度和空间复杂度都是 O(n^2) ，其中 n 是字符串的长度。
中心扩展的思路是遍历字符串的每个位置，以该位置为中心，向两边扩展，判断是否是回文，并记录最长的回文子串。需要注意的是，中心位置可能在一个字符上，也可能在两个字符之间，所以需要分别处理奇数长度和偶数长度的回文。这种方法的时间复杂度是 O(n^2) ，空间复杂度是 O(1) 。
马拉车算法的思路是先对字符串进行预处理，用特殊字符（如 # ）隔开每个字符，使得原来的奇数长度和偶数长度的回文都变成奇数长度。然后用一个数组 P[i] 表示以 i 为中心的最长回文半径，利用回文的对称性和已经计算过的 P 值，避免了一些不必要的扩展。同时维护一个当前已知的最右回文边界 R 和对应的中心 C ，如果 i 在 R 内，那么可以利用 i 关于 C 的对称点 i’ 的 P 值来初始化 P[i] ，否则令 P[i] = 0 。然后再以 i 为中心扩展，并更新 R 和 C 。最后遍历 P 数组，找出最大的 P 值，就是最长回文子串的长度。这种方法的时间复杂度是 O(n) ，空间复杂度是 O(n) 。

中心扩展

主要思路是：

首先判断字符串是否为空或长度为1，如果是，直接返回原字符串，因为它本身就是回文。
然后初始化两个变量 start 和 end ，用来记录最长回文子串的起始和终止位置。
接着遍历字符串的每个位置 i ，以该位置为中心，向两边扩展，寻找最长的回文子串。
对于每个位置 i ，有两种情况需要考虑：一种是以 i 为中心的奇数长度的回文，另一种是以 i 和 i+1 为中心的偶数长度的回文。因此，需要调用两次辅助函数 expandAroundCenter ，分别传入不同的参数，得到两种情况下的回文长度 len1 和 len2 ，然后取两者中较大的值作为当前位置的回文长度 len 。
如果当前位置的回文长度 len 大于之前记录的最大长度 end - start ，说明找到了一个更长的回文子串，那么就更新 start 和 end 的值，使得它们能够包含当前的回文子串。具体地， start = i - (len - 1) / 2 ， end = i + len / 2 。这里需要注意一下奇偶数的处理，可以自己画图验证一下。
最后，当遍历完所有位置后，返回最长回文子串，即 s.substring(start, end + 1) 。这里要注意 substring 的用法，它是左闭右开区间，所以要加上 1 。

具体实现

public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        // 如果字符串为空或长度为1，直接返回原字符串
        if (s == null || s.length() < 2) {
            return s;
        }
        // 初始化最长回文子串的起始和终止位置
        int start = 0, end = 0;
        // 遍历字符串的每个位置，以该位置为中心，向两边扩展
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            // 处理奇数长度的回文
            int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
            // 处理偶数长度的回文
            int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
            // 取两者中较大的长度
            int len = Math.max(len1, len2);
            // 如果当前回文长度大于之前记录的最大长度，更新最长回文子串的起始和终止位置
            if (len > end - start) {
                start = i - (len - 1) / 2;
                end = i + len / 2;
            }
        }
        // 返回最长回文子串
        return s.substring(start, end + 1);
    }
 
    // 定义一个辅助函数，用于以中心为基准向两边扩展，返回回文的长度
    private int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
        // 当左右指针在字符串范围内，并且左右字符相等时，继续扩展
        while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
            left--;
            right++;
        }
        // 返回回文的长度
        return right - left - 1;
    }
}