最大二位子数组和问题(homework-02)

　　前面已经谈过最大一维子数组和问题，这里面扩展到二维。

　　一. 常规情况，一个矩形的数组，找到一个矩形的子数组有最大的元素和，求这个和。

　　1. 从朴素算法入手，枚举矩形数组的4个顶点，以此计算其数组和。同样，时间复杂度很大，我们仅以此入手逐步优化。

　　2. 参照一维数组的思路，保存中间结果，利用动态规划优化算法。优化点就是子数组求和一处，二维数组的求和不同于一维，但是仍然能找到方法：

　　　　先声明这个方法是参考《编程之美》书中的讲解的，鄙人大脑迟钝，尚无法独创：

　　　　令二维数组的起点不是0，而是1，使用PS[i][j]表示以[0][0], [i][0], [0][j], [i][j]四个顶点围起来的子数组和，边界上的PS[*][0]和PS[0][*]全置零。则有：

　　　　　 PS[i][j] = PS[i - 1][j] + PS[i][j - 1] - PS[i - 1][j - 1] + A[i][j]

　　　　　　其中，A为整个二维数组，Row_num, Clm_num分别为数组行数、列数。

void cal_PS(){
    int i, j;
    for (i = 0; i <= Row_num; i++){
        PS[i][0] = 0;
    }
    for (j = 0; j <= Clm_num; j++){
        PS[0][j] = 0;
    }
    for (i = 1; i <= Row_num; i++){
        for (j = 1; j <= Clm_num; j++){
            PS[i][j] = PS[i - 1][j] + PS[i][j - 1] - PS[i - 1][j - 1] + A[i][j];
        }
    }
}

　　　　上面的函数处理了部分和，这部分时间复杂度O(Row_num² * Clm_num²).

　　　3. 有了部分和，下面寻找最大和的数组。我们的核心思路是把未知问题归结到已知的一维问题上。即，首先循环二维子数组数组的上下界，在每个上下界确定的情况下，用一维数组的方　　　　法确定其左右边界。形象一点说，就是先假定数组上下界已知，然后把每一列上的元素压扁，变成一维的。BC(a, c, j)就是a, c两行之间第j列元素加在一起的和。

　　　　　　核心部分如下：

int MaxSum_mode1(){
    int maximum = -2147483648;// 一个足够小的int值
    int Start, All;
    for (int a = 1; a <= Row_num; a++){//起始行
        for (int c = a; c <= Row_num; c++){ //终结行
            Start = BC(a, c, Clm_num);
            All = Start;
            for (int i = Clm_num; i >= 1; i--){
                if(Start < 0)
                    Start = 0;
                Start += BC(a, c, i);
                if(Start > All)
                    All = Start;
            }
            if(All > maximum)
                maximum = All;
        }
        return maximum;
    }
}

　　　　　　　至此，我们完成了新问题的求解和优化，时间复杂度 O(Row_num² * Clm_num)

 

先写这么多，我先把扩展问题搞一搞再写别的 T_T