置信区间与置信度

 

本文简要介绍了置信区间这一核心概念，它有助于我们从直观上理解评价估计优劣的度量方法。

 

假设你想知道美国有多少人热爱足球。为了得到 100％ 正确的答案，你可以做的唯一一件事是向美国的每一位公民询问他们是否热爱足球。根据维基百科，美国有超过 3.25 亿的人口。与 3.25 亿人谈话并不现实，因此我们必须通过问更少的人来得到答案。

我们可以通过在美国随机抽取一些人（与更少人交谈）并获得热爱足球的人的百分比来做到这一点，但是我们不能 100％ 确信这个数字是正确的，或者这个数字离真正的答案有多远。所以，我们试图实现的是获得一个区间，例如，对这个问题的一个可能的答案是：「我 95％ 相信在美国足球爱好者的比例是 58％ 至 62％」。这就是置信区间名字的来源，我们有一个区间，并且我们对它此一定的信心。

非常重要的是我们的样本是随机的，我们不能只从我们居住的城市中选择 1000 人，因为这样就不能很好地代表整个美国。另一个不好的例子是，我们不能给这 1000 个随机用户发 Facebook 消息，这样我们就会得到美国 Facebook 用户的喜爱趋势，因为并不是所有的美国公民都使用 Facebook。

 

我们不知道在美国热爱足球的人的实际比例。我们所知道的是，如果我们从总体分布取无数个样本，它将如下所示：

这里 μ 是总体分布的平均值（我们例子中足球爱好者的实际百分比），σ 是总体分布的标准差。

如果我们知道这一点（并且我们知道标准差），我们可以说约 68％ 的样本会落在红色区域，或者 95％ 以上的样品会落在图中的绿色区域之内：

如果我们在之前假设的实际百分比 65％ 上使用该图，那么 95％ 以上的样本将在 62％ 和 68％ 之间（+ - 3）。

当然，距离是对称的，所以如果样本有 95% 落在在实际百分比 -3 和 +3 之间，那么真实百分比落在样本百分比 -3 和 +3 之间的概率为 95％。

如果我们抽取一个样本，得到了 63％，那么我们可以说我们 95％ 确信实际比例在 60％（63-3）和 66％（63 + 3）之间。

这就是置信区间，区间为 63 + -3，置信度为 95％。

 

标准差决定置信度