统计学习方法 | 第2章 感知机

 

第2章 感知机

 

1．感知机是根据输入实例的特征向量$x$对其进行二类分类的线性分类模型：

$$ f(x)=\operatorname{sign}(w \cdot x+b) $$

感知机模型对应于输入空间（特征空间）中的分离超平面$w \cdot x+b=0$。

2．感知机学习的策略是极小化损失函数：

$$ \min _{w, b} L(w, b)=-\sum_{x_{i} \in M} y_{i}\left(w \cdot x_{i}+b\right) $$

损失函数对应于误分类点到分离超平面的总距离。

3．感知机学习算法是基于随机梯度下降法的对损失函数的最优化算法，有原始形式和对偶形式。算法简单且易于实现。原始形式中，首先任意选取一个超平面，然后用梯度下降法不断极小化目标函数。在这个过程中一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。

4．当训练数据集线性可分时，感知机学习算法是收敛的。感知机算法在训练数据集上的误分类次数$k$满足不等式：

$$ k \leqslant\left(\frac{R}{\gamma}\right)^{2} $$

当训练数据集线性可分时，感知机学习算法存在无穷多个解，其解由于不同的初值或不同的迭代顺序而可能有所不同。

 

二分类模型

$f(x) = sign(w\cdot x + b)$

$\operatorname{sign}(x)=\left\{\begin{array}{ll}{+1,} & {x \geqslant 0} \\ {-1,} & {x<0}\end{array}\right.$

给定训练集：

$T=\left\{\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{N}, y_{N}\right)\right\}$

定义感知机的损失函数

$L(w, b)=-\sum_{x_{i} \in M} y_{i}\left(w \cdot x_{i}+b\right)$

算法

随即梯度下降法 Stochastic Gradient Descent

随机抽取一个误分类点使其梯度下降。

$w = w + \eta y_{i}x_{i}$

$b = b + \eta y_{i}$

当实例点被误分类，即位于分离超平面的错误侧，则调整$w$, $b$的值，使分离超平面向该无分类点的一侧移动，直至误分类点被正确分类

 

拿出iris数据集中两个分类的数据和[sepal length，sepal width]作为特征

In [1]:
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
In [2]:
# load data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
In [3]:
df.columns = [
    'sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label'
]
df.label.value_counts()
Out[3]:
2    50
1    50
0    50
Name: label, dtype: int64
In [4]:
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
Out[4]:
<matplotlib.legend.Legend at 0x212128c3da0>
 
In [5]:
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
In [6]:
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
In [7]:
y = np.array([1 if i == 1 else -1 for i in y])
 

Perceptron

In [8]:
# 数据线性可分，二分类数据
# 此处为一元一次线性方程
class Model:
    def __init__(self):
        self.w = np.ones(len(data[0]) - 1, dtype=np.float32)
        self.b = 0
        self.l_rate = 0.1
        # self.data = data

    def sign(self, x, w, b):
        y = np.dot(x, w) + b
        return y

    # 随机梯度下降法
    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0
            for d in range(len(X_train)):
                X = X_train[d]
                y = y_train[d]
                if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
                    self.w = self.w + self.l_rate * np.dot(y, X)
                    self.b = self.b + self.l_rate * y
                    wrong_count += 1
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True
        return 'Perceptron Model!'

    def score(self):
        pass
In [9]:
perceptron = Model()
perceptron.fit(X, y)
Out[9]:
'Perceptron Model!'
In [10]:
x_points = np.linspace(4, 7, 10)
y_ = -(perceptron.w[0] * x_points + perceptron.b) / perceptron.w[1]
plt.plot(x_points, y_)

plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
Out[10]:
<matplotlib.legend.Legend at 0x21212a24128>
 
 

scikit-learn实例

In [11]:
from sklearn.linear_model import Perceptron
In [12]:
clf = Perceptron(fit_intercept=False, max_iter=1000, shuffle=False)
clf.fit(X, y)
 
C:\ProgramData\Anaconda3\lib\site-packages\sklearn\linear_model\stochastic_gradient.py:183: FutureWarning: max_iter and tol parameters have been added in Perceptron in 0.19. If max_iter is set but tol is left unset, the default value for tol in 0.19 and 0.20 will be None (which is equivalent to -infinity, so it has no effect) but will change in 0.21 to 1e-3. Specify tol to silence this warning.
  FutureWarning)
Out[12]:
Perceptron(alpha=0.0001, class_weight=None, early_stopping=False, eta0=1.0,
      fit_intercept=False, max_iter=1000, n_iter=None, n_iter_no_change=5,
      n_jobs=None, penalty=None, random_state=0, shuffle=False, tol=None,
      validation_fraction=0.1, verbose=0, warm_start=False)
In [13]:
# Weights assigned to the features.
print(clf.coef_)
 
[[  74.6 -127.2]]
In [14]:
# 截距 Constants in decision function.
print(clf.intercept_)
 
[0.]
In [15]:
x_ponits = np.arange(4, 8)
y_ = -(clf.coef_[0][0]*x_ponits + clf.intercept_)/clf.coef_[0][1]
plt.plot(x_ponits, y_)

plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
Out[15]:
<matplotlib.legend.Legend at 0x21212d57e48>
 
posted @ 2019-08-07 13:35  山竹小果  阅读(424)  评论(0)  编辑  收藏  举报