树上差分

在讲树上差分之前，首先需要知道树的以下两个性质：

　　（1）任意两个节点之间有且只有一条路径。

　　（2）根节点确定时，一个节点只有一个父亲节点

这两个性质都很容易证明。那么我们知道，如果假设我们要考虑的是从u到v的路径，u与v的lca是a，那么很明显，如果路径中有一点u′已经被访问了，且u′≠a，那么u'的父亲也一定会被访问，这是根据以上性质可以推出的。所以，我们可以将路径拆分成两条链，u->a和a->v。那么树上差分有两种常见形式：（1）关于边的差分；（2）关于节点的差分。

边的差分：

将边拆成两条链之后，我们便可以像差分一样来找到路径了。用cf[i]代表从ii到ii的父亲这一条路径经过的次数。因为关于边的差分，a是不在其中的，所以考虑链u->a，则就要使cf[u]++，cf[a]−−。然后链a->v，也是cf[v]++，cf[a]−−。所以合起来便是cf[u]++，cf[v]++，cf[a]−=2。然后，从根节点，对于每一个节点x，都有如下的步骤：

（1）枚举x的所有子节点u

（2）dfs所有子节点u

（3）cf[x]+=cf[u]

那么，为什么能够保证这样所有的边都能够遍历到呢？因为我们刚刚已经说了，如果路径中有一点u′已经被访问了，且u′≠a，那么u′的父亲也一定会被访问。所以u′被访问几次，它的父亲也就因为u′被访问了几次。所以就能够找出所有被访问的边与访问的次数了。路径求交等一系列问题就是通过这个来解决的。因为每个点都只会遍历一次，所以其时间复杂度为Θ(n).

点的差分：

还是与和边的差分一样，对于所要求的路径，拆分成两条链。步骤也和上面一样，但是也有一些不同，因为关于点，u与v的lca是需要包括进去的，所以要把lca包括在某一条链中，用cf[i]表示i被访问的次数。最后对cf数组的操作便是cf[u]++，cf[v]++，cf[a]−−，cf[father[a]]−−。其时间复杂度也是一样的Θ(n).

模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3128

代码：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 50010
#define ll long long
#define res register int
struct Node{
    int to,next;
};
Node edge[maxn<<2]; //链式前向星要多开几倍数组
int head[maxn<<2],power[maxn],n,m,d[maxn],fa[maxn][30],ans,num;

inline int read(){ //快读
    int s=0;
    char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') c=getchar();
    while (c>='0' && c<='9') s=s*10+c-'0',c=getchar();
    return s;
}
//链式前向星
inline void add(int x,int y){edge[++num].to=y,edge[num].next=head[x],head[x]=num;}
//接下来是初始化
inline void work(int u,int fath){
    d[u]=d[fath]+1,fa[u][0]=fath;
    for (res i=0;fa[u][i];++i) fa[u][i+1]=fa[fa[u][i]][i];
    for (res i=head[u];i;i=edge[i].next){
        int e=edge[i].to;
        if (e!=fath) work(e,u);
    }
}
//倍增求LCA
inline int Lca(int u,int v){
    if (d[u]>d[v]) swap(u,v);
    for (res i=20;i>=0;--i) if (d[u]<=d[v]-(1<<i)) v=fa[v][i];
    if (u==v) return u;
    for (res i=20;i>=0;--i) if (fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    return fa[u][0];
}
//累计
inline void Get(int u,int fath){
    for (res i=head[u];i;i=edge[i].next){
        int e=edge[i].to;
        if (e==fath) continue;
        Get(e,u);
        power[u]+=power[e];
    }
    ans=max(ans,power[u]);
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    int x,y;
    for (res i=1;i<n;++i){
        x=read(),y=read();
        add(x,y); add(y,x);
    }
    work(1,0);
    for (res i=1; i<=m; ++i){
        x=read(),y=read();
        int lca=Lca(x,y);
        ++power[x];++power[y];--power[lca];--power[fa[lca][0]]; //树上差分
    }
    Get(1,0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}