【UVa#11806】Cheerleaders

Description

UVa#11806

在一张$n\times m$的网格图中放k个人，要求第一行第一列最后一行最后一列都必须放人，每个人都必须放，同一位置只能有一个人

求方案数对1e6+7取模的结果

Solution

容斥原理+状压

由于非法的方案数十分好求，所以我们考虑用总数-非法方案数来求解答案

$$sum_{all}=C_{n\times m}^{k}$$

一个方案非法方案，一定是第一行第一列最后一行最后一列的一个或几个有空位

我们将这四个状压一下，第0位表示第一行是否空缺，第1位表示最后一行，第2位表示第一列，第3位表示最后一列

根据容斥原理，非法方案数=空一个位置-空两个位置+空三个位置-空四个位置-……

如果空一个位置并且是行空缺，那么方案数就是$C_{(n-1)\times m}^{k}$

其他情况以此类推

用杨辉三角处理组合数然后直接容斥就好了

时间复杂度可以看成常数

Code

#include <bits/stdc++.h>
namespace shl {
    typedef long long ll;
    int T, n, m, k;
    int C[510][510];
    const int mod = 1e6 + 7;
    int main() {
        for (register int i = 0; i <= 500; ++i) {
            C[i][0] = C[i][i] = 1;
            for (register int j = 1; j < i; ++j)
                C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
        }
        scanf("%d", &T);
        for (register int QQQ = 1; QQQ <= T; ++QQQ) {
            scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
            ll ans = 0;
            for (register int s = 0; s < 16; ++s) {
                int x = n, y = m, num = 0;
                if (s & 1) x--, num++;
                if (s & 2) x--, num++;
                if (s & 4) y--, num++;
                if (s & 8) y--, num++;
                if (num & 1) ans = (ans - C[x * y][k] + mod) % mod;
                else ans = (ans + C[x * y][k]) % mod;
            }
            printf("Case %d: %lld\n", QQQ, ans % mod);
        }
        return 0;
    }
};
int main() {
    shl :: main();
    return 0;
}