【洛谷P4139】上帝与集合的正确用法

Description

给定$p$，求$2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}\mod p$的值，多组询问。

Solution

首先我们要知道欧拉定理的推论：

在b,p互质时，存在$a^b\equiv a^{b\mod \phi (p)}\pmod p$

在b,p不互质且b>φ(p)时，存在$a^b\equiv a^{b\mod \phi (p) + \phi (p)}\pmod p$

根据第二条推论，这道题我们就可以转化一下：

假定$F=2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}$,那么$F=2^{F\mod \phi(p)+\phi(p)}\mod p$

这样，我们使用线性筛求出φ然后快速幂配合递归即可完成计算

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, p;
const int maxn = 1e7 + 10;
int v[maxn], ph[maxn], prime[maxn];
int m;
void phi() {
    for (register int i = 2; i <= maxn - 6; ++i) {
        if (!v[i]) {
            v[i] = i;
            prime[++m] = i;
            ph[i] = i - 1;
        }
        for (register int j = 1; j <= m; ++j) {
            if (prime[j] > v[i] || prime[j] > (maxn - 6) / i) break ;
            v[i * prime[j]] = prime[j];
            ph[i * prime[j]] = ph[i] * (i % prime[j] ? prime[j] - 1 : prime[j]);
        }
    }
}
ll qpow(ll a, ll n, ll p) {
    ll ret = 1; 
    while (n) {
        if (n & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = a * a % p;
        n >>= 1;
    }        
    return ret;
}
ll calc(ll k) {
    if (k == 0) return 0;
    return qpow(2, calc(ph[k]) + ph[k], k);
}
int main() {
    phi();
    scanf("%lld", &n);
    while (n--) {
        scanf("%lld", &p);
        printf("%lld\n", calc(p));
    }
    return 0;
}