【洛谷P1357】花园
Description
给定一个环形的01序列，保证任意相邻的m个值中有不超过k个1，求满足要求的方案数对1e9+7取模的值
Solution
状压dp+矩阵快速幂
由于m的范围很小，所以我们考虑状压dp存储状态，而由于n很大，所以我们考虑矩阵快速幂优化转移
我们定义$f(i,j)$表示前i个数最后m个的状态为j时的方案数，显然这个dp的初始是所有合法的$f(m,j)$
考虑这个dp的终点，显然是$f(n+m,j)$，别忘了这是一个环形。
那么我们通过矩阵优化转移，定义矩阵x[i][j]表示i状态能否转移到j状态，那么转移我们只需要将这个矩阵自乘n次即可
关于初始状态，我们可以通过dfs枚举合法的状态即可。
最终的答案就是x[i][i]
时间复杂度为$O((2^m)^3log_2n)$
Code
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int mod = 1e9 + 7; 5 ll n, m, k; 6 int maxx, id[7]; 7 struct Matrix { 8 ll m[70][70]; 9 Matrix() {memset(m, 0, sizeof(m));} 10 Matrix operator *(const Matrix &x) const { 11 Matrix ret; 12 for (register int i = 0; i <= maxx; ++i) 13 for (register int j = 0; j <= maxx; ++j) 14 for (register int k = 0; k <= maxx; ++k) 15 ret.m[i][j] = (ret.m[i][j] + m[i][k] * x.m[k][j] % mod) % mod; 16 return ret; 17 } 18 } a, b; 19 int vis[1000]; 20 void make(int s, int num) { 21 int last = s >> 1; 22 vis[s] = 1; b.m[last][s] = 1; 23 if (num < k || s & 1) b.m[last + id[m - 1]][s] = 1; 24 } 25 void dfs(int x, int now, int s) { 26 if (x == m + 1) { 27 make(s, now); 28 return ; 29 } 30 dfs(x + 1, now, s); 31 if (now < k) dfs(x + 1, now + 1, s | id[x - 1]); 32 } 33 int main() { 34 scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k); 35 maxx = (1 << m) - 1; 36 id[0] = 1; 37 for (register int i = 1; i <= 6; ++i) id[i] = id[i - 1] << 1; 38 for (register int i = 0; i <= maxx; ++i) a.m[i][i] = 1; 39 dfs(1, 0, 0); 40 while (n) { 41 if (n & 1) a = a * b; 42 b = b * b; 43 n >>= 1; 44 } 45 ll ans = 0; 46 for (register int i = 0; i <= maxx; ++i) 47 if (vis[i]) ans = (ans + a.m[i][i]) % mod; 48 printf("%lld\n", ans); 49 return 0; 50 }
