【洛谷P1962】斐波那契数列

Description

给定n，求斐波那契数列第n项对1e9+7取模的值

Solution

由于数据太大，朴素的递推会超时，所以我们考虑用矩阵优化。

首先我们要明确矩阵乘法的运算法则，假设A是一个n*m的矩阵，B是一个m*p的矩阵，C是一个n*p的矩阵且满足C=A*B，那么存在

$$C_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{m}{A_{i,k}*B_{k,j}}$$

举一个简单的例子就能直观的反映这个式子：

$$
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 \\
4 & 5
\end{matrix}
\right] \times
\left[
\begin{matrix}
6 \\
7
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
2*6+3*7 \\
4*6+5*7
\end{matrix}
\right]
$$

然后我们考虑如何优化斐波那契数列

 我们假设$Fib(n)$表示一个矩阵

$
\left[
\begin{matrix}
f_{n} & f_{n-1}
\end{matrix}
\right]
$，那么我们希望有一个矩阵base，使得$Fib(n-1)\times base = Fib(n)$，也就是我们希望这样：

$$
\left[
\begin{matrix}
f_{n - 1} & f_{n - 2}
\end{matrix}
\right] \times base =
\left[
\begin{matrix}
f_{n} & f_{n-1}
\end{matrix}
\right]$$

那么我们显然可以看出

$$base=\left[\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right] $$

所以，我们定义初始矩阵$ans=\left[\begin{matrix} f_1 & f_2\end{matrix}\right] $，然后计算$ans\times base^{n-2}$即可

关于计算结果，我们可以定义结构体并且重载乘号使得矩阵乘法可以直接运算，关于乘方运算我们可以类比整数快速幂来实现矩阵快速幂

时间复杂度为$O(2^3log_2{n})$

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
ll n;
struct Matrix {
    ll m[3][3];
    Matrix() {
        memset(m, 0, sizeof(m));
    }
    Matrix operator *(const Matrix &x) const {
        Matrix ret;
        for (register int i = 1; i <= 2; ++i)
            for (register int j = 1; j <= 2; ++j)
                for (register int k = 1; k <= 2; ++k)
                    ret.m[i][j] = (ret.m[i][j] + m[i][k] * x.m[k][j]) % mod;
        return ret; 
    }
} a, base;
void qpow(ll p) {
    while (p) {
        if (p & 1) a = a * base;
        base = base * base;
        p >>= 1;
    }
}
int main() {
    scanf("%lld", &n);
    if (n <= 2) {
        puts("1");
        return 0;
    }
    base.m[1][1] = base.m[1][2] = base.m[2][1] = 1;
    a.m[1][1] = a.m[1][2] = 1;
    qpow(n - 2);
    printf("%lld\n", a.m[1][1] % mod);
    return 0;
}