【CQOI2007】余数求和

Description

给定n,k，求$\sum\limits_{i=1}^{n}(k\ mod\ i)$的值

Solution

这是一道整除分块的模板题。

我们将mod运算拆开，得到$ans=n\times k-\sum\limits_{i=1}^{n}(\lfloor\frac{k}{i}\rfloor i)$

我们发现，$\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$的值在某一区间的值的相等的，所以我们可以将这一块集中处理，在[1,n]内大约有$\sqrt{k}$块，所以时间复杂度大约为$O(\sqrt{k})$

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read() {
    ll ret = 0, op = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c == '-') op = -1; 
        c = getchar();
    }
    while (isdigit(c)) {
        ret = ret * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return ret * op;
}
int main() {
    ll n = read(), k = read();
    ll ans = n * k;
    for (register int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
        if (k / l == 0) r = n;
        else r = min(n, k / (k / l));
        ans -= (r - l + 1) * (k / l) * (l + r) >> 1; 
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}