浅谈乘法逆元的线性算法

众所周知，乘法逆元可以通过Exgcd和费马小定理求解，如果我们在题目中需要预处理连续的一段数的逆元，我们需要更高效的算法求解。

1.线性递推求解乘法逆元

首先，我们声明在下列计算中同余均是在模p意义下

我们可以简单计算1^-1≡1

考虑任意正整数i，假定i-1的逆元已经正确计算，我们递推方程的计算过程如下：

令$p=k*i+r$,则$k=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor,r=p\ mod\ i$
$$k*i+r\equiv0\pmod p$$
$$k*r^{-1}+i^{-1}\equiv0\pmod p$$
$$i^{-1}\equiv-k*r^{-1}\pmod p$$
$$i^{-1}\equiv-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor*(p\ mod\ i)^{-1} \pmod p$$
$$i^{-1}\equiv p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor*(p\ mod\ i)^{-1} \pmod p$$

注意：最后一步我们在等号右边加p，目的是防止出现负数。由于p mod p =0 所以我们在右边加p是正确的

综上，我们得到了线性递推乘法逆元的算法。时间复杂度为O(n)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, a[3000010], p;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &p);
    a[1] = 1;
    for(register int i = 2; i <= n; ++i)
        a[i] =(ll) (p - p / i) * a[p % i] % p;
    for(register int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", a[i]);
    return 0;
}

2.阶乘逆元的线性递推

我们先用Exgcd求出一个阶乘值的逆元

之后，我们就能轻松用递推求出阶乘的逆元了。