3、如何理解超平面?
参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/145706435
首先明确几个定义:(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中,一条直线是一维的,它把平面分成了两块;三维空间中,一个平面是二维的,它把空间分成了两块。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。
在 空间中,假如有法向量 ,过原点的平面内任意原点出发的向量 必然与之满足 。如果平面沿着法向量的方向上下平移了,那么这个方程就不成立了。
我们假设平移之后平面经过 ,平面内任意一点记为 ,法向量记为 ,如下图。
不难看出, 在平面内,当然也就和法向量垂直。于是我们有:
化简后得:
即 。由于其为常数项,令 ,于是超平面的公式可以写成:
1. 这个结论同样适用于 空间; 2. 无论超平面如何平移,系数始终是法向量 。
点到超平面的距离
上图中 是平面外的一点。我们要求的距离记为 ,也就是红色的线段。根据三角函数可以得到: (空间中一点向超平面作垂线, 只能是锐角,不必担心正负)。因为 肯定和法向量平行,所以这样来算夹角: (因为法向量可能反向,所以给等式左边加上绝对值),联立得:
因为 在超平面内, ,于是最后得到的任意点到超平面的距离公式: