阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.8 Affine Subspaces

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• 首次发表日期：2024-07-24
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2.8 仿射空间

接下来，我们将更详细地考察从原点偏移的空间，即不再是向量子空间的空间。此外，我们还将简要讨论这些仿射空间之间映射的性质，这些映射类似于线性映射。

备注。在机器学习文献中，线性和仿射之间的区别有时并不明确，以至于我们可以发现将仿射空间/映射称为线性空间/映射的参考文献。

2.8.1 仿射空间

定义 2.25（仿射子空间）。设 $V$ 为一个向量空间，${\mathit{x}}_0\in V$，$U\subseteq V$ 为一个子空间。那么子集

$$\begin{array}{}\text{(2.130a)}& L& ={\mathit{x}}_0+U:=\{{\mathit{x}}_0+\mathit{u}:\mathit{u}\in U\}\text{(2.130b)}& & =\{\mathit{v}\in V\mid \mathrm{\exists }\mathit{u}\in U:\mathit{v}={\mathit{x}}_0+\mathit{u}\}\subseteq V\end{array}$$

称为 $V$ 的仿射子空间或线性流形（linear manifold）。$U$ 称为方向或方向空间（direction space），${\mathit{x}}_0$ 称为支点（support point）。在第12章中，我们将这种子空间称为超平面。

注意，如果 ${\mathit{x}}_0\notin U$，则仿射子空间的定义排除了 $\mathbf{0}$。因此，对于 ${\mathit{x}}_0\notin U$，仿射子空间不是 $V$ 的（线性）子空间（向量子空间）。

仿射子空间的例子有 ${\mathbb{R}}^3$ 中的点、线和平面，这些点、线和平面不（一定）通过原点。

备注。考虑向量空间 $V$ 的两个仿射子空间 $L={\mathit{x}}_0+U$ 和 $\tilde{L}={\tilde{\mathit{x}}}_0+\tilde{U}$。当且仅当 $U\subseteq \tilde{U}$ 且 $x_0-{\tilde{x}}_0\in \tilde{U}$ 时，$L\subseteq \tilde{L}$。

仿射子空间通常由参数描述：考虑一个 $V$ 的 $k$ 维仿射空间 $L={\mathit{x}}_0+U$。如果 $({\mathit{b}}_1,\dots ,{\mathit{b}}_k)$ 是 $U$ 的一个有序基，那么每个元素 $\mathit{x}\in L$ 都可以唯一地描述为

$$\begin{array}{}\text{(2.131)}& \mathit{x}={\mathit{x}}_0+{\lambda }_1{\mathit{b}}_1+\dots +{\lambda }_k{\mathit{b}}_k,\end{array}$$

其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in \mathbb{R}$。这种表示称为具有方向向量 ${\mathit{b}}_1,\dots ,{\mathit{b}}_k$ 和参数 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ 的 $L$ 的参数方程。

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**例 2.26（仿射子空间）**

• 一维仿射子空间称为直线，可以写作 $\mathit{y}={\mathit{x}}_0+\lambda {\mathit{b}}_1$，其中 $\lambda \in \mathbb{R}$，$U=\mathrm{span}\left[{\mathit{b}}_1\right]\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一维子空间。这意味着直线由一个支点 ${\mathit{x}}_0$ 和一个定义方向的向量 ${\mathit{b}}_1$ 定义。参见图 2.13 了解示意图。
• ${\mathbb{R}}^n$ 的二维仿射子空间称为平面。平面的参数方程为 $\mathit{y}={\mathit{x}}_0+{\lambda }_1{\mathit{b}}_1+{\lambda }_2{\mathit{b}}_2$，其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$，$U=\mathrm{span}[{\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2]\subseteq {\mathbb{R}}^n$。这意味着平面由一个支点 ${\mathit{x}}_0$ 和两个线性独立的向量 ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2$ 定义，这两个向量张成方向空间（span the direction space）。
• 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，$(n-1)$ 维仿射子空间被称为超平面，相应的参数方程为 $\mathit{y}={\mathit{x}}_0+\sum _{i=1}^{n-1}{\lambda }_i{\mathit{b}}_i$，其中 ${\mathit{b}}_1,\dots ,{\mathit{b}}_{n-1}$ 构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个 $(n-1)$ 维子空间 $U$ 的基。这意味着超平面由一个支点 ${\mathit{x}}_0$ 和 $(n-1)$ 个线性独立的向量 ${\mathit{b}}_1,\dots ,{\mathit{b}}_{n-1}$ 定义，这些向量张成方向空间。在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，直线也是超平面。在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，平面也是超平面。

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备注（非齐次线性方程组和仿射子空间）。对于 $\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 和 $\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^m$，线性方程组 $\mathit{A}\mathit{\lambda }=\mathit{x}$ 的解要么是空集，要么是 ${\mathbb{R}}^n$ 中维度为 $n-\mathrm{rk}(\mathit{A})$ 的仿射子空间。特别地，当 $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\ne (0,\dots ,0)$ 时，线性方程 ${\lambda }_1{\mathit{b}}_1+\dots +{\lambda }_n{\mathit{b}}_n=\mathit{x}$ 的解是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个超平面。

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，每个 $k$ 维仿射子空间都是非齐次线性方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b}$ 的解，其中 $\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，$\mathit{b}\in {\mathbb{R}}^m$ 并且 $\mathrm{rk}(\mathit{A})=n-k$。回想一下，对于齐次方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$，解是一个向量子空间，我们也可以将其视为一个特殊的仿射空间，其支点为 ${\mathit{x}}_0=\mathbf{0}$。

2.8.2 仿射映射

类似于我们在 2.7 节讨论的向量空间之间的线性映射，我们可以在两个仿射空间之间定义仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质，例如线性映射的复合（composition）是一个线性映射，也适用于仿射映射。

定义 2.26（仿射映射）。对于两个向量空间 $V,W$，一个线性映射 $\mathrm{\Phi }:V\to W$，以及 $\mathit{a}\in W$，映射

$$\begin{array}{}\text{(2.132)}& \varphi :V& \to W\text{(2.133)}& \mathit{x}& \mapsto \mathit{a}+\mathrm{\Phi }(\mathit{x})\end{array}$$

是从 $V$ 到 $W$ 的仿射映射。向量 $\mathit{a}$ 被称为 $\varphi$ 的平移向量。

• 每一个仿射映射 $\varphi :V\to W$ 也是线性映射 $\mathrm{\Phi }:V\to W$ 和 $W$ 中的平移 $\tau :W\to W$ 的复合，使得 $\varphi =\tau \circ \mathrm{\Phi }$。映射 $\mathrm{\Phi }$ 和 $\tau$ 是唯一确定的（uniquely determined）。
• 仿射映射 $\varphi :V\to W,{\varphi }^{\prime }:W\to X$ 的复合 ${\varphi }^{\prime }\circ \varphi$ 是仿射的。
• 如果 $\varphi$ 是双射的，仿射映射保持几何结构不变。它们还保留维度和平行性。