【转】完美洗牌算法
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题目
有个长度为2n的数组{a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn}，希望排序后{a1,b1,a2,b2,….,an,bn}，请考虑有无时间复杂度o(n)，空间复杂度0(1)的解法。
来源
2013年UC的校招笔试题
思路一
第①步、确定b1的位置，即让b1跟它前面的a2，a3，a4交换：
a1，b1，a2，a3，a4，b2，b3，b4
第②步、接着确定b2的位置，即让b2跟它前面的a3，a4交换：
a1，b1，a2，b2，a3，a4，b3，b4
第③步、b3跟它前面的a4交换位置：
a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4
b4已在最后的位置，不需要再交换。如此，经过上述3个步骤后，得到我们最后想要的序列。但此方法的时间复杂度为O（n^2）
代码一
1 /*--------------------------------------------- 2 * 日期：2015-02-13 3 * 作者：SJF0115 4 * 题目: 完美洗牌算法 5 * 来源：2013年UC的校招笔试题 6 * 博客： 7 -----------------------------------------------*/ 8 #include <iostream> 9 using namespace std; 10 11 class Solution { 12 public: 13 void PerfectShuffle(int *A,int n){ 14 if(n <= 1){ 15 return; 16 }//if 17 // 18 int size = 2*n; 19 int index,count; 20 for(int i = n;i < size;++i){ 21 // 交换个数 22 count = n - (i - n) - 1; 23 // 待交换 24 index = i; 25 for(int j = 1;j <= count;++j){ 26 swap(A[index],A[i-j]); 27 index = i - j; 28 }//for 29 }//for 30 } 31 }; 32 33 34 int main() { 35 Solution solution; 36 int A[] = {1,2,3,4,5,6,7,8}; 37 solution.PerfectShuffle(A,4); 38 for(int i = 0;i < 8;++i){ 39 cout<<A[i]<<" "; 40 }//for 41 cout<<endl; 42 }
思路二
我们每次让序列中最中间的元素进行两两交换。还是上面的例子：
a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4
第①步：交换最中间的两个元素a4，b1：
a1，a2，a3，b1，a4，b2，b3，b4
第②步：最中间的两对元素各自交换：
a1，a2，b1，a3，b2，a4，b3，b4
第③步：交换最中间的三对元素：
a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4
此思路同上述思路一样，时间复杂度依然为O（n^2）。仍然但不到题目要求。
代码二
1 /*--------------------------------------------- 2 * 日期：2015-02-13 3 * 作者：SJF0115 4 * 题目: 完美洗牌算法 5 * 来源：2013年UC的校招笔试题 6 * 博客： 7 -----------------------------------------------*/ 8 #include <iostream> 9 using namespace std; 10 11 class Solution { 12 public: 13 void PerfectShuffle(int *A,int n){ 14 if(n <= 1){ 15 return; 16 }//if 17 // 18 int left = n - 1,right = n; 19 // 交换次数 20 for(int i = 0;i < n-1;++i){ 21 for(int j = left;j < right;j+=2){ 22 swap(A[j],A[j+1]); 23 }//for 24 --left; 25 ++right; 26 }//for 27 } 28 }; 29 30 31 int main() { 32 Solution solution; 33 int A[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; 34 solution.PerfectShuffle(A,5); 35 for(int i = 0;i < 10;++i){ 36 cout<<A[i]<<" "; 37 }//for 38 cout<<endl; 39 }
思路三（完美洗牌算法）
玩过扑克牌的朋友都知道，在一局完了之后洗牌，洗牌人会习惯性的把整副牌大致分为两半，两手各拿一半对着对着交叉洗牌。
2004年，microsoft的Peiyush Jain在他发表一篇名为：“A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle”的论文中提出了完美洗牌算法。
什么是完美洗牌问题呢？即给定一个数组a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3..bn,最终把它置换成b1,a1,b2,a2,…bn,an。这个完美洗牌问题本质上与本题完全一致，只要在完美洗牌问题的基础上对它最后的序列swap两两相邻元素即可。
（1）对原始位置的变化做如下分析：
（2）依次考察每个位置的变化规律：
a1：1 -> 2
a2：2 -> 4
a3：3 -> 6
a4：4 -> 8
b1：5 -> 1
b2：6 -> 3
b3：7 -> 5
b4：8 -> 7
对于原数组位置i的元素，新位置是(2*i)%(2n+1)，注意，这里用2n表示原数组的长度。后面依然使用该表述方式。有了该表达式，困难的不是寻找元素在新数组中的位置，而是为该元素“腾位置”。如果使用暂存的办法，空间复杂度必然要达到O(N)，因此，需要换个思路。
（3）我们这么思考：a1从位置1移动到位置2，那么，位置2上的元素a2变化到了哪里呢？继续这个线索，我们得到一个“封闭”的环：
1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 7 -> 5 -> 1
沿着这个环，可以把a1、a2、a4、b4、b3、b1这6个元素依次移动到最终位置；显然，因为每次只移动一个元素，代码实现时，只使用1个临时空间即可完成。(即：a=t;t=b;b=a)
此外，该变化的另外一个环是：
3 -> 6 -> 3
沿着这个环，可以把a3、b2这2个元素依次移动到最终位置。
1 // 走圈算法 2 void CycleLeader(int *a,int start, int n) { 3 int pre = a[start]; 4 // 2 * i % (2 * n + 1) 5 int mod = 2 * n + 1; 6 // 实际位置 7 int next = start * 2 % mod; 8 // 按环移动位置 9 while(next != start){ 10 swap(pre,a[next]); 11 next = 2 * next % mod; 12 }//while 13 a[start] = pre; 14 }
4）上述过程可以通过若干的“环”的方式完整元素的移动，这是巧合吗？事实上，该问题的研究成果已经由Peiyush Jain在10年前公开发表在A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle, Microsoft, 2004中。原始论文直接使用了一个结论，这里不再证明：对于2*n =（3^k-1）这种长度的数组，恰好只有k个环，且每个环的起始位置分别是1,3,9，…3^(k-1)。
对于上面的例子，长度为8，是3^2-1，因此，只有2个环。环的起始位置分别是1和3。
（5）至此，完美洗牌算法的“主体工程”已经完工，只存在一个“小”问题：如果数组长度不是（3^k-1）呢？
若2n!=（3^k-1），则总可以找到最大的整数m，使得m< n，并且2m=（3^k-1）。
对于长度为2m的数组，调用（3）和（4）中的方法整理元素，剩余的2（n-m）长度，递归调用（5）即可。
（6）需要交换一部分数组元素
（下面使用[a,b]表示从a到b的一段子数组，包括端点）
①图中斜线阴影部分的子数组[1，m]应该和[n + 1,n + m]组成一个数组，调用（3）和（4）中的算法；
②数组[m+1,m+n]循环左移n-m次即可。（循环位移是存在空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)的算法）
（7）原始问题要输出a1,b1,a2,b2……an,bn，而完美洗牌却输出的是b1,a1,b2,a2,……bn,an。解决办法非常简单：忽略原数组中的a1和bn，对于a2,a3,……an,b1,b2,……bn-1调用完美洗牌算法，即为结论。
举个例子： n = 6
a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6
循环左移
介绍一下时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O（1）的循环移位操作。
思路：
假设循环左移m位。把数组分成两段，第一段为前m个元素，第二段为剩余元素。把第一段和第二段先各自翻转一下，再将整体翻转下。
1 // 翻转 start 开始位置 end 结束位置 2 void Reverse(int *a,int start,int end){ 3 while(start < end){ 4 swap(a[start],a[end]); 5 ++start; 6 --end; 7 }//while 8 } 9 // 循环左移m位 n数组长度 下标从1开始 10 void LeftRotate(int *a,int m,int n){ 11 // 翻转前m位 12 Reverse(a,1,m); 13 // 翻转剩余元素 14 Reverse(a,m+1,n); 15 // 整体翻转 16 Reverse(a,1,n); 17 }
代码：
1 /*--------------------------------------------- 2 * 日期：2015-02-13 3 * 作者：SJF0115 4 * 题目: 完美洗牌算法 5 * 来源：2013年UC的校招笔试题 6 * 博客： 7 -----------------------------------------------*/ 8 #include <iostream> 9 using namespace std; 10 11 class Solution { 12 public: 13 // 完美洗牌算法 14 void PerfectShuffle(int *a,int n){ 15 while(n >= 1){ 16 // 计算环的个数 17 int k = 0; 18 // 3^1 19 int r = 3; 20 // 2 * m = 3^k - 1 21 // m <= n -> 2 * m <= 2 * n -> 3^k - 1 <= 2 * n 22 // 寻找最大的k使得3^k - 1 <= 2*n 23 while(r - 1 <= 2*n){ 24 r *= 3; 25 ++k; 26 }//while 27 int m = (r / 3 - 1) / 2; 28 // 循环左移n-m位 29 LeftRotate(a+m,n-m,n); 30 // k个环 环起始位置start: 1,3...3^(k-1) 31 for(int i = 0,start = 1;i < k;++i,start *= 3) { 32 // 走圈 33 CycleLeader(a,start,m); 34 }//for 35 a += 2*m; 36 n -= m; 37 } 38 } 39 private: 40 // 翻转 start 开始位置 end 结束位置 41 void Reverse(int *a,int start,int end){ 42 while(start < end){ 43 swap(a[start],a[end]); 44 ++start; 45 --end; 46 }//while 47 } 48 // 循环右移m位 n数组长度 下标从1开始 49 void LeftRotate(int *a,int m,int n){ 50 // 翻转前m位 51 Reverse(a,1,m); 52 // 翻转剩余元素 53 Reverse(a,m+1,n); 54 // 整体翻转 55 Reverse(a,1,n); 56 } 57 // 走圈算法 58 void CycleLeader(int *a,int start, int n) { 59 int pre = a[start]; 60 // 2 * i % (2 * n + 1) 61 int mod = 2 * n + 1; 62 // 实际位置 63 int next = start * 2 % mod; 64 // 按环移动位置 65 while(next != start){ 66 swap(pre,a[next]); 67 next = 2 * next % mod; 68 }//while 69 a[start] = pre; 70 } 71 }; 72 73 74 int main() { 75 Solution solution; 76 int A[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; 77 solution.PerfectShuffle(A,6); 78 for(int i = 1;i <= 12;++i){ 79 cout<<A[i]<<" "; 80 }//for 81 cout<<endl; 82 }
拓展一
问题：如果输入是a1,a2,……an, b1,b2,……bn, c1,c2,……cn，要求输出是c1,b1,a1,c2,b2,a2,……cn,bn,an怎么办？
分析： 这个问题本质上其实还是上面的完美洗牌算法一样，我们一样还是分析其规律。
对于原数组位置i的元素，新位置是(3*i)%(3n+1)
图中所说的步骤三四五和上面的三四五大体一样，只是细节不太一样，看图就明白了。
引用：
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/10212493
http://ask.julyedu.com/question/33
http://blog.csdn.net/caopengcs/article/details/10521603
http://cs.stackexchange.com/questions/332/in-place-algorithm-for-interleaving-an-array/400#400
