[论文阅读报告] Fast 2-Approximate All-Pairs Shortest Paths, SODA '24

本篇文章介绍 $\tilde O(n^{2.032})$ 的无向无权图全源最短路 stretch 2 近似算法和 $\tilde O(n^{\frac 94})$ 的组合算法，以及 $\tilde O(n^{2.214} (1 / \epsilon)^{O(1)} \log W)$ 的非负整数边权 stretch $(2 + \epsilon)$ 近似算法。其中 $(1 / \epsilon)^{O(1)}$ 表示的是 $O\left((1 / \epsilon)^{\kappa}\right)$，$\kappa$ 是一个常数，但是精确值不方便表示（取决于 $\omega$ 和 $2$ 的距离）。

$\tilde O(n^{2.032})$ 算法的过程与 $\tilde O(n^{2.2867})$ 无权图上的 surplus 2 近似 几乎相同，仅仅有两个改动。

• 将算法中 $\tilde O(n^{(2 + r + \omega(r)) / 2})$ 的 Row/Column Bounded-difference $(\min, +)$ 矩阵乘改为 $\tilde O(n^{\omega(r)} / \epsilon \log W)$ 的整数权重 $(1+\epsilon)$-近似 $(\min, +)$ 矩阵乘。之后再将 $\epsilon$ 的影响消除。

• 将 $\tilde O\left(n^2 d_0^{\frac 12}\right)$ 的 base case 算法——$\tilde O\left(n^{\frac 32} m^{\frac 12}\right)$ 的 surplus 2 近似——改为 $\tilde O\left(m\sqrt n + n^2\right)$ 的。

剩下的算法过程完全沿用。

为什么 surplus 2 的算法可以用于 stretch 2 呢？因为对于长度 $\geq 2$ 的最短路，surplus 2 比 stretch 2 更强，而长度 $< 2$ 的最短路是不用算的。

原算法描述如下

将 $\delta(V \times D_1)$ 视作矩阵，则我们需要求出 $\delta(V \times D_1) \star \delta(D_1 \times V)$，其中 $\star$ 表示 $(\min, +)$ 矩阵乘法。对一般的 $(\min, +)$ 矩阵乘，没有 $O(n^{3 - \Omega(1)})$ 的做法，但是如果我们将节点序列按照图的任意一棵生成树的欧拉序排列（此时一个点会出现多次），则 $\delta(D_1 \times V)$ 的上下相邻两个元素的差不超过 $1$，对于拥有这样特殊性质的 $(\min, +)$ 矩阵乘（其中一个矩阵为 Row/Column Bounded-difference），有 $\tilde O(n^{(2 + r + \omega(r))/2})$ 的做法，其中 $\omega(r)$ 表示 $n \times n^r$ 矩阵和 $n^r \times n$ 矩阵做正常矩阵乘法的指数 [Chi-Duan-Xie-Zhang '22]。

算法 0 （无权图上的 surplus $2$ 近似 III [Deng-Kirkpatrick-Rong-V. Williams-Zhong '22]）

对图 $(V, E)$，令

• $d_0 \leq d_1 \leq \ldots \leq d_k = n$，$k$ 待定。

• $V_i$ 是度数 $\geq d_i$ 的所有点。

• $D_i$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_i}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_i$ 中的点都与至少一个 $D_i$ 中的点相邻。

• $E_i$ 是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_i|\leq n{d_i}$。

• $E^*$ 是每个 $V_i$ 中的点和任一 $D_i$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

用 BFS 在 $(V, E_i \cup E^*)$ 上计算 $\delta_i(D_{i-1} \times V)$，$1 \leq i \leq k$，时间复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^2d_i}{d_{i-1}}\right)$。

对 $(V, E_0)$ 应用算法 1 得到 $d'(u, v)$。时间复杂度 $O\left(n^2d_0^{\frac 12}\right)$。

求出 $\min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}$，假设 $d$ 的选取足够分散，使得 $k = o(n^\varepsilon)$，则复杂度为

$$\tilde O\left(n^{(2+(1 - \log_n d_0)+\omega(1 - \log_n d_0))/2}\right)$$

考虑将 $d(u, v) = \min\left(d'(u, v), \min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}\right)$ 作为答案。

使用类似上文的推导可知这是一个 surplus $2$ 近似。

时间复杂度为

$$\tilde O\left(n^2d_0^{\frac 12} + n^2\left(\frac{d_1}{d_0} + \frac{d_2}{d_1} + \ldots + \frac{d_{k-1}}{d_{k-2}} + \frac n{d_{k-1}}\right) + n^{(3-\log_n d_0+\omega(1 - \log_n d_0))/2}\right)$$

可知 $\frac{d_i}{d_{i-1}}$ 都相等，令他们均为 $2$，则 $k = O(\log n)$，符合要求。剩下的便是解方程，令 $d_0 = n^{1 - r}$，则方程为 $\frac 52 - \frac 12 r = (2 + r + \omega(r))/2$，即 $2r + \omega(r) = 3$，$\omega(r)$ 是一个很复杂的函数，查表可以估计出 $r \approx 0.427$，最终复杂度 $\tilde O(n^{2.2867})$。

有两部分产生了复杂度，一部分是 base case 的 $\tilde O(n^{\frac 52 - \frac 12 r})$，另一部分是 $(\min, +)$ 矩阵乘 $\tilde O(n^{(2 + r + \omega(r)) / 2})$。

现在，在 stretch 2 中，我们可以将第一部分改为 $\tilde O(n^{\frac 52 - r})$，第二部分改为 $\tilde O(n^{\omega(r)})$，这样便得到了 $\tilde O(n^{2.032})$。

当我们得到了一个 $\tilde O(n^{\omega} / \epsilon)$ 的 $(1 + \epsilon)$ 近似的 $(\min, +)$ 矩阵乘算法时，我们可以令 $\epsilon = 1 / \log n$，这样复杂度为 $\tilde O(n^{\omega})$，近似比为 $2 + 1 / \log n$。当 $\delta(u, v) < \log n$ 时，因为要向下取整，这是一个 $2$ 近似，当 $\delta(u, v) \geq \log n$ 时，我们可以用 $\tilde O(n^2)$ surplus $\log n$ 的做法。

这个做法相当简单，我们原先的 $\tilde O(n^{7/3})$ surplus $2$ 的算法中会用 BFS 计算每一层的 $\delta(D_i \times V)$，时间复杂度为 $O(m |D_i|)$，但现在我们不再每次重新计算，而是直接复用上一轮的结果，这样每一轮的误差会累积。对 surplus $2(k-1)$ 近似我们可以分 $k$ 层。

算法 1 （无权图上的 $\tilde O(n^{2 - 1 / k}m^{1/k})$ surplus $2(k - 1)$ 近似）

对图 $(V, E)$，令

• $d_i = (m / n)^{1 - i / k}(\log n)^{i / k}, 1 \leq i \leq k$。

• $V_i$ 是度数 $\geq d_i$ 的所有点。

• $D_i$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_i}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_i$ 中的点都与至少一个 $D_i$ 中的点相邻。特别地，令 $D_k = V$。

• $E_i$ 是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_i|\leq n{d_i}$。

• $E^*$ 是每个 $V_i$ 中的点和任一 $D_i$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

从 $1$ 到 $k$ 枚举 $i$，对每个 $w' \in D_i$，在 $(V, E_{i - 1} \cup E^* \cup d_{i - 1}(\{w'\} \times V))$ 上跑 Dijkstra。

考虑将 $d_k(u, v)$ 作为答案。

使用归纳法。使用类似 $\tilde O(n^{7/3})$ surplus $2$ 算法的推导可知，最短路上存在 $w$，使得 $(w, w') \in E^*, w' \in D_{i - 1}$，因此 $u \to w'$ 可以通过 $d_{i - 1}$ 到达，$w' \to w \to v$ 可以通过 $E^* \cup E_{i - 1}$ 到达。当 $d_{i - 1}$ 的误差为 $e$ 时，$d_i$ 的误差为 $e + 2$。

由于 $D_k = V$，所有 $d_k(u, v)$ 的误差都不会超过 $2(k - 1)$。因此这是一个 surplus $2(k - 1)$ 近似。

复杂度为 $\tilde O\left(\frac n{d_1} \cdot m + \sum_{i=2}^k \frac n{d_i} (nd_{i - 1} + n)\right) = \tilde O\left(kn^2 (m / n)^{1 / k}\right) = \tilde O(n^{2 - 1/k}m^{1/k})$。

我们在原算法的 $\log n$ 层每一层都运行一遍 $1 + \frac 1{\log n}$ 近似 $(\min, +)$ 矩阵乘，最后运行一遍 $\tilde O(n^2)$ surplus $\log n$ 近似，将两个结果取较小值。

算法 2 （无向无权图上的 stretch $2$ 近似）

对图 $(V, E)$，令

• $d_0 \leq d_1 \leq \ldots \leq d_k = n$，$k$ 待定。

• $V_i$ 是度数 $\geq d_i$ 的所有点。

• $D_i$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_i}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_i$ 中的点都与至少一个 $D_i$ 中的点相邻。

• $E_i$ 是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_i|\leq n{d_i}$。

• $E^*$ 是每个 $V_i$ 中的点和任一 $D_i$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

用 BFS 在 $(V, E_i \cup E^*)$ 上计算 $\delta_i(D_{i-1} \times V)$，$1 \leq i \leq k$，时间复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^2d_i}{d_{i-1}}\right)$。

对 $(V, E_0)$ 应用 stretch $2$ 算法得到 $d'(u, v)$。时间复杂度 $\tilde O\left(n^{3/2}d_0\right)$。

对 $(V, E)$ 应用 surplus $\log n$ 算法得到 $d''(u, v)$，时间复杂度 $\tilde O(n^2)$。

求出 $\min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}$ 的近似值，假设 $d$ 的选取足够分散，使得 $k = o(n^\varepsilon)$，则复杂度为

$$\tilde O\left(n^{(2+(1 - \log_n d_0)+\omega(1 - \log_n d_0))/2}\right)$$

考虑将 $d(u, v) = \min\left(d'(u, v), d''(u, v), \min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}\right)$ 作为答案。

使用类似上文的推导可知这是一个 stretch $2$ 近似。

时间复杂度为

$$\tilde O\left(n^{3/2}d_0 + n^2\left(\frac{d_1}{d_0} + \frac{d_2}{d_1} + \ldots + \frac{d_{k-1}}{d_{k-2}} + \frac n{d_{k-1}}\right) + n^{\omega(1 - \log_n d_0)}\right)$$

可知 $\frac{d_i}{d_{i-1}}$ 都相等，令他们均为 $2$，则 $k = O(\log n)$，符合要求。剩下的便是解方程，令 $d_0 = n^{1 - r}$，则方程为 $\frac 52 - r = \omega(r)$，查表可以估计出 $r \approx 0.4682$，最终复杂度 $\tilde O(n^{2.032})$。

如果我们想要一个组合算法，即不使用快速矩阵乘法的做法，那就是把 $\tilde O(n^{\omega(r)})$ 改为 $\tilde O(n^{2 + r})$，也即使用暴力矩阵乘。这样得到的式子为 $\frac 52 - r = 2 + r$，最终复杂度为 $\tilde O(n^{9/4})$。这相当于只应用了来自 $\tilde O(m \sqrt n)$ 算法的加速。

对于 $(2 + \epsilon)$ 近似，我们沿用 $\tilde O(m \sqrt n)$ 的 $2$ 近似算法。不过把 $s \in S_i$ 上的 Dijkstra 改为对 $\delta(S_i \times V)$ 的 $(1 + \epsilon)$ 近似，这称为多源最短路 (Multi-Source Shortest Path) 近似.

$(1 + \epsilon)$ MSSP 近似的做法和 $(1 + \epsilon)$ 的 APSP 近似非常接近，因为 $\omega(r, 1, 1) = \omega(1, r, 1)$。唯一不同的一点在于，当我们计算 $A_{S \times V} \times A_{V \times V}^i$（$A_{X \times Y}$ 为集合 $X$ 到 $Y$ 的邻接矩阵） 时，我们不能使用快速幂计算 $A_{V \times V}^{2^i}$，而是只能每次 $(A_{S \times V} \times A_{V \times V}^{i - 1}) \times A_{V \times V}$，因此复杂度会多一个 $n$，这是我们不想要的。

有一类问题指出我们可以在原图上加少量的边使得所有 $(u, v)$ 都可以经过一条长度不超过 $\beta$ 的路，使得其权值不超过 $(1 + \epsilon)$ 倍的最短路。称这样的边集为 hopset。

定理 对任意带权无向图 $G = (V, E)$，$\kappa > 1$，存在一个时间复杂度为 $\tilde O(m n^{1 / \kappa})$ 算法计算 $(1 + \epsilon, \beta)$-hopset $H$，使得 $\beta = \left(\frac \kappa \epsilon\right)^{O(\kappa)}, |H| = O(n^{1 + 1 / \kappa})$。

我们令每次矩阵乘法的分辨率 $R = \beta / \ln(1 + \epsilon)$，这样最终的近似比可以达到 $(1 + \epsilon)$。复杂度为 $\tilde O(n^{\omega(r)} (\kappa / \epsilon)^{O(\kappa)}\log W + mn^{1 / \kappa})$。

如果 $\omega(r) = 2$，$\epsilon$ 是固定的常数，我们可以对不同的 $n$ 选择不同的 $\kappa$，让 $\beta = \tilde O(1)$，比如 $\log \log n / \log \log \log n$，这样 $\kappa^\kappa \leq \log n$，复杂度为 $\tilde O(n^2 \log W (1 / \epsilon)^{O(\log \log n / \log \log \log n)})$。

否则，我们可以选择足够大的常数 $\kappa$，使得 $O(mn^{1 / \kappa}) \leq O(n^{\omega(r)})$，此时复杂度为 $\tilde O(n^{\omega(r)}(1 / \epsilon)^{O(1)} \log W)$。

分两种情况讨论是因为我们也不知道是否有 $\omega = 2$，而对于后一种情况，为了保证复杂度是 $n^{\omega(r)}$ 级别的，$\omega(r)$ 越小时 $\kappa$ 越大，$\omega = 2$ 时我们没有办法做到 $\tilde O(n^2(1 / \epsilon)^{O(1)} \log W)$。

就现在而言，我们假设 $\omega \neq 2$。这样，在 APSP $(2 + \epsilon)$ 近似中，当 $|S| = n^r$ 时，计算 $S, \operatorname{ball}$、枚举 $y$ 的复杂度为 $\tilde O(mn^{1 - r}) = \tilde O(n^{3 - r})$，运行 $S_k$ 的复杂度为 $\tilde O(n^{\omega(r)} (1 / \epsilon)^{O(1)} \log W)$。平衡后的复杂度为 $\tilde O(n^{2.214} (1 / \epsilon)^{O(1)} \log W)$。