[论文阅读报告] Faster Algorithms for Approximate Distance Oracles and All-Pairs Small Stretch Paths, FOCS '06

本篇文章介绍三个最短路近似算法，分别是带权无向图 $(2, \omega)$ 和 stretch $2$ 近似的 $\tilde O(m \sqrt n)$ 算法以及 stretch $3$ 近似的 $O(\min(m \sqrt n, n^2))$ 时间、$O(n^{\frac 32})$ 空间做法。其中 $\omega$ 表示最短路上最长边的长度，$(2, \omega)$ 表示对每一对 $(u, v)$，$d(u, v) \leq 2\delta(u, v) + \omega_{u, v}$；$O(n^{\frac 32})$ 空间代表着每次查询 $d(u, v)$ 时可以仅通过查询这些信息快速回答。

$\tilde O(m \sqrt n)$ 的 stretch $2$ 近似算法是 $\tilde O(n^{2.032})$ 的 stretch $2$ 近似算法的一项关键材料。

如果我们把原先的无权图上的 $(2, 1)$ 算法迁移过来，得到的近似算法也是多加了一条边权值的 $2$ 近似，但是这与 $(2, \omega)$ 不同，因为这一条边并不一定在最短路上。

令 $p_S(v)$ 表示 $S$ 中离 $v$ 最近的点（如果有多个，选择任意一个），令 $\delta(v, S)$ 表示 $v$ 到 $S$ 的距离。

给定 $S$，我们可以通过 Dijkstra 在 $O(m + n \log n)$ 时间内对每个 $v$ 算出 $p_S(v), \delta(v, S)$。

我们在无权图上的 $(2, 1)$ 近似中使用到了这样的做法：估计 $u$ 到 $v$ 的最短路时，我们只考虑一侧达到最优，用 $\min(\delta(u, p_S(u)) + \delta(p_S(u), v), \delta(u, p_S(v)) + \delta(p_S(v), v))$ 作为答案。接下来的若干做法将会沿用这一想法，不过挖掘更多性质，以在近似效果上有所不同。

可能有人会想，在原先的算法中，我们使用了 $\delta(u, x) + \delta(x, v)$ 来估计 $\delta(u, v)$，正确性证明类似于 $\delta(u, x) \leq \frac 12(\delta(u, v) + 1), \delta(x, v) \leq \delta(x, u) + \delta(u, v) \Rightarrow \delta(u, x) + \delta(x, v) \leq 2 \delta(u, v) + 1$，这是否对 $\delta(x, v)$ 来说太不公平了？因为 $\delta(u, x)$ 和 $\delta(x, v)$ 的位置理应是对等的。答案是，如果我们想要得到更快的做法，就只能利用一边的信息，因为利用两边的信息依赖于 $(\min, +)$ 矩阵乘法。不过需要指出的是，即使 $(\min, +)$ 矩阵乘法没有 $O(n^{2.9999})$ 的做法，我们还是能将这个问题做到 $O(n^{2.5})$，这说明 $n \times n$ 的 $(\min, +)$ 矩阵乘法对其并没有约束力。

一个更严谨的结果是，如果我们想要在最短路近似上做到优于 $2$ 的近似比，那么 $01$ 矩阵乘法不难于它。如果我们想要计算 $A \times B$，其中 $A, B$ 为 $n \times m, m \times k$ 的 $01$ 矩阵，那么，建一张 $n + m + k$ 个点的图，第一排 $n$ 个点，第二排 $m$ 个点，第三排 $k$ 个点，前两排之间的邻接矩阵为 $A$，后两排之间的邻接矩阵为 $B$，第一排与第三排、同一排之间不练边。那么如果第一排的 $i$ 到第三排的 $j$ 距离为 $2$，$A \times B$ 的 $(i, j)$ 结果为 $1$，当结果为 $0$ 时，第一排的 $i$ 到第三排的 $j$ 距离至少为 $4$。因此如果我们能够区分 $i, j$ 的距离是 $2$ 还是 $\geq 4$，我们就能够解决 $01$ 矩阵乘法。

如果我们仔细考虑这里的情况，当我们估计 $\delta(u, v)$ 时，使用第二排的中间点 $x$，那么如果 $\delta(u, x) = 1, \delta(x, v) = 3$，我们并不能区分这是因为选择了不恰当的 $x$，还是因为 $u, v$ 之间的距离就是 $> 2$，除非我们选上所有的 $x$，也即直接计算了矩阵乘法。此时 $\delta(x, v) \leq \delta(x, u) + \delta(u, v)$ 是紧的。

小于 $2$ 近似比的算法都是难的，而 stretch $3$ 和 $(2, \omega)$ 近似已经做到了 $\tilde O(n^2)$，因此剩下的唯一的问题便是 stretch $2$ 是否也能做到 $\tilde O(n^2)$。目前仍然没有人知道。

我们先把之前已有的算法列出来：

算法 0.1 （带权图上的 $\tilde O(n^{\frac 73})$ stretch $3$ 近似）

对图 $(V, E)$，令

• $\mathrm{ball}(v)$ 表示离 $v$ 最近的 $b$ 个点。对每个 $v$ 寻找 $\mathrm{ball}(v)$ 的时间复杂度为 $O(nb^2)$。

• $D$ 是大小为 $\tilde O\left(\frac nb\right)$ 的关键点集，使得每个 $\mathrm{ball}(v) \cap D \neq \emptyset$。

对每个 $D$ 跑完整的 Dijkstra，得到 $\delta(D \times V)$。

对于 $u \in D \vee v \in D \vee v \in \mathrm{ball}(u)$，$d(u, v) = \delta(u, v)$。

否则，考虑 $w \in \mathrm{ball}(u) \cap D$，$d(u, v) = \delta(u, w) + \delta(w, v)$。

这是一个 stretch $3$ 近似。

时间复杂度为 $\tilde O\left(nb^2 + \frac{n^3}b\right)$，令 $b = n^{\frac 23}$，最终时间复杂度为 $\tilde O(n^{\frac 73})$。

算法 0.2 （无权图上的 $(2, 1)$ 近似）

对图 $(V, E)$，令

• $d_i = 2^i$，$0 \leq i \leq \log n$。

• $V_i$ 是度数 $\geq d_i$ 的所有点。

• $D_i$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_i}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_i$ 中的点都与至少一个 $D_i$ 中的点相邻。

• $E_i$ 是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_i|\leq n{d_i}$。

• $E^*$ 是每个 $V_i$ 中的点和任一 $D_i$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

用 BFS 在 $(V, E_i \cup E^*)$ 上计算 $\delta_i(D_{i-1} \times V)$，$1 \leq i \leq k$，时间复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^2d_i}{d_{i-1}}\right)$。

考虑将 $d(u, v) = \min\limits_{1 \leq i \leq k}\{\delta_i(u, u'_i) + \delta_i(u'_i, v), \delta_i(u, v'_i) + \delta_i(v'_i, v)\}$ 作为答案，其中 $u'_i = \operatorname{argmin}\limits_{w \in D_i} \delta_i(u, w), v'_i = \operatorname{argmin}\limits_{w \in D_i} \delta_i(w, v)$，也即只考虑一侧。

• 考虑 $u, v$ 最短路上度数最大的点 $x$，令 $i$ 满足 $d_{i-1} \leq \operatorname{deg}(x) < d_i$，则 $x \in V_{i-1}, x \notin V_i$，因此最短路上的所有边 $\in E_i$。设关键点 $w \in D_{i-1}$ 和 $x$ 相邻，则 $\delta_{i-1}(u, u') \leq \delta(u, x) + 1, \delta_{i-1}(v', v) \leq \delta(x, v) + 1$。如果我们按照这样做，只会得到一个 $(2, 2)$ 近似，因为 $x$ 有可能恰好处于最短路的中点，导致两边都取到上界。但是我们发现由于 $E_i$ 的定义是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$，我们可以找到度数第二大的点 $x'$，令 $i'$ 满足 $d_{i' - 1} \leq \operatorname{deg}(x') < d_{i'}$，那么最短路地所有边也 $\in E_{i'}$。因此，

  • 当 $\delta(u, v)$ 为偶数时，一定存在不为最短路中点的 $x^*$，满足，$\delta(u, x^*) \leq \frac 12 \delta(u, v) \color{red}{- 1}$，$\delta_{i-1}(u, u') \leq \frac 12\delta(u, v)$，$\delta_{i-1}(u', v) \leq \delta_{i-1}(u', u) + \delta(u, v)$，因此 $\delta_{i-1}(u, u') + \delta_{i-1}(u', v) \leq 2 \delta(u, v)$。
  • 当 $\delta(u, v)$ 为奇数时，$\delta(u, x) \leq \frac 12 (\delta(u, v) -1)$，$\delta_{i-1}(u, u') \leq \frac 12(\delta(u, v)+1)$，$\delta_{i-1}(u', v) \leq \delta_{i-1}(u', u) + \delta(u, v)$，因此 $\delta_{i-1}(u, u') + \delta_{i-1}(u', v) \leq 2 \delta(u, v) + 1$。不难发现取到上界当且仅当 $x, x'$ 是最短路最中间的两个点。

因此这是一个 $(2, 1)$ 近似。

时间复杂度为 $\tilde O(n^2)$。

$(2, \omega)$ 近似算法的想法和上面两个算法都有联系。首先，它为了做到 $\tilde O(n^2)$，只能考虑将一侧达到最优，同时他的近似比证明类似于 stretch $3$ 中 $\mathrm{ball}$ 的概念，即，保证一个邻域的最短路的精确值，其他的点用邻域的边界上的关键点转移，相较于 stretch $3$ 它的优化点在于，我们发现，我们不需要为每一个 $u$ 设立一个 $\mathrm{ball}(u)$，这个属性可以下放到边上。这是本篇论文最重要的概念，某种意义上是唯一的优化点。

定义 集合 $\mathcal E_S(v)$ 为所有边权小于 $\delta(v, S)$ 的与 $v$ 相邻的边，如果 $v \in S, \mathcal E_S(v) = \emptyset$。令 $\mathcal E_S = \bigcup_{v \in V} \mathcal E_S(v)$。

引理 对于 $\delta(u, v) < \delta(u, p_S(u))$ 的所有 $v$，$(V, \mathcal E_S)$ 保留了 $(u, v)$ 的一条最短路。$(V, \mathcal E_S \cup E(p_S(u)))$ 保留了 $(u, p_S(u))$ 的最短路，其中 $E$ 表示全部邻边。

这不难通过归纳法证明。这条性质与我们所需要的性质是一致的。

引理 如果我们将图中每个点以 $q$ 的概率选入 $S$ 中（$0 < q < 1$），那么 $\mathbb E[|\mathcal E_S|] = O(n / q)$。

证明 我们分每个点考虑。如果 $p_S(v)$ 是 $E(v)$ 中的点，那么边权小于这一条边的会被加入，这是一个几何分布，因此期望加入 $O(1 / q)$。对于其他情况，直接放缩到加入整个 $E(v)$，这样若 $|E(v)| = d$，它对期望的贡献是 $d (1 - q)^d$，这个函数关于 $d$ 的最大值是 $O(1 / q)$ 的。或者，可以直接观察到的是，在第一种情况中期望加入的点数与 $v$ 的度数无关，因此可以加入许多虚点，直到虚点的个数足以表达第二种情况中加入点数的期望，整体的 $O(1 / q)$ 总是不会变的。

这非常符合我们的预期。原先我们需要 $nb^2$ 来得到 $\mathrm{ball}(*)$，现在我们只需要线性时间来得到 $\mathcal E_S$。接下来要做的便是把上述两个算法照搬。

算法 1 （带权图上的 $\tilde O(n^2)$ 的 $(2, \omega)$ 近似）

令 $S_0 = V \supseteq S_1 \supseteq \ldots \supseteq S_{k - 1} \supseteq S_k = \emptyset$，其中 $S_i$ 通过将 $S_{i - 1}$ 中的每个元素以 $|S|^{-1/k}$ 的概率加入得到。令 $k = \lceil \log n \rceil$。

对 $0 \leq i < k$，

• 对所有 $u \in V$，计算 $\delta(u, S_i)$ 和 $p_i(u)$。
• 对每个 $s \in S_i$，在 $(V, \mathcal E_{S_{i + 1}} \cup E(s))$ 上跑 Dijkstra，结果记作 $\hat \delta_i(s, *)$。

将 $\min_{0 \leq i < k} (\delta(u, p_i(u)) + \hat \delta(p_i(u), v), \delta(v, p_i(v)) + \hat \delta(p_i(v), u))$ 作为 $u, v$ 的答案。

令 $j$ 满足 $(u, v)$ 最短路上所有的边 $P_{uv}$ 在 $\mathcal E_{S_{j + 1}}$ 中但至少有一条边不在 $\mathcal E_{S_j}$ 中，由于 $S_0 = V, S_k = \emptyset$，$\mathcal E_{S_0} = \emptyset, \mathcal E_{S_k} = E$，这样的 $j$ 一定存在。假设这一条边为 $(x, y)$。根据引理，我们有 $\delta(u, p_j(u)) \leq \delta(u, y)$ 和 $\delta(v, p_j(v)) \leq \delta(v, x)$，因此 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v)) \leq d(u, v) + \omega(x, y)$。不失一般性地假设 $\delta(u, p_j(u)) \leq \delta(v, p_j(v))$，则有 $\delta(u, p_j(u)) \leq \frac 12(d(u, v) + \omega(x, y))$。

由于 $\mathcal E_{S_j} \subseteq \mathcal E_{S_{j + 1}}$，$(p_j(u), u)$ 的最短路将会在 $(\mathcal E_{S_{j + 1}} \cup E(s))$ 中被保留。因此有 $\hat \delta(p_j(u), v) \leq \delta(p_j(u), u) + \delta(u, v)$。

整理后有 $\delta(u, p_j(u)) + \hat \delta(p_j(u), v) \leq 2 \delta(u, v) + \omega_{uv}$。

因此这是一个 $(2, \omega)$ 近似。

$\mathbb E|S_i| = n^{1 - i / k}$，因此每一层的 Dijkstra 总复杂度均为 $\tilde O(n^{2+ 1 / k})$。当 $k = \log n$ 时，总复杂度为 $\tilde O(n^2)$。

将其与 stretch $3$ 的算法作比较，我们发现在 stretch $3$ 中，$\operatorname{ball}$ 是一个单侧的信息，算法中并没有考虑 $\operatorname{ball}(u), \operatorname{ball}(v)$ 如何覆盖 $(u, v)$ 的最短路，因此只能得到一倍而非半倍的 $\delta(u, p(u))$。

令 $\operatorname{ball}_j(u) := \{x \in V \mid \delta(v, x) < \delta(v, S_j)\}$。若边 $(x, y)$ 满足 $x, y \in \operatorname{ball}_j(u)$，则 $(x, y) \in \mathcal E_{S_j}$。

在 $(2, \omega)$ 的算法中，我们分了许多层，这是因为我们要用两个 $\operatorname{ball}$ 覆盖 $P_{uv}$。$P_{uv} \subseteq \mathcal E_{S_{j + 1}}$ 要求关键点更疏松，而 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v)) \leq d(u, v) + \omega(x, y)$ 要求关键点更密集。具体地，

• 如果 $\operatorname{ball}_j(u) \cap \operatorname{ball}_j(v) \neq \emptyset$，$P_{uv} \subseteq \mathcal E_{S_j}$，但是 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v))$ 得不到保证。

• 否则，如果存在 $z \in P_{uv}, z \notin \operatorname{ball}_j(u) \cup \operatorname{ball}_j(v)$，则 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v)) \leq \delta(u, z) + \delta(z, v) = \delta(u, v)$，但此时 $P_{uv}$ 不一定在 $\mathcal E_{S_j}$ 中。

• 否则，一定是 $\operatorname{ball}_j(u), \operatorname{ball}_j(v)$ 不交地覆盖了 $P_{uv}$，令 $(x, y)$ 满足 $x \in \operatorname{ball}_j(u), y \in \operatorname{ball}_j(v)$。当且仅当是这种情况时，上述的算法只能做到 $\delta(u, v) \leq 2 d(u, v) + \omega(x, y)$。

此时，我们可以令 $j$ 继续向下，直到 $\operatorname{ball}_{j'}(u), \operatorname{ball}_{j'}(v)$ 不再覆盖 $P_{uv}$ 上所有的点了，那么 $P_{uv}$ 除了一条边 $(x, y)$ 都在 $\mathcal E_{S_{j' + 1}}$ 中，而此时 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v)) \leq \delta(u, v)$，这样我们就做到了 $2$ 近似。

算法 2 （带权图上的 $\tilde O(m \sqrt n)$ 的 $2$ 近似）

令 $S_0 = V \supseteq S_1 \supseteq \ldots \supseteq S_{k - 1} \supseteq S_k = \emptyset$，$k = \lceil \log n \rceil$。

对 $0 \leq i < k$，

• 对所有 $u \in V$，计算 $\delta(u, S_i)$ 和 $p_i(u)$。
• 对所有 $u \in V \setminus S_k$，计算 $\operatorname{ball}_i(u)$。
• 对每个 $u \in V \setminus S_k$，每个 $x \in \operatorname{ball}_i(u)$，$x$ 的每个邻居 $y$，令 $d[p_i(u), y] \leftarrow \min(d[p_i(u), y], \delta(u, p_i(u)) + \delta(u, x) + \omega(x, y))$。
• 对每个 $s \in S_i$，在 $(V, \mathcal E_{S_{i + 1}} \cup d[s])$ 上跑 Dijkstra，结果记作 $\hat \delta_i(s, *)$。

将 $\min_{0 \leq i < k} (\delta(u, p_i(u)) + \hat \delta(p_i(u), v), \delta(v, p_i(v)) + \hat \delta(p_i(v), u))$ 作为 $u, v$ 的答案。

令 $j$ 满足 $(u, v)$ 最短路上所有的边 $P_{uv}$ 在 $\mathcal E_{S_{j + 1}}$ 中但至少有一条边不在 $\mathcal E_{S_j}$ 中，假设这一条边为 $(x, y)$，那么 $x \in \operatorname{ball}_j(u), y \notin \operatorname{ball}_j(u)$，前者根据引理是显然的，后者是因为 $\omega(x, y) \geq d(x, p_j(x)) \Rightarrow d(u, x) + \omega(x, y) \geq d(u, x) + d(x, p_j(x)) \geq d(u, p_j(u))$。因此 $\operatorname{ball}$ 与 $\mathcal E$ 是双向对应的关系。

• 如果 $y \notin \operatorname{ball}_j(v)$，我们有 $\delta(u, p_j(u)) \leq \delta(u, y), \delta(v, p_j(v)) \leq \delta(y, v)$，因此 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v)) \leq d(u, v)$。不失一般性地假设 $\delta(u, p_j(u)) \leq \delta(v, p_j(v))$，则有 $\delta(u, p_j(u)) \leq \color{red}{\frac 12d(u, v)}$。

  由于 $\mathcal E_{S_j} \subseteq \mathcal E_{S_{j + 1}}$，$(p_j(u), u)$ 的最短路将会在 $(\mathcal E_{S_{j + 1}} \cup E(s))$ 中被保留。因此有 $\hat \delta(p_j(u), v) \leq \delta(p_j(u), u) + \delta(u, v)$。

  整理后有 $\delta(u, p_j(u)) + \hat \delta(p_j(u), v) \leq 2 \delta(u, v)$。

• 如果 $y \in \operatorname{ball}_j(v)$，找到最大的 $j' < j$ 使得 $x \notin \operatorname{ball}_{j'}(u) \vee y \notin \operatorname{ball}_{j'}(v)$。由于 $S_0 = V, \forall u \in V, \operatorname{ball}_0(u) = \emptyset$，这样的 $j'$ 总是存在。

  此时有 $\delta(u, p_{j'}(u)) + \delta(v, p_{j'}(v)) \leq d(u, v)$。

  由于 $P_{uv}$ 只有一条边 $(x, y) \notin \mathcal E_{S_{j' + 1}}$ 中，$P_{yv} \subseteq \mathcal E_{S_{j' + 1}}$。因此有 $\hat \delta(p_j(u), v) \leq d[p_i(u), y] + \delta(y, v) \leq \delta(u, p_i(u)) + \delta(u, v)$。

  整理后有 $\delta(u, p_j(u)) + \hat \delta(p_j(u), v) \leq 2 \delta(u, v)$。

因此这是一个 $2$ 近似。

如果我们将图中每个点以 $q$ 的概率选入 $S$ 中（$0 < q < 1$），则 $\forall u, \mathbb E[\operatorname{ball}(u)] \leq 1/q$。

若 $x$ 出现在了 $\operatorname{ball}_j(u)$ 中共 $t(x)$ 次，那么计算 $\operatorname{ball}(u)$ 以及枚举 $y$ 的复杂度均为 $O\left(\sum_{x \in V} t(x) \operatorname{deg}(x)\right)$。易知 $\{u \mid x \in \operatorname{ball}_j(u)\} = \{u \mid \delta(u, x) < \delta(u, S_j)\}$，称其为 $C_{S_j}(x)$。

定理 给定 $q$（$0 < q < 1$），可以在期望 $O(m / q \log n)$ 的时间内找到一个大小为 $O(nq \log n)$ 的集合 $S$，使得 $\forall x \in V, |C_S(x)| \leq 1 / q$。

令 $S_i$ 的构造如下：先找到大小为 $O(\sqrt n)$ 的集合 $S$，满足 $\forall x \in V, |C_S(x)| \leq \sqrt n \log n$，再构造 $A_0 = V \supseteq A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots \supseteq A_k$，其中 $A_i$ 通过将 $A_{i - 1}$ 中的每个元素以 $n^{-1/2k}$ 的概率加入得到。最终令 $S_i = A_i \cup S$。这样 $|A_i|$ 主导了集合大小，因此每两层之间的集合大小比例也得到了保证。

此时计算 $S$ 的复杂度为 $O(m \sqrt n)$，计算 $\operatorname{ball}$ 的复杂度为 $O(m \sqrt n)$，枚举 $y$ 的复杂度为 $\tilde O(m \sqrt n)$，运行最后一层 $S_k$ 的复杂度为 $\tilde O(m \sqrt n)$。因此总复杂度为 $\tilde O(m \sqrt n)$。

我们现在证明上文关于 $C(x, S)$ 的定理。

定义 $C_A(x) = \{v \in V \mid \delta(v, x) < \delta(v, A)\}, \operatorname{ball}_A(v) = \{x \in V \mid \delta(v, x) < \delta(v, A)\}$.

$x \in \operatorname{ball}_A(v) \Leftrightarrow v \in C_A(x)$，因此

$$\mathbb E\left[\sum_{w \in W} |C_A(w)|\right] = \mathbb E\left[\sum_{v \in V} |\operatorname{ball}_A(w) \cap W|\right]$$

而对于右式，我们只要以 $q'$ 的概率将 $w \in W$ 选入 $A$ 中，它就 $\leq n / q'$。因此我们可以很直接地得到 $\mathbb E_{v \in V} \mathbb E\left[\sum_{w \in W} |C_A(w)|\right] \leq 1/q$。问题在于这是一个平均意义的结果。

令 $W_0 = V, A_0 = \emptyset$。$W_i = \{w \in V \mid |C_{A_i}(w)| > n / q\}$，即不满足条件的所有 $w$。每次以 $4q$ 的概率将 $w \in W_i$ 加入 $A_{i + 1}$。则有

$$\mathbb E\left[\sum_{w \in W_i} |C_{A_i}(w)|\right] = \mathbb E\left[\sum_{v \in V} |B_{A_i}(w) \cap W_i|\right] = \frac{n|W_i|}{4q}$$

根据 Markov 不等式，有 $\frac 12$ 的概率有

$$\sum_{w \in W_i}|C_{A_i}(w)| \leq \frac {n|W_i|}{2q}$$

而 $W_{i + 1} \subseteq W_i$，因此

$$\frac{n|W_{i + 1}|}q \leq \sum_{w \in W_i} |C_{A_i}(w)| \leq \frac{n|W_i|}{2q}$$

因此每次有 $\frac 12$ 的概率 $|W_i|$ 减半。我们因此只需要 $\log n$ 轮便能让 $W_i = \emptyset$。期望加入了 $8nq \log n$ 个点。

也就是说，考虑那些没有满足条件的 $W_i$ 和一个 $x \in V$，如果最初有许多 $w \in W_i$ 满足 $x \in C_A(w)$，现在考虑离 $x$ 最近的加入了 $A$ 的那个 $w^*$，在它之后的所有 $w$ 都把 $x$ 从 $C(w)$ 中剔除掉了，因此降速是根号的。

对于 $3$ 近似，时间上做到 $O(n^2)$ 是简单的，因为 $(2, \omega)$ 近似已经是一个 $3$ 近似了。但是想要做到 $O(n^{3/2})$ 空间查询，我们发现，第 $i$ 层的空间为 $O(n |S_i|)$，每一层的空间利用并不均匀。因此我们把前若干轮用另一种算法解决。选择一个大小为 $n^{-\frac 12}$ 的集合 $S$，计算 $\operatorname{ball}_S(u)$，如果 $v \in \operatorname{ball}_S(u) \vee u \in \operatorname{ball}_S(v)$，我们可以利用一个双层哈希表 $O(1)$ 回答 $\delta(u, v)$，其他情况通过令 $S_0 = S$ 解决。

算法 2 （带权图上的 $O(\min(m \sqrt n, n^2))$ 时间、$O(n^{\frac 32})$ 空间 $3$ 近似）

将图中每个点以 $n^{-\frac 12}$ 的概率加入 $S$ 中。

对所有的 $u \in V$，计算 $\operatorname{ball}_S(u)$。

令 $S_0 = S \supseteq S_1 \supseteq \ldots \supseteq S_{k - 1} \supseteq S_k = \emptyset$，其中 $S_i$ 通过将 $S_{i - 1}$ 中的每个元素以 $|S|^{-1/k}$ 的概率加入得到。$k = \lceil \log |S| \rceil$。

对 $0 \leq i < k$，

• 对所有 $u \in V$，计算 $\delta(u, S_i)$ 和 $p_i(u)$。
• 对每个 $s \in S_i$，在 $(V, \mathcal E_{S_{i + 1}} \cup E(s))$ 上跑 Dijkstra，结果记作 $\hat \delta_i(s, *)$。

若 $v \in \operatorname{ball}_S(u)$，使用双层哈希表 $O(1)$ 查询 $\delta(u, v)$，否则将 $\min_{0 \leq i < k} (\delta(u, p_i(u)) + \hat \delta(p_i(u), v), \delta(v, p_i(v)) + \hat \delta(p_i(v), u))$ 作为 $u, v$ 的答案。

令 $j$ 满足 $(u, v)$ 最短路上所有的边 $P_{uv}$ 在 $\mathcal E_{S_{j + 1}}$ 中但至少有一条边不在 $\mathcal E_{S_j}$ 中，如果不存在这样的 $j$，说明 $P_{uv} \subseteq \mathcal E_{S_0}$，因此 $v \in \operatorname{ball}_S(u)$。假设这一条边为 $(x, y)$。根据引理，我们有 $\delta(u, p_j(u)) \leq \delta(u, y)$ 和 $\delta(v, p_j(v)) \leq \delta(v, x)$，因此 $\delta(u, p_j(u)) + \delta(v, p_j(v)) \leq d(u, v) + \omega(x, y)$。不失一般性地假设 $\delta(u, p_j(u)) \leq \delta(v, p_j(v))$，则有 $\delta(u, p_j(u)) \leq \frac 12(d(u, v) + \omega(x, y))$。

由于 $\mathcal E_{S_j} \subseteq \mathcal E_{S_{j + 1}}$，$(p_j(u), u)$ 的最短路将会在 $(\mathcal E_{S_{j + 1}} \cup E(s))$ 中被保留。因此有 $\hat \delta(p_j(u), v) \leq \delta(p_j(u), u) + \delta(u, v)$。

整理后有 $\delta(u, p_j(u)) + \hat \delta(p_j(u), v) \leq 2 \delta(u, v) + \omega_{uv} \leq 3 \delta(u, v)$。

因此这是一个 $3$ 近似。

计算 $\operatorname{ball}_S(u)$ 的复杂度为 $O(m \sqrt n)$，为了加速，我们可以对于每个 $x$，将所有出边 $(x, v)$ 按照 $\delta(v, S) - \omega(x, v)$ 排序。从每个 $u$ 开始 BFS 到 $x$ 时，我们取出所有满足 $\delta(u, x) + \omega(x, v) < \delta(v, S)$ 的 $v$，这是序列的一个前缀，而这同时是 $v \in C_S(u)$ 的充要条件。而所有满足这个条件的 $v$，由于 $\omega(x, v) < \delta(v, S)$，复杂度不超过 $\mathbb E[|\operatorname{ball}_S(u)||\mathcal E_S(u)|] \leq \mathbb E|\operatorname{ball}_S(u)|^2$，后者等于 $\sum_{i=1}^{n - 1} i^2(1 - \sqrt n)^i \sqrt n \leq 2n$。因此复杂度为 $O\left(\min\left(m \sqrt n, n^2\right)\right)$。

总时间复杂度为 $O\left(\min\left(m \sqrt n, n^2\right)\right)$，空间复杂度为 $O(n^{3/2})$。