[算法分析与设计] 1. 全源最短路近似

全源最短路 (APSP) 近似。有两种近似

• stretch $k$. $\delta(u, v) \leq d(u, v) \leq k\cdot \delta(u, v)$.
• surplus $t$. $\delta(u, v) \leq d(u, v) \leq \delta(u, v) + t$.

其中，$\delta(u, v)$ 表示 $u, v$ 间真实的最短路长度。

为什么我们只考虑 $\delta(u, v) \leq d(u, v)$ 呢，因为在组合算法中，“近似”都指用更少的信息去做松弛，因此每一个近似的值都对应着一条真实的路径。而在包含了 $(\min, +)$ 矩阵乘近似等代数算法中，向上近似和向下近似都是可以的（$(\min, +)$ 矩阵乘近似的一个做法是，降低分辨率，用取整后的值做决策以降低复杂度），这时近似的值不对应一条真实的最短路了，只是说，这样的代数算法也一定包含了组合的部分，向上近似是为了和算法的其他部分不等号方向一致。

先来考虑无权图上的 surplus $2$ 近似。$2$ 代表着我们可以选择最短路上的某个邻居作为松弛点。一个朴素的想法是，用度数的大小进行“根号分治”，只将一小部分点作为松弛点。

考虑将图上一些点设为关键点，使得所有度数大的点与至少一个关键点相连，用这些关键点松弛这些度数大的点，而将度数大的点之间的边删去。

令图上每个点有 $\frac 1k$ 的概率被选为关键点，点之间概率独立，则度数为 $d$ 的点有 $1 - \left(1 - \frac 1k\right)^d$ 的概率与一个关键点相邻。当 $k = \frac d{c\log n}$ 时，$1 - \left(1 - \frac 1k \right)^d \geq 1 - \frac 1{n^c}$，因此

定理 1 给定度数 $d$，可以找到一个大小为 $\tilde O\left(\frac nd\right)$ 的集合 $D$，使得高概率所有度数 $\geq d$ 的点都与至少一个 $D$ 中的点相邻。

其中 $\tilde O$ 表示 $O$ 忽略 $\log$。

于是我们可以对度数大的点用关键点松弛，度数小的点直接 BFS。

算法 1 （无权图上的 surplus $2$ 近似 I [Aingworth-Chekuri-Indyk-Motwani '96]）

对图 $(V, E)$，令

• $V_1$ 是度数 $\geq d$ 的所有点。

• $D_1$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac nd\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_1$ 中的点都与至少一个 $D_1$ 中的点相邻。

• $E_1$ 是 $u \notin V_1 \vee v \notin V_1$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_2|\leq nd$。

对 $u \in D_1, v \in V$，用 BFS 计算出所有 $\delta(u, v)$。时间复杂度 $O(m |D_1|) = \tilde O\left(\frac{nm}d\right)$。令 $\delta(D_1 \times V)$ 表示边集 $\{(u, v, \delta(u, v))\}$。

对 $(V, E_1 \cup \delta(D_1 \times V))$ 跑 Dijkstra。时间复杂度 $O(n(|E_1| + n|D_1|)) = O(n^2d)$。

考虑将 Dijkstra 的结果作为答案。

• 若 $u \in D_1 \vee v \in D_1$，$d(u, v) = \delta(u, v)$。
• 若 $u, v$ 最短路不经过任何 $V_1$ 中的点，$d(u, v) = \delta(u, v)$。
• 否则若经过了某个 $w \in V_1$，其相邻的关键点 $w' \in D_1$，则 $d(u, v) \leq \delta(u, w') + \delta(w', v) \leq \delta(u, w) + \delta(w, v) + 2 = \delta(u, v) + 2$。

因此这是一个 surplus $2$ 近似。

时间复杂度为 $\tilde O\left(n^2d + \frac{nm}d\right)$，令 $d = n^{-\frac 12}m^{\frac 12}$，最终时间复杂度为 $\tilde O(n^{\frac 32}m^{\frac 12})$，一般图 $m = O(n^2)$ 时为 $\tilde O(n^{\frac 52})$。

在第三种情况中，由于此时并不知道关键点是否就在最短路上，精确的长度无法求出。

这个算法是可以被优化的。考虑最短路上 $w$ 的一个相邻的关键点 $w'$，$u\to w\to w' \to w \to v$ 也是一个合法的 surplus $2$ 近似。因此算法 1 的浪费之处在于用 BFS 求出了所有的 $\delta(D_1 \times V)$。我们并不需要 $D_1$ 到 $V$ 的一般意义上的最短路，而可以强制所有的近似都采取这样的策略，那就只需要对最短路上的边和 $w$ 与 $w'$ 的边跑 BFS 即可。但问题在于我们无法提前知道要保留的边是哪些。

一个折中的策略是对度数大小选取两个阈值，较大的阈值对应的关键点个数少，按照同算法 1 的方法处理。在考虑一条最短路时，先看其能否通过这些关键点松弛，如果不行再考虑较小的阈值对应的关键点，这样后者就不需要再在整个图上跑 BFS 了，因为此时最短路有了性质，只需要保留满足这个性质的边（即不经过大度数的点的那些边）。

算法 2 （无权图上的 surplus $2$ 近似 II [Dor-Halperin-Zwick '96]）

对图 $(V, E)$，令

• $d_1 \leq d_2$.

• $V_1$ 是度数 $\geq d_1$ 的所有点。

• $D_1$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_1}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_1$ 中的点都与至少一个 $D_1$ 中的点相邻。

• $V_2$ 是度数 $\geq d_2$ 的所有点。

• $D_2$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_2}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_2$ 中的点都与至少一个 $D_2$ 中的点相邻。

• $E_1$ 是 $u \notin V_1 \vee v \notin V_1$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_1|\leq nd_1$。

• $E_2$ 是 $u \notin V_2 \vee v \notin V_2$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_2|\leq nd_2$。

• $E^*$ 是每个 $V_2$ 中的点和任一 $D_2$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

用 BFS 计算 $\delta(D_2 \times V)$。时间复杂度 $O(m |D_2|) = \tilde O\left(\frac{n^3}{d_2}\right)$。

用 BFS 在生成子图 $(V, E_2)$ 上计算 $\delta'(D_1 \times V)$。时间复杂度 $O(|E_2||D_1|) = \tilde O\left(\frac{n^2d_2}{d_1}\right)$。

对 $u \in V$，在 $(V, E_1 \cup \delta(D_2 \times V) \cup \delta'(\{u\} \times D_1) \cup E^*)$ 上跑 Dijkstra。时间复杂度 $\tilde O\left(n\left(nd_1 + \frac {n^2}{d_2} + \frac n{d_1} + n\right)\right) = \tilde O\left(n^2d_1 + \frac {n^3}{d_2}\right)$。

考虑将 Dijkstra 的结果作为答案。

• 若 $u \in D_2 \vee v \in D_2$，$d(u, v) = \delta(u, v)$。
• 若 $u, v$ 最短路不经过任何 $V_1$ 中的点，也即，最短路上的点度数都很小，$d(u, v) = \delta(u, v)$。
• 否则，若最短路经过了某个 $w \in V_2$（也即，最短路上有一个度数很大的点），其相邻的关键点 $w' \in D_2$，则 $d(u, v) \leq \delta(u, w') + \delta(w', v) \leq \delta(u, w) + \delta(w, v) + 2 = \delta(u, v) + 2$。
• 否则，若最短路不经过任何 $V_2$ 中的点，但是经过了某个 $w \in V_1$（也即，所有点的度数都不大，但是存在度数中等的点），其相邻的关键点 $w' \in D_1$。令 $w$ 是最短路上最后一个这样的点，$w'$ 是那个 $(w, w') \in E^*$ 的关键点。此时 $u \to w$ 不经过任何 $V_2$ 中的点，因此所有边 $\in E_2$；$(w, w'), (w', w) \in E^*$；$w \to v$（除了 $w, v$ 自己）不经过任何 $V_1$ 中的点，因此所有边 $\in E_1$。所以 $u \to w \to w' \to w \to v$ 是一条被包含的路径，$d(u, v) \leq \delta(u, v) + 2$。

因此这是一个 surplus $2$ 近似。

时间复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^2d_2}{d_1} + n^2d_1 + \frac{n^3}{d_2}\right) = \tilde O\left(n^2\left(d_1 + \frac {d_2}{d_1} + \frac n{d_2}\right)\right)$。后三者乘积为 $n$，令 $d_1 = n^{\frac 13}, d_2 = n^{\frac 23}$，最终时间复杂度为 $\tilde O(n^{\frac 73})$。

我们也可以把算法 2 看作仅考虑一个阈值 $d_2$，将 $G' = (V, E_2)$ 直接应用算法 1，这样的总复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^3}{d_2}+n^{\frac 32}(nd_2)^{\frac 12}\right)$，令 $d_2 = n^{\frac 23}$，也可以得到 $\tilde O(n^{\frac 73})$ 的结果。

注意在 Dijkstra 时，我们对每个 $u$ 包含了 $\delta'(\{u\} \times D_1)$。在第四种情况中，只有当我们选了最后一个这样的 $w$，以及在 Dijkstra 中包含了 $E_1$，才可以让仅包含来自起点的 $\delta'(\{u\} \times D_1)$，否则来自终点的 $\delta'(\{v\} \times D_1)$ 也需要包含进去。两者的复杂度是有天差地别的。如果只包含一侧，便可以用单源最短路径每次只加 $O\left(\frac n{d_1}\right)$ 条边，如果包含两侧，就只能把所有边 $\delta'(D_1 \times V)$ 同时都加进去，这样将失去任何复杂度优势。

这个算法使用了两个阈值，将度数分为三层。立刻产生的想法便是可不可以通过分更多层来得到更优秀的复杂度，比如分 $k$ 层就能得到诸如 $O\left(\mathrm{poly}(k) n^{2 + \frac 1k}\right)$ 的算法。答案是否定的。因为在最短路所有点不经过 $V_i$ 但经过了 $V_{i-1}$ 时，如果我们选取最后一个 $V_{i-1}$ 中的点，那么 $w \to v$ 的所有边 $\in E_{i-1}$，因此 Dijkstra 中要加入 $E_{i-1}$，但是这样最终复杂度就会有一项 $\tilde O(n^2d^{k-2})$。因此这个做法下分更多层没有意义。

换句话说，这个算法的优化点就在于，考虑 $\delta(u, w) + \delta(w, v)$ 时，起点侧 $\delta(u, w)$ 只需要加很少的边。

但是，与组合算法不同的是，还有另一类算法，直接专注于优化 $\min_w\{\delta(u, w) + \delta(w, v)\}$ 这个计算过程本身。前面我们把所有需要的边并在一起算 Dijkstra 是为了方便，现在我们来仔细考量一下不同的边之间的需求关系。

对于四种情况

• $u \in D_2 \vee v \in D_2$，通过 $\delta(D_2 \times V)$ 得到。
• 最短路不经过 $V_1$ 中的点，通过 $(V, E_1)$ 上的 Dijkstra 得到。
• 最短路经过了某个 $w \in V_2$，通过 $\min_{w' \in D_2} \{\delta(u, w') + \delta(w', v)\}$ 得到。
• 最短路不经过 $V_2$ 中的点，但是经过了某个 $w \in V_1$，通过 $\min_{w' \in D_1} \{\delta(u, w') + 1 + \delta_{(V, E_1)}(w, v)\}$ 得到。

也就是说，在 Dijkstra 中，最短路实际上只有两步。

将 $\delta(V \times D_2)$ 视作矩阵，则我们需要求出 $\delta(V \times D_2) \star \delta(D_2 \times V)$，其中 $\star$ 表示 $(\min, +)$ 矩阵乘法。对一般的 $(\min, +)$ 矩阵乘，没有 $O(n^{3 - \Omega(1)})$ 的做法。

不过，我们可以针对问题的特殊性质研究特殊的矩阵乘法。如果我们将节点序列按照图的任意一棵生成树的欧拉序排列（此时一个点会出现多次），则 $\delta(D_1 \times V)$ 的上下相邻两个元素的差不超过 $1$，对于拥有这样特殊性质的 $(\min, +)$ 矩阵乘（其中一个矩阵为 Row/Column Bounded-difference），有 $\tilde O(n^{(2 + r + \omega(r))/2})$ 的做法，其中 $\omega(r)$ 表示 $n \times n^r$ 矩阵和 $n^r \times n$ 矩阵做正常矩阵乘法的指数 [Chi-Duan-Xie-Zhang '22]。

由于我们现在只做 $(\min, +)$，第四种情况不能直接处理。因此我们进行分层，将每一层之间的 gap 缩小，做 $\log n$ 次 $(\min, +)$。

算法 3 （无权图上的 surplus $2$ 近似 III [Deng-Kirkpatrick-Rong-V. Williams-Zhong '22]）

对图 $(V, E)$，令

• $d_0 \leq d_1 \leq \ldots \leq d_k = n$，$k$ 待定。

• $V_i$ 是度数 $\geq d_i$ 的所有点。

• $D_i$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_i}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_i$ 中的点都与至少一个 $D_i$ 中的点相邻。

• $E_i$ 是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_i|\leq n{d_i}$。

• $E^*$ 是每个 $V_i$ 中的点和任一 $D_i$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

用 BFS 在 $(V, E_i \cup E^*)$ 上计算 $\delta_i(D_{i-1} \times V)$，$1 \leq i \leq k$，时间复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^2d_i}{d_{i-1}}\right)$。

对 $(V, E_0)$ 应用算法 1 得到 $d'(u, v)$。时间复杂度 $O\left(n^2d_0^{\frac 12}\right)$。

求出 $\min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}$，假设 $d$ 的选取足够分散，使得 $k = o(n^\varepsilon)$，则复杂度为

$$\tilde O\left(n^{(2+(1 - \log_n d_0)+\omega(1 - \log_n d_0))/2}\right)$$

考虑将 $d(u, v) = \min\left(d'(u, v), \min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}\right)$ 作为答案。

使用类似上文的推导可知这是一个 surplus $2$ 近似。

时间复杂度为

$$\tilde O\left(n^2d_0^{\frac 12} + n^2\left(\frac{d_1}{d_0} + \frac{d_2}{d_1} + \ldots + \frac{d_{k-1}}{d_{k-2}} + \frac n{d_{k-1}}\right) + n^{(3-\log_n d_0+\omega(1 - \log_n d_0))/2}\right)$$

可知 $\frac{d_i}{d_{i-1}}$ 都相等，令他们均为 $2$，则 $k = O(\log n)$，符合要求。剩下的便是解方程，令 $d_0 = n^{1 - r}$，则方程为 $\frac 52 - \frac 12 r = (2 + r + \omega(r))/2$，即 $2r + \omega(r) = 3$，$\omega(r)$ 是一个很复杂的函数，查表可以估计出 $r \approx 0.427$，最终复杂度 $\tilde O(n^{2.2867})$。

如果不使用快速矩阵乘，直接用朴素的 $\tilde O(n^{3 - \log_n d_0})$ 来做，最终复杂度与算法 2 相同。

最后，一个额外的事情是，我们可以将上面几个算法去随机化。上述算法均基于定理 1，考虑用别的方法替换掉它。考虑对一个点 $v$，如果将其作为关键点，则 $v$ 和 $v$ 的邻居都被覆盖了。我们总是从没有被覆盖的点中再考虑一个作为关键点，也即每次将 $v$ 和 $v$ 的邻居删去，考虑剩下的图。如果限制从度数大的开始删，那么当删去了 $B$ 个点，剩下的图所有点中最大的度数为 $d$，则 $Bd \leq n, d \leq \frac nB$，因此剩下的图的边数只有 $O(\frac {n^2}B)$ 条。这是符合我们的要求的，因为上述几个算法对关键点的要求均为：关键点的数量是 $O\left(\frac nd\right)$ 时，剩余的边的数量是 $O(nd)$。所以上面几个算法均可以是确定性的，$\tilde O$ 也均可以改为 $O$。

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对于有向图，由于上述算法均有 $w\to w'\to w$ 的情节，它们无法再适用。

对于有权图，相邻并不意味着距离相近，因此 surplus 并不合理。现在尝试考虑 stretch。

先来考虑怎么寻找一个点 $s$ 的前 $b$ 相近的点，即最短路长度最近的 $b$ 个点。如果直接使用 Dijkstra，复杂度是 $\tilde O(nb)$ 的，不过我们可以限制 Dijkstra 的运行轮数与队列长度做到 $\tilde O(b^2)$。

对 stretch 近似，一个最朴素的想法是这样的：我们还是沿用寻找关键点 $w$，用 $d(u, v) = \delta(u, w) + \delta(w, v)$ 来近似 $\delta(u, v)$ 的方法。此时若有 $\delta(u, w) \leq \delta(u, v)$，则 $\delta(w, v) \leq \delta(w, u) + \delta(u, v) \leq 2\delta(u, v), d(u, v) = \delta(u, w) + \delta(w, v) \leq 3\delta(u, v)$，因此得到一个很粗糙的上界 stretch $3$。

算法 4 （带权图上的 stretch $3$ 近似）

对图 $(V, E)$，令

• $\mathrm{ball}(v)$ 表示离 $v$ 最近的 $b$ 个点。对每个 $v$ 寻找 $\mathrm{ball}(v)$ 的时间复杂度为 $O(nb^2)$。

• $D$ 是大小为 $\tilde O\left(\frac nb\right)$ 的关键点集，使得每个 $\mathrm{ball}(v) \cap D \neq \emptyset$。

对每个 $D$ 跑完整的 Dijkstra，得到 $\delta(D \times V)$。

对于 $u \in D \vee v \in D \vee v \in \mathrm{ball}(u)$，$d(u, v) = \delta(u, v)$。

否则，考虑 $w \in \mathrm{ball}(u) \cap D$，$d(u, v) = \delta(u, w) + \delta(w, v)$。

这是一个 stretch $3$ 近似。

时间复杂度为 $\tilde O\left(nb^2 + \frac{n^3}b\right)$，令 $b = n^{\frac 23}$，最终时间复杂度为 $\tilde O(n^{\frac 73})$。

这是一个广为人知 (folklore) 的算法。更优秀地，stretch $2$ 有 $\tilde O(n^{\frac 32}m^{\frac 12})$ 的做法，stretch $\frac 73$ 有 $\tilde O(n^{\frac 73})$ 的做法，stretch $3$ 有 $\tilde O(n^2)$ 的做法。[Cohen-Zwick '97]

如果考虑空间复杂度的优化，我们所做的便是把规模 $n \times n$ 的最短路表 $\delta(V \times V)$ 化简为一个空间更小的数据结构，使其能快速查询两点间的（近似）最短路。在上面的算法中为 $O(n^{\frac 53})$ 空间 $-\ O(1)$ 查询，如果不考虑时间复杂度的最优，令 $b = n^{\frac 12}$，能做到 $O(n^{\frac 32}) - O(1)$。对 stretch $2k - 1$ 有 $O(kn^{1 + \frac 1k}) - O(k)$ 的做法 [Thorup, Zwick '01]。

如果我们在无权图上做 stretch，我们可以非常轻松地给出一个 $\tilde O(n^2)$ 的 $(2, 1)$ 近似，其中 $(a, b)$ 近似表示 $d(u, v) \leq a \delta(u, v) + b$。优化点在于我们不用像算法 3 那样计算出 $\min\limits_{\substack{w' \in D_i \\ 1 \leq i \leq k}}\{\delta_i(u, w') + \delta_i(w', v)\}$，而实际上只需要用那个离 $u$ 最近的关键点和那个离 $v$ 最近的关键点作为松弛点，因为两者中恰好有一个没有一半的最短路长度。

算法 5 （无权图上的 $(2, 1)$ 近似）

对图 $(V, E)$，令

• $d_i = 2^i$，$0 \leq i \leq \log n$。

• $V_i$ 是度数 $\geq d_i$ 的所有点。

• $D_i$ 是一个大小为 $\tilde O\left(\frac n{d_i}\right)$ 的关键点集，使得每一个 $V_i$ 中的点都与至少一个 $D_i$ 中的点相邻。

• $E_i$ 是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$ 的所有边 $(u, v)$。$|E_i|\leq n{d_i}$。

• $E^*$ 是每个 $V_i$ 中的点和任一 $D_i$ 中的点连接的边集。$|E^*| = \tilde O(n)$。

用 BFS 在 $(V, E_i \cup E^*)$ 上计算 $\delta_i(D_{i-1} \times V)$，$1 \leq i \leq k$，时间复杂度为 $\tilde O\left(\frac{n^2d_i}{d_{i-1}}\right)$。

考虑将 $d(u, v) = \min\limits_{1 \leq i \leq k}\{\delta_i(u, u'_i) + \delta_i(u'_i, v), \delta_i(u, v'_i) + \delta_i(v'_i, v)\}$ 作为答案，其中 $u'_i = \operatorname{argmin}\limits_{w \in D_i} \delta_i(u, w), v'_i = \operatorname{argmin}\limits_{w \in D_i} \delta_i(w, v)$，也即只考虑一侧。

• 考虑 $u, v$ 最短路上度数最大的点 $x$，令 $i$ 满足 $d_{i-1} \leq \operatorname{deg}(x) < d_i$，则 $x \in V_{i-1}, x \notin V_i$，因此最短路上的所有边 $\in E_i$。设关键点 $w \in D_{i-1}$ 和 $x$ 相邻，则 $\delta_{i-1}(u, u') \leq \delta(u, x) + 1, \delta_{i-1}(v', v) \leq \delta(x, v) + 1$。如果我们按照这样做，只会得到一个 $(2, 2)$ 近似，因为 $x$ 有可能恰好处于最短路的中点，导致两边都取到上界。但是我们发现由于 $E_i$ 的定义是 $u \notin V_i \vee v \notin V_i$，我们可以找到度数第二大的点 $x'$，令 $i'$ 满足 $d_{i' - 1} \leq \operatorname{deg}(x') < d_{i'}$，那么最短路地所有边也 $\in E_{i'}$。因此，

  • 当 $\delta(u, v)$ 为偶数时，一定存在不为最短路中点的 $x^*$，满足，$\delta(u, x^*) \leq \frac 12 \delta(u, v) \color{red}{- 1}$，$\delta_{i-1}(u, u') \leq \frac 12\delta(u, v)$，$\delta_{i-1}(u', v) \leq \delta_{i-1}(u', u) + \delta(u, v)$，因此 $\delta_{i-1}(u, u') + \delta_{i-1}(u', v) \leq 2 \delta(u, v)$。
  • 当 $\delta(u, v)$ 为奇数时，$\delta(u, x) \leq \frac 12 (\delta(u, v) -1)$，$\delta_{i-1}(u, u') \leq \frac 12(\delta(u, v)+1)$，$\delta_{i-1}(u', v) \leq \delta_{i-1}(u', u) + \delta(u, v)$，因此 $\delta_{i-1}(u, u') + \delta_{i-1}(u', v) \leq 2 \delta(u, v) + 1$。不难发现取到上界当且仅当 $x, x'$ 是最短路最中间的两个点。

因此这是一个 $(2, 1)$ 近似。

时间复杂度为 $\tilde O(n^2)$。

对于 $(2, 0)$ 近似，有

• $\tilde O(n^{2.032})$ [Dory-Forster-Kirkpatrick-Nazari-V. Williams-Vos '23]。

• $\tilde O(n^{2.25})$ 的组合算法 [Roditty 2023]。

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