原文发表于 2022-05-18 21:13:02。
论一个 OIer 对分析和几何的理解能有多差。
第一型曲线积分
正则的 C1 的参数曲线 x 的弧长为
∫[a,b]∥x′(t)∥dt
若 C1 函数 t=t(s) 满足 t[α,β]=[a,b],则
∫[α,β]∥ddsx(t(s))∥ds=∫[α,β]∥x′(t(s))t′(s)∥ds=∫[α,β]∥x′(t(s))∥|t′(s)|ds=∫[a,b]∥x′(t(s))∥dt(s)
说明对任意正则 C1 函数 t, x∘t 的弧长都相同。弧长与参数化形式的选择无关。
记 l(t)=∫[a,t]∥x′(s)∥ds 为曲线 γ 的弧长参数。
若 x 以弧长参数 l 为自变量,则 ∥x′(l)∥=1。
设 f:γ→R 为连续函数,x(t) 为曲线 γ 的任意一个 C1 的参数化表示,记
∫γfdl=∫[a,b]f(x(t))∥x′(t)∥dt
称为 f 沿 γ 的积分。同理,根据积分的换元公式可知,上述积分的值与参数化表示 x 的选取无关。
考虑在不同坐标系下的弧长。在欧氏空间直角坐标系下,
dl=∥x′(t)∥dt=√⟨x′(t),x′(t)⟩dt=√∑(dxk)2
若有坐标变换 x=φ(u),则
dl=√⟨x′(t),x′(t)⟩dt=√⟨∂φ(u(t))u′(t),∂φ(u(t))u′(t)⟩dt=
⎷⟨∑i∂x∂ui(u(t))(ui)′(t),∑j∂x∂uj(u(t))(uj)′(t)⟩=
⎷∑i,j⟨∂x∂ui(u(t)),∂x∂uj(u(t))⟩duiduj=
⎷(dui,…,dum)Γ(∂φ(u))⎛⎜
⎜⎝dui⋮dum⎞⎟
⎟⎠
其中 Γ(v1,v2,…,vk) 称为 Gram 矩阵或度量矩阵,为
⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩…⟨v1,vk⟩⟨v2,v1⟩⟨v2,v2⟩…⟨v2,vk⟩⋮⋮⋱⋮⟨vk,v1⟩⟨vk,v2⟩…⟨vk,vk⟩⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
定理 √detΓ(v1,…,vk) 是由 v1,…,vk 张成的平行多面体的 k 维体积。
对 k 做数学归纳法,用内积的双线性性和行列式倍加不变即可。
定理 设 A(m×m) 是可逆方阵,则 detA 是由 A 的所有列向量张成的平行多面体的 m 维体积。
例 平面极坐标 (r,θ),∂x∂r=(cosθsinθ),∂x∂θ=(−rsinθrcosθ),Γ=(100r2),故 dl=√(dr)2+(rdθ)2。其几何解释为,在 [θ,θ+Δθ] 转成的小扇形区域,微弧长可以看作直线,(r,θ),(r,θ+Δθ),(r+Δr,θ+Δθ) 可以看作小直角三角形,在其上应用勾股定理。
第一型曲面积分
二维曲面
Rm(m≥3) 中的二维曲面 Σ 的 C1 正则参数是一个单射
x:D→Rm,x(u1,u2)=⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝x1(u1,u2)x2(u1,u2)…xm(u1,u2)⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠,(u1,u2)∈D⊆R2
满足 ∂(x1,x2,…,xm)∂(u1,u2) 是列满秩矩阵(也即不会在任何地方退化为一条线),它的列空间即为曲面 Σ 在 x 处的切空间。
∂x∂u1du1,∂x∂u2du2 形成的无穷小的平行四边形的面积为
dσ=√detΓ(∂x∂u1,∂x∂u2)du1du2
在物理上常写作
√EG−F2du1du2,其中,
E=⟨∂x∂u1,∂x∂u1⟩,F=⟨∂x∂u1,∂x∂u2⟩,G=⟨∂x∂u2,∂x∂u2⟩
称 dσ 为 Σ 的面积微元。定义 Σ 的面积为
σ(Σ)=∫Σdσ=∫D√det(⟨∂x∂ui∂x∂uj⟩)2×2du1du2
考虑不同参数变换下的面积微元。若有正则的参数变换 u1=u1(t1,t2),u2=u2(t1,t2)((t1,t2)∈Ω),即它是 Ω 到 D 的微分同胚,则考虑 ~x(t1,t2) 变换到 x(u1(t1,t2),u2(t1,t2)) 的过程。
√det(⟨∂~x∂ti,∂~x∂tj⟩)2×2dt1dt2=
⎷det(⟨2∑k=1∂x∂uk∂uk∂ti,2∑l=1∂x∂ul∂ul∂tj⟩)2×2dt1dt2=
⎷det(∑1≤k,l≤2⟨∂x∂uk,∂x∂ul⟩∂uk∂ti∂ul∂tj)2×2dt1dt2=
⎷det(∂(u1,u2)∂(t1,t2)T(⟨∂x∂uk,∂x∂ul⟩)2×2∂(u1,u2)∂(t1,t2))dt1dt2=√det(⟨∂x∂uk,∂x∂ul⟩)2×2∣∣∣det∂(u1,u2)∂(t1,t2)∣∣∣dt1dt2=√det(⟨∂x∂uk,∂x∂ul⟩)2×2du1du2
所以 dσ 与 Σ 的正则表示选择无关。
例 求有界闭区域 D⊂R2 中 C1 函数 f:D→R 的图像 Σ={(x,y,f(x,y))|(x,y)∈D} 的面积。
Σ 的两个切向量
v1=⎛⎜⎝10fx(x,y)⎞⎟⎠,v2=⎛⎜⎝01fy(x,y)⎞⎟⎠
E=⟨v1,v1⟩=1+(fx)2,F=fxfy,G=1+(fy)2
dσ=√1+(fx)2+(fy)2dxdy=√1+∥∇f(x,y)∥2dxdy
几何解释为,(1,∥∇f(x,y)∥) 为切平面与 xy 坐标形成的直角三角形的两边长度。
设 f:Σ→R 为连续函数,x:D→Rm 为二元曲面 Σ 的任意一个 C1 的参数化表示,记
∫Σfdσ=∫Df(x)√det(⟨∂x∂ui,∂x∂uj⟩)2×2du1du2
称它为 f 在曲面 Σ 上的积分。同理,上述积分的值与参数化表示 x 的选取无关。
任意维数曲面
Σ 是一个 k 维的 C1 正则曲面,D⊆Rk 是一个区域,∂x∂u1∼k 线性无关,则 Σ 的 k 维体积微元为
dσ=√det(⟨∂x∂uk,∂x∂ul⟩)k×kdu1du2…duk
设 f:Σ→R 为连续函数,记
∫Σfdσ=∫Df(x)√det(⟨∂x∂uk,∂x∂ul⟩)k×kdu1du2…duk
称它为 f 在曲面 Σ 上的积分。同理,上述积分的值与参数化表示 x 的选取无关。
例 设 Σ 为 m 元函数 f 的图像 {(x1,…,xm,f(x1,…,xm)|(x1,…,xm)∈D},则
dσ=√1+∥∇f(x)∥2dx1…dxm
证明
设 e1,e2,…,em,em+1 为 Rm+1 的标准基,则 Σ 的切向量为
vk=ek+∂f∂xk(x)em+1, k=1,2,…,m
⟨vi,vj⟩=δi,j+∂f∂xi(x)∂f∂xj(x)
故 (⟨vi,vj⟩)m×m=I+∇f(x)∇f(x)T。
任意与 ∇f(x) 正交的向量,都是特征值为 1 的特征向量。
而在 ∇f(x) 上的单位向量 u=∇f(x)∥∇f(x)∥,有
(I+∇f(x)∇f(x)T)u=u+∥∇f(x)∥2uuTu=(1+∥∇f(x)∥2)u
故特征值为 1(m−1 重),1+∥∇f(x)∥2 (1 重)。
故 det(⟨vi,vj⟩)=1+∥∇f(x)∥2。
第二类曲线积分
F:Rm→Rm 是一个向量场,它在空间 Rm 的每个点 x 处给出一个向量 F(x)∈Rm。为了区分位置和向量,我们分别使用 \mathbb R^m
和 \bm R^m
。
定义向量场 F:Rm→Rm 沿 C1 的(分段 C1 也可)连续路径 x:[a,b]→Rm 的积分为
∫ba⟨F(x(t)),x′(t)⟩dt
例 F 是一个力场,它在空间每个点 x 给出一个力 F(x),其对质点做的功为
W=∫ba⟨F(x),x′(t)⟩dt
例 如果 γ 是 Rm 中一条 C1 曲线,T:γ→Rm 是 γ 的一个连续单位切向量场,则称
∫γ⟨F(x),T(x)⟩dl
为向量场 F 沿曲线 γ 的单位切向量场 T 的环量。
例 如果 γ 是平面上一条 C1 的简单封闭曲线,n:γ→R2 是单位法向量场,称
∫γ⟨F,n⟩dl=∫γ⟨F(x),n(x)⟩dl
为向量场 F 沿曲线 γ 的法方向 n 的通量。
而我们知道 k×n=T,其中 k 是平面的单位法向量场,× 是叉积。
故
∫γ⟨F,n⟩dl=∫ba⟨F(x(t)),T(x(t))×k⟩∥x′(t)∥dt=∫ba⟨k×F(x(t)),x′(t)⟩dt
我们来复习一下
叉积
叉积(又称向量积、外积、叉乘)是一种在向量空间的二元运算。定义为
a×b=∥a∥∥b∥sin(θ)n
θ 表示它们在所定义的平面的夹角,而 n 是一个与 a,b 所构成的平面垂直的单位向量,方向根据右手定则确定。
将右手食指指向 a 的方向,中指指向 b 的方向,拇指便指向了 n 的方向。
设基向量为 i,j,k,则 i×j=k,j×k=i,k×i=j。
叉积有以下代数性质:
- a×b=−b×a
- a×a=0
- a×(b+c)=a×b+a×c
- (a+b)×c=a×c+b×c
- λa×b=λ(a×b)=a×λb
- (a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b
叉积没有乘法结合律。
若两个向量为 u=⎛⎜⎝u1u2u3⎞⎟⎠,v=⎛⎜⎝v1v2v3⎞⎟⎠,则 u×v=∣∣
∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣
∣∣。
更一般地,给定了 Rm 中的 m−1 个线性无关的向量 u1,u2,…,um−1,一个与其全部正交的向量是
v=∣∣
∣
∣
∣
∣∣e1u11u21…um−11e2u12u22…um−12⋮⋮⋮⋱⋮emu1mu2m…um−1m∣∣
∣
∣
∣
∣∣
因为对任意向量 w,根据行列式一列的展开公式可知 ⟨v,w⟩=∣∣
∣
∣
∣
∣∣w1u11u21…um−11w2u12u22…um−12⋮⋮⋮⋱⋮wmu1mu2m…um−1m∣∣
∣
∣
∣
∣∣
故 ⟨v,ui⟩=0(1≤i≤m−1)。
叉积只能在一些特殊的维数上定义。因为在一些维数上不存在比较良好的运算。
第二类曲线积分与曲线的同向正则参数表示的选择无关。设可微函数 t:[α,β]→[a,b],t(α)=a,t(β)=b,~x(s)=x(t(s)),则
∫βα⟨F(~x(s)),~x′(s)⟩ds=∫βα⟨F(x(t(s)),x′(t(s))t′(s)⟩ds=∫ba⟨F(x(t)),x′(t)⟩dt
而反向参数表示得到的结果为相反数。
同向指的是起点和终点一致,不要求 t 递增。因为会抵消掉。这也是沿路径和沿曲线积分的不同。
一般地,我们固定地使用一种统一的方向。自然正向是曲线右手冲着无界区域的方向。
我们把内积式展开
F=⎛⎜
⎜⎝F1⋮Fm⎞⎟
⎟⎠,x=⎛⎜
⎜⎝x1⋮xm⎞⎟
⎟⎠,则有
∫ba⟨F(x(t)),x′(t))dt=∫baF1(x(t))dx1(t)+…+Fm(x(t))dxm(t)
称 ω=F1(x)dx1+…+Fm(x)dxm 为一个一阶微分形式。
一个一阶微分形式是空间中的一个线性函数场,它在每点 P 处指定一个线性函数 ωP。ω 作用于一个向量场 X 得到一个函数 ω(X)。
ω(X)(P)=ωP(X(P))
故
∫γω=∫baωx(t)x′(t)dt
在寻找通用计算方法之前,先考虑一个特殊的情况。
如果 F 存在 f 使得 F(x)=∇f(x),∀x,则称 F 为梯度向量场或有势向量场,f 为 F 的一个势函数。
根据链索法则的矩阵形式(J 为 Jacobi 矩阵)
J(F∘G)(x0)=JF(y0)⋅JG(x0)
可知
∫γ⟨∇f,dl⟩=∫ba⟨∇f(x(t)),x′(t)⟩dt=∫badf(x(t))=f(x(b))−f(x(a))=f(B)−f(A)
这说明,梯度向量场沿任何 C1 路径的值只与路径起点和终点的位置有关。
称积分与路径无关的向量场为保守场。可知梯度向量场都是保守场。而保守场也同样都是梯度向量场。证明将在 Green 公式处提及。
Green 公式
设 Ω 是平面有界闭区域,边界 ∂Ω 由有限条 C1 曲线组成,自然正向。则对任何 C1 函数 X,Y,都有
∫∂ΩXdx+Ydy=∬Ω(∂Y∂x−∂X∂y)dxdy
证明 考虑将 Ω 拆成若干个区域 D,每个区域是 x=a,x=b,y=φ(x),y=ψ(x)(φ≥ψ)围成的区域,或是 y=α,y=β,x=f(y),x=g(y) 围成的区域。
若在 D 上 Green 公式成立,则我们可以将 Ω 分成若干个 D,∫∂Ωdl=∑∫∂Ddl,∬ΩdS=∑∬DdS,故 Ω 上也成立。
仅对第一种情况证明。第二种同理。
∫∂DXdx=∫y=ψ(x),a≤x≤bXdx−∫y=φ(x),a≤x≤bXdx=∫baX(x,ψ(x))−X(x,φ(x))dx=∫ba∫φ(x)ψ(x)−∂X∂ydxdy=∬D−∂X∂ydxdy
类似的,
∫∂DYdy=∫y=ψ(x),a≤x≤bYdy+∫φ(b)ψ(b)Y(b,y)dy−∫y=φ(x),a≤x≤bYdy−∫φ(a)ψ(a)Y(a,y)dy=∫baY(x,ψ(x))ψ′(x)−Y(x,φ(x))φ′(x)dx+∫φ(t)ψ(t)Y(t,y)dy∣∣∣ba=∫baY(x,ψ(x))ψ′(x)−Y(x,φ(x))φ′(x)dx+∂∂t∫ba∫φ(t)ψ(t)Y(t,y)dydt=∫baY(x,ψ(x))ψ′(x)−Y(x,φ(x))φ′(x)dx+∫ba(∫φ(t)ψ(t)Y(t,y)dy)′tdydt=∫ba∫φ(t)ψ(t)∂Y∂xdydt=∬D∂Y∂xdxdy
例 Ω 的面积为
∫∂Ωxdy=∬Ωdσ
旋度、散度
对平面向量场 F,称 curl F=rot F=∂Y∂x−∂X∂y 为 F 的旋度,div F=∂X∂x+∂Y∂y 为 F 的散度。
环量-旋度公式
∫∂Ω⟨F,dl⟩=∬Ωcurl Fdσ
通量-散度公式
∫∂Ω⟨F,n⟩dl=∬Ωdiv Fdσ
有势场:F=∇f。
保守场:∫BA⟨F,dl⟩ 与路径无关。
无旋场:curl F=0。
无源场:div F=0。
线性向量场的 Helmholtz 分解:一个向量场能够分成一个无旋场和一个无源场的和。
F(x,y)=(a(x,y)b(x,y)c(x,y)d(x,y))(xy)=(ax+bycx+dy)
A=(a(x,y)b(x,y)c(x,y)d(x,y))
则 curl F=c−b,div F=a+d=tr A。
令 F1=A+AT2,F2=A−AT2。
则 F1 无旋,F2 无源。
定义 集合 A⊂Rm 是单连通的,如果 A 中任何闭曲线都可以在 A 中连续变形为一个点。
定理 有势场 ⇔ 保守场 ⇔ 任何沿环路积分 =0⇔ 区域单连通的无旋场。
-
保守场 ⇔ 任何沿环路积分 =0,显然。
-
有势场 ⇒ 保守场,微积分基本定理。
-
有势场 ⇐ 保守场
考虑固定一点 A,令 f(x)=∫xA⟨F,dl⟩,可知积分值与路径无关。
limt→0+f(x+tek)−f(x)t=limt→0+∫t0⟨F(x+sek),d(x+sek)⟩t=limt→0+∫t0Fk(x+sek)dst=limt→0+tFk(x+ξek)t0≤ξ≤1=limt→0+Fk(x+ξek)0≤ξ≤1=Fk(x)
其中上标为取其在一维的坐标分量。
这说明,∇f=F。F 是有势场。
- 区域单连通时,有势场 ⇔ 无旋场。代入 Green 公式即可。
不单连通的无旋场并不能推出其是有势场。考虑
F=⎛⎝−yx2+y2xx2+y2⎞⎠
是无旋场。但
∫x2+y2=R2−yx2+y2dx+xx2+y2dy=2π
这是因为 (0,0) 处 F 没有定义,有流量在偷跑。
一阶微分形式确定的微分方程
X(x,y)dx+Y(x,y)dy=0
称 (x(t),y(t)) 是这个微分方程的一个积分曲线,如果
X(x(t),y(t))x′(t)+Y(x(t),y(t))y′(t)=0
当 (X,Y)≠0 时,上述微分方程可以写成
dydx=−XY 或 dxdy=−YX
此时方程的解是一条曲线。
如果存在函数 f 使得 (X,Y)T 平行于 ∇f,则微分方程可以写成 ∇f=0,也即 f(x,y)=c 的形式,也即 f 的任意等高线都是微分方程的解。
如果存在函数 μ 使得 (μX,μY)T 平行于 ∇f,则微分方程 μXdx+μYdy=0 可以写成 ∇f=0,也即 f(x,y)=c 的形式。称 μ 是微分形式 Xdx+Ydy 的积分因子。
第二类曲面积分
二维曲面
定义 设 Σ⊂Rm 是一个 m−1 维 C1 正则曲面,称 Σ 是一个有向曲面,如果存在连续的单位法向量场 n:Σ→Rm。有向曲面记为 (Σ,n)。
例
- 超平面 ⟨a,x−x0⟩=0 是可定向曲面,n=a∥a∥。
- 球面 ∑(xi)2=R2 是可定向曲面,n=xR。
- F 是 m 元 C1 函数,F 在高度 C 的等高线 F−1(C)={x|F(x)=C} 若没有临界点,则是可定向曲面,n=∇F∥∇F∥。
- 若参数曲面
⎧⎪⎨⎪⎩x1=x1(u1,…,um−1)⋮xm=xm(u1,…,um−1)
是一个 U⊂Rm−1→x(U)⊂Rm 的微分同胚,则曲面为可定向曲面。
记
Ni(x)=(−1)m+idet∂(x1,…,^xi,…,xm)∂(u1,…,um−1)
其中 ^xi 表示去掉第 i 行。
由于是微分同胚,Ni(x) 不均为零。
n(x)=(Ni(x)√N1(x)2+…+Nm(x)2)T
- Möbius 带 ⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩x=(4+tcosθ2)cosθy=(4+tcosθ2)sinθz=tsinθ2, −1<t<1,0≤θ≤2π 是不可定向曲面。因为在 θ=0,2π 时对应了同一排点,法向量恰好反向,不满足微分同胚一一对应的条件。
定义 设 (Σ,n) 是一个定向曲面,对连续向量场 F:Σ→R3,称 ∫Σ⟨F,n⟩dσ 为向量场 F 沿曲面 Σ 的法方向场 n 的积分,称为向量场 F 关于有向曲面 Σ 的通量。
定理 对 C1 正则的参数曲面 Σ⊂R3,⎧⎨⎩x=x(u1,u2)y=y(u1,u2)z=z(u1,u2) , (u1,u2)∈D⊆R2,满足 ∂x∂u1×∂x∂u2 与 n 的方向一致。则对于任何连续向量场 F:Σ→R3,
∫Σ⟨F,n⟩dσ=∫Ddet(F,∂x∂u1,∂x∂u2)du1du2
其中 dσ 为 Σ 的无向面积微元。ndσ=∂x∂u1×∂x∂u2du1du2。如果反向则为 ∂x∂u2×∂x∂u1du1du2。
证明 考虑行列式的几何意义,其是两个无穷小和 F 张成的平行多面体的三维体积。
定义 二阶微分形式是一个反对称、双线性函数场 ω:
它作用于一对向量场 ξ,η,得到一个函数
ω(ξ,η)(P)=ωP(ξ(P),η(P))
反对称:ω(ξ,η)=−ω(η,ξ)
双线性:对任意 a,b∈R,ω(aξ+bη,ζ)=aω(ξ,ζ)+bω(η,ζ),ω(ζ,aξ+bη)=aω(ζ,ξ)+bω(ζ,η)
称反对称、双线性的函数为一个2-形式。
定义 设 ω1,ω2 是两个一阶微分形式,它们的斜积(楔积、外积、wedge product)是一个二阶微分形式
ω1∧ω2(ξ,η)=∣∣∣ω1(ξ)ω1(η)ω2(ξ)ω2(η)∣∣∣
可知 ω1∧ω2(ξ,η) 关于 ξ,η 反对称、双线性。
特别地,取 ω1=dx,ω2=dy,设 ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)T,η=(η1,η2,η3)T,有
dx∧dy(η,ξ)=∣∣∣dx(ξ(x,y,z))dx(η(x,y,z))dy(ξ(x,y,z))dy(η(x,y,z))∣∣∣=∣∣∣ξ1η1ξ2η2∣∣∣
类似地可以有 dy∧dz=∣∣∣ξ2η2ξ3η3∣∣∣,dz∧dx=∣∣∣ξ3η3ξ1η1∣∣∣。
它们分别是由 ξ,η 构成的空间有向平行四边形在 xy,yz,zx 坐标平面中投影平行四边形的有向面积。
对任意二阶微分形式 ω,
ω(ξ,η)=∑1≤i,j≤3ξiηjω(ei,ej)=∑1≤i<j≤3∣∣∣ξiηiξjηj∣∣∣ω(ei,ej)=ω(e1,e2)dx∧dy(ξ,η)+ω(e2,e3)dy∧dz(ξ,η)+ω(e3,e1)dz∧dx(ξ,η)=∣∣
∣
∣∣ω(e2,e3)dx(ξ)dx(η)ω(e3,e1)dy(ξ)dy(η)ω(e1,e2)dz(ξ)dz(η)∣∣
∣
∣∣
所以 R3 中任何二阶微分形式都是 dx∧dy,dy∧dz,dz∧dz 的线性组合。
定义 二阶微分形式 ω 在有向曲面 (Σ,n) 上的积分,定义为
∫Σω=∫Dω(∂ux,∂vx)dudv
其中 ∂ux,∂vx,n 构成右手系。
考虑不同参数变换下的面积微元。设 u=u(t,s),v=v(t,s) 是保定向微分同胚(∂(u,v)∂(t,s)>0),记 ˜x(t,s)=x(u(t,s),v(t,s)),则 (∂t˜x,∂s˜x)=(∂ux,∂vx)∂(u,v)∂(t,s),
ω(∂t˜x,∂s˜x)dtds=ω(∂u∂t∂ux+∂v∂t∂vx,∂u∂s∂ux+∂v∂s∂vx)dtds=ω(∂ux,∂vx)∂(u,v)∂(t,s)dtds=ω(∂ux,∂vx)dudv
所以 dσ 与 Σ 的正则表示选择无关。
我们可以将通量转化为二阶微分形式。
⟨v,n⟩dσ=∣∣
∣
∣
∣∣v1∂x∂u∂x∂vv2∂y∂u∂y∂vv3∂z∂u∂z∂v∣∣
∣
∣
∣∣=v1dy∧dz+v2dz∧dx+v3dx∧dy
例 dy∧dx=d(rsinθ)∧d(rcosθ)=(sinθdr+rcosθdθ)∧(cosθdr−rsinθdθ)=rdθ∧dr
二阶微分形式的换元公式,推进与拉回
设 Φ:R3→R3 是一个 C1 映射,Φ(x,y,z)=(X,Y,Z),设 ω 是 (X,Y,Z) 空间中的一个二阶微分形式。
对于 (x,y,z) 空间中的两个向量场 ξ(x,y,z),η(x,y,z),
DΦ(x,y,z)ξ(x,y,z),DΦ(x,y,z)η(x,y,z)
是 (X,Y,Z) 空间中的向量场,记它们为 Φ∗ξ,Φ∗η(推进)。定义
Φ∗ω(ξ,η)=ω(Φ∗ξ,Φ∗η)
(拉回)
则有
∫ΣΦ∗ω=∫Φ(Σ)ω
证明
∫ΣΦ∗ω=∫Du,vΦ∗ω(∂ux,∂vx)dudv=∫Du,vω(Φ∗∂ux,Φ∗∂vx)dudv=∫Du,vω(DΦ(x)∂ux,DΦ(x)∂vx)dudv=∫Du,vω(∂ux,∂vx)dudv链索法则,转化为像的切空间=∫Φ(Σ)ω
可以推广到高维。
任意维数曲面
k 阶微分形式
k−形式是一个作用在 k 个线性函数场,k 重线性的反对称函数:
ω(v1,…,vk) 对每个 v 是线性的。
ω(vσ(1),…,vσ(k))=(−1)#σω(v1,…,vk)
#σ 表示排列 σ 的逆序对数。
设 e1,…,em 是基底向量,vi=∑mj=1ajiej,则
ω(v1,…,vk)=∑j1,…,jkaj11…ajkkω(ej1,…,ejk)=∑1≤j1<…<jk≤m∑σajσ(1)1…ajσ(k)k(−1)#σω(ej1,…,ejk)=∑1≤j1<…<jk≤mω(ej1,…,ejk)∣∣
∣
∣
∣∣aj11…aj1k⋮⋱⋮ajk1…ajkk∣∣
∣
∣
∣∣
设 dx1,…,dxm 是对应基底向量 e1,…,em 的坐标函数,记
dxj1∧…∧dxjk(v1,…,vk)=∣∣
∣
∣∣dxj1(v1)…dxj1(vk)⋮⋱⋮dxjk(v1)…dxjk(vk)∣∣
∣
∣∣
那么其是一个 k−形式,且对于所有 k−形式,有
ω=∑1≤j1<…<jk≤mω(ej1,…,ejk)dxj1∧…∧dxjk
这说明所有的 k−形式组成了 (mk) 维的线性空间,所有 dxj1∧…∧dxjk 构成了空间的一组基。
设 Σ 是 Rm 中的超曲面,Φ:(Rm−1⊃)U→Rm 是 Σ 的 C1 正则参数表示,
n=∣∣
∣
∣
∣∣e1∂x1∂u1…∂x1∂um−1⋮⋮⋱⋮em∂xm∂u1…∂xm∂um−1∣∣
∣
∣
∣∣∥∥
∥
∥
∥∥∣∣
∣
∣
∣∣e1∂x1∂u1…∂x1∂um−1⋮⋮⋱⋮em∂xm∂u1…∂xm∂um−1∣∣
∣
∣
∣∣∥∥
∥
∥
∥∥
是 Σ 的连续单位法向量场。
设 v=(v1,…,vm)T 是 Σ 上的连续向量场,v 沿有向曲面 (Σ,n) 的通量为
∫Σ⟨v,n⟩dσ=∫U∣∣
∣
∣
∣∣v1∂x1∂u1…∂x1∂um−1⋮⋮⋱⋮vm∂xm∂u1…∂xm∂um−1∣∣
∣
∣
∣∣du1du2…dum−1=∫Σm∑k=1(−1)k−1vkdx1∧…∧ˆdxk∧…∧dxm
其中 ˆdxk 表示去掉这一项。
散度、旋度
在直角坐标系中,我们定义向量场 X=(X1,…,Xm)T 的散度为
div X=∇⋅X=∂X1∂x1+…+∂Xm∂xm
Gauss 公式
设有界闭区域 Ω⊂Rm 的边界 ∂Ω 是一个分片 C1 正则曲面,n 方向朝向无界区域。则对 Ω 上的任意 C1 向量场 X,都有
∫∂Ω⟨X,n⟩dσ=∫Ωdiv Xdμ
用微分形式表达,对任何 m−1 阶微分形式 ω,都有
∫∂Ωω=∫Ωdω
其中
ω=∑mk=1(−1)k−1Xkdx1∧…∧ˆdxk∧…∧dxm
dω=m∑k=1∂Xk∂xkdx1∧…∧dxm
证明 分三步。
∫∂Φ[0,1]mω=∫∂[0,1]mΦ∗ω=∫[0,1]md(Φ∗ω)=∫[0,1]mdω(DΦ)=∫[0,1]mΦ∗(dω)=∫Φ[0,1]mdω
例 阿基米德定律:全部或部分浸没于流体中的物体 所受到的浮力的大小等于它所排开流体的重量。
设 Ω 是物体在流体中所占的区域,z 是深度,则 (x,y,z) 处的压强为 ρgzn,n 是单位外法向量。
F=∬∂Ωρgzn=∬Du,vρgz∣∣
∣
∣
∣∣i∂x∂u∂x∂vj∂y∂u∂y∂vk∂z∂u∂z∂v∣∣
∣
∣
∣∣du∧dv=∬∂Ωρgzidy∧dz+ρgzjdz∧dx+ρgzkdx∧dy=∭Ωρgdxdydzk=ρgVk
在直角坐标系中,我们定义向量场 X=(X1,…,Xm)T 的旋度为
curl F=rot F=(∂X3∂x2−∂X2∂x3,∂X1∂x3−∂X3∂x1,∂X2∂x1−∂X1∂x2)
想法来自
12(DF−(DF)T) 的 i,j 两行两列的子阵
12⎛⎝0∂Xj∂xi−∂Xi∂xj∂Xi∂xj−∂Xj∂xi0⎞⎠
描述了向量场 F 在 xixj 坐标平面中的旋转。
Stokes 公式
设 Σ 是 R3 中的二维 C1 有向曲面,∂Σ 是逐段 C1 曲线,其方向为左手指向 Σ 区域。设 F 是 C1 向量场,则
∫∂Σ⟨F,dl⟩=∬Σ⟨curl F,n⟩dσ
用微分形式表达,对任何一阶微分形式 ω,都有
∫∂Σω=∬Σdω
后者可以推广到任意维数。
证明 同样分三步。
-
在 [0,1]m 上成立。Green 公式。
-
在 Φ([0,1]m) 上成立。
-
Σ 分成若干个 Φ 的并。
可知在任何维数,有势场 ⇔ 保守场 ⇒ 无旋场 区域单连通⟺ 有势场。
场论
∇ 算子,对函数 f,∇f 是 f 的梯度,对应的微分形式为 df,在笛卡尔坐标系下为坐标偏导数组成的向量。
对向量场 F,∇×F 是 F 的旋度,F 对应一阶微分形式 ω,则 ∇×F 对应 dω。
∇×F=⎛⎜
⎜⎝F32−F23F13−F31F21−F12⎞⎟
⎟⎠=∣∣
∣
∣
∣∣i∂∂xF1j∂∂yF2k∂∂zF3∣∣
∣
∣
∣∣
由行列式的形式,我们可以理解为什么使用叉乘 ×。
∇⋅F 是 F 的散度,F 对应二阶微分形式 ω,则 ∇⋅F 对应于 dω。在笛卡尔坐标系下
∇⋅F=F1x+F2y+F3z
Leibniz 公式
- ∇(fg)=f∇g+g∇f
- ∇×(μF)=μ∇×F+∇μ×F,其中 μ 为线性函数场。
- ∇⋅(μF)=μ∇⋅F+∇μ⋅F
- ∇⋅(F×G)=G⋅(∇×F)−F⋅(∇×G)
用微分形式写成统一形式:对任何微分形式 ω1,ω2,
d(ω1∧ω2)=dω1∧ω2+(−1)#ω1ω1∧dω2
其中 #ω1 为 ω1 的阶数。
当 ω=f 是函数时,可以视其为 0 阶微分形式,规定 f∧ω=ω∧f=fω。
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