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曲面积分笔记

原文发表于 2022-05-18 21:13:02


论一个 OIer 对分析和几何的理解能有多差。

第一型曲线积分

正则的 C1 的参数曲线 x 的弧长为

[a,b]x(t)dt

C1 函数 t=t(s) 满足 t[α,β]=[a,b],则

[α,β]ddsx(t(s))ds=[α,β]x(t(s))t(s)ds=[α,β]x(t(s))|t(s)|ds=[a,b]x(t(s))dt(s)

说明对任意正则 C1 函数 txt 的弧长都相同。弧长与参数化形式的选择无关。

l(t)=[a,t]x(s)ds 为曲线 γ 的弧长参数。

x 以弧长参数 l 为自变量,则 x(l)=1

f:γR 为连续函数,x(t) 为曲线 γ 的任意一个 C1 的参数化表示,记

γfdl=[a,b]f(x(t))x(t)dt

称为 f 沿 γ 的积分。同理,根据积分的换元公式可知,上述积分的值与参数化表示 x 的选取无关。

考虑在不同坐标系下的弧长。在欧氏空间直角坐标系下,

dl=x(t)dt=x(t),x(t)dt=(dxk)2

若有坐标变换 x=φ(u),则

dl=x(t),x(t)dt=φ(u(t))u(t),φ(u(t))u(t)dt=ixui(u(t))(ui)(t),jxuj(u(t))(uj)(t)=i,jxui(u(t)),xuj(u(t))duiduj=(dui,,dum)Γ(φ(u))(duidum)

其中 Γ(v1,v2,,vk) 称为 Gram 矩阵或度量矩阵,为

[v1,v1v1,v2v1,vkv2,v1v2,v2v2,vkvk,v1vk,v2vk,vk]

定理 detΓ(v1,,vk) 是由 v1,,vk 张成的平行多面体的 k 维体积。

k 做数学归纳法,用内积的双线性性和行列式倍加不变即可。

定理A(m×m) 是可逆方阵,则 detA 是由 A 的所有列向量张成的平行多面体的 m 维体积。

平面极坐标 (r,θ)xr=(cosθsinθ),xθ=(rsinθrcosθ)Γ=(100r2),故 dl=(dr)2+(rdθ)2。其几何解释为,在 [θ,θ+Δθ] 转成的小扇形区域,微弧长可以看作直线,(r,θ),(r,θ+Δθ),(r+Δr,θ+Δθ) 可以看作小直角三角形,在其上应用勾股定理。

第一型曲面积分

二维曲面

Rm(m3) 中的二维曲面 ΣC1 正则参数是一个单射

x:DRm,x(u1,u2)=(x1(u1,u2)x2(u1,u2)xm(u1,u2)),(u1,u2)DR2

满足 (x1,x2,,xm)(u1,u2) 是列满秩矩阵(也即不会在任何地方退化为一条线),它的列空间即为曲面 Σx 处的切空间。

xu1du1,xu2du2 形成的无穷小的平行四边形的面积为

dσ=detΓ(xu1,xu2)du1du2

在物理上常写作

EGF2du1du2,其中,

E=xu1,xu1,F=xu1,xu2,G=xu2,xu2

dσΣ 的面积微元。定义 Σ 的面积为

σ(Σ)=Σdσ=Ddet(xuixuj)2×2du1du2

考虑不同参数变换下的面积微元。若有正则的参数变换 u1=u1(t1,t2),u2=u2(t1,t2)(t1,t2)Ω),即它是 ΩD 的微分同胚,则考虑 x~(t1,t2) 变换到 x(u1(t1,t2),u2(t1,t2)) 的过程。

det(x~ti,x~tj)2×2dt1dt2=det(k=12xukukti,l=12xulultj)2×2dt1dt2=det(1k,l2xuk,xuluktiultj)2×2dt1dt2=det((u1,u2)(t1,t2)T(xuk,xul)2×2(u1,u2)(t1,t2))dt1dt2=det(xuk,xul)2×2|det(u1,u2)(t1,t2)|dt1dt2=det(xuk,xul)2×2du1du2

所以 dσΣ 的正则表示选择无关。

求有界闭区域 DR2C1 函数 f:DR 的图像 Σ={(x,y,f(x,y))|(x,y)D} 的面积。

Σ 的两个切向量

v1=(10fx(x,y)),v2=(01fy(x,y))

E=v1,v1=1+(fx)2,F=fxfy,G=1+(fy)2

dσ=1+(fx)2+(fy)2dxdy=1+f(x,y)2dxdy

几何解释为,(1,f(x,y)) 为切平面与 xy 坐标形成的直角三角形的两边长度。

f:ΣR 为连续函数,x:DRm 为二元曲面 Σ 的任意一个 C1 的参数化表示,记

Σfdσ=Df(x)det(xui,xuj)2×2du1du2

称它为 f 在曲面 Σ 上的积分。同理,上述积分的值与参数化表示 x 的选取无关。

任意维数曲面

Σ 是一个 k 维的 C1 正则曲面,DRk 是一个区域,xu1k 线性无关,则 Σk 维体积微元为

dσ=det(xuk,xul)k×kdu1du2duk

f:ΣR 为连续函数,记

Σfdσ=Df(x)det(xuk,xul)k×kdu1du2duk

称它为 f 在曲面 Σ 上的积分。同理,上述积分的值与参数化表示 x 的选取无关。

Σm 元函数 f 的图像 {(x1,,xm,f(x1,,xm)|(x1,,xm)D},则

dσ=1+f(x)2dx1dxm

证明

e1,e2,,em,em+1Rm+1 的标准基,则 Σ 的切向量为

vk=ek+fxk(x)em+1,  k=1,2,,m

vi,vj=δi,j+fxi(x)fxj(x)

(vi,vj)m×m=I+f(x)f(x)T

任意与 f(x) 正交的向量,都是特征值为 1 的特征向量。

而在 f(x) 上的单位向量 u=f(x)f(x),有

(I+f(x)f(x)T)u=u+f(x)2uuTu=(1+f(x)2)u

故特征值为 1m1 重),1+f(x)21 重)。

det(vi,vj)=1+f(x)2

第二类曲线积分

F:RmRm 是一个向量场,它在空间 Rm 的每个点 x 处给出一个向量 F(x)Rm。为了区分位置和向量,我们分别使用 \mathbb R^m\bm R^m

定义向量场 F:RmRm 沿 C1 的(分段 C1 也可)连续路径 x:[a,b]Rm 的积分为

abF(x(t)),x(t)dt

F 是一个力场,它在空间每个点 x 给出一个力 F(x),其对质点做的功为

W=abF(x),x(t)dt

如果 γRm 中一条 C1 曲线,T:γRmγ 的一个连续单位切向量场,则称

γF(x),T(x)dl

为向量场 F 沿曲线 γ 的单位切向量场 T 的环量。

如果 γ 是平面上一条 C1 的简单封闭曲线,n:γR2 是单位法向量场,称

γF,ndl=γF(x),n(x)dl

为向量场 F 沿曲线 γ 的法方向 n 的通量。

而我们知道 k×n=T,其中 k 是平面的单位法向量场,× 是叉积。

γF,ndl=abF(x(t)),T(x(t))×kx(t)dt=abk×F(x(t)),x(t)dt


我们来复习一下

叉积

叉积(又称向量积、外积、叉乘)是一种在向量空间的二元运算。定义为

a×b=absin(θ)n

θ 表示它们在所定义的平面的夹角,而 n 是一个与 a,b 所构成的平面垂直的单位向量,方向根据右手定则确定。

将右手食指指向 a 的方向,中指指向 b 的方向,拇指便指向了 n 的方向。

设基向量为 i,j,k,则 i×j=k,j×k=i,k×i=j

叉积有以下代数性质:

  • a×b=b×a
  • a×a=0
  • a×(b+c)=a×b+a×c
  • (a+b)×c=a×c+b×c
  • λa×b=λ(a×b)=a×λb
  • (a×b)c=(b×c)a=(c×a)b

叉积没有乘法结合律。

若两个向量为 u=(u1u2u3),v=(v1v2v3),则 u×v=|iu1v1ju2v2ku3v3|

更一般地,给定了 Rm 中的 m1 个线性无关的向量 u1,u2,,um1,一个与其全部正交的向量是

v=|e1u11u12u1m1e2u21u22u2m1emum1um2umm1|

因为对任意向量 w,根据行列式一列的展开公式可知 v,w=|w1u11u12u1m1w2u21u22u2m1wmum1um2umm1|

v,ui=01im1)。

叉积只能在一些特殊的维数上定义。因为在一些维数上不存在比较良好的运算。


第二类曲线积分与曲线的同向正则参数表示的选择无关。设可微函数 t:[α,β][a,b]t(α)=a,t(β)=b,x~(s)=x(t(s)),则

αβF(x~(s)),x~(s)ds=αβF(x(t(s)),x(t(s))t(s)ds=abF(x(t)),x(t)dt

反向参数表示得到的结果为相反数。

同向指的是起点和终点一致,不要求 t 递增。因为会抵消掉。这也是沿路径和沿曲线积分的不同。

一般地,我们固定地使用一种统一的方向。自然正向是曲线右手冲着无界区域的方向。

我们把内积式展开

F=(F1Fm),x=(x1xm),则有

abF(x(t)),x(t))dt=abF1(x(t))dx1(t)++Fm(x(t))dxm(t)

ω=F1(x)dx1++Fm(x)dxm 为一个一阶微分形式。

一个一阶微分形式是空间中的一个线性函数场,它在每点 P 处指定一个线性函数 ωPω 作用于一个向量场 X 得到一个函数 ω(X)

ω(X)(P)=ωP(X(P))

γω=abωx(t)x(t)dt

在寻找通用计算方法之前,先考虑一个特殊的情况。

如果 F 存在 f 使得 F(x)=f(x),x,则称 F梯度向量场有势向量场fF 的一个势函数。

根据链索法则的矩阵形式(JJacobi 矩阵)

J(FG)(x0)=JF(y0)JG(x0)

可知

γf,dl=abf(x(t)),x(t)dt=abdf(x(t))=f(x(b))f(x(a))=f(B)f(A)

这说明,梯度向量场沿任何 C1 路径的值只与路径起点和终点的位置有关。

称积分与路径无关的向量场为保守场。可知梯度向量场都是保守场。而保守场也同样都是梯度向量场。证明将在 Green 公式处提及。

Green 公式

Ω 是平面有界闭区域,边界 Ω 由有限条 C1 曲线组成,自然正向。则对任何 C1 函数 X,Y,都有

ΩXdx+Ydy=Ω(YxXy)dxdy

证明 考虑将 Ω 拆成若干个区域 D,每个区域是 x=a,x=b,y=φ(x),y=ψ(x)φψ)围成的区域,或是 y=α,y=β,x=f(y),x=g(y) 围成的区域。

若在 DGreen 公式成立,则我们可以将 Ω 分成若干个 DΩdl=DdlΩdS=DdS,故 Ω 上也成立。

仅对第一种情况证明。第二种同理。

DXdx=y=ψ(x),axbXdxy=φ(x),axbXdx=abX(x,ψ(x))X(x,φ(x))dx=abψ(x)φ(x)Xydxdy=DXydxdy

类似的,

DYdy=y=ψ(x),axbYdy+ψ(b)φ(b)Y(b,y)dyy=φ(x),axbYdyψ(a)φ(a)Y(a,y)dy=abY(x,ψ(x))ψ(x)Y(x,φ(x))φ(x)dx+ψ(t)φ(t)Y(t,y)dy|ab=abY(x,ψ(x))ψ(x)Y(x,φ(x))φ(x)dx+tabψ(t)φ(t)Y(t,y)dydt=abY(x,ψ(x))ψ(x)Y(x,φ(x))φ(x)dx+ab(ψ(t)φ(t)Y(t,y)dy)tdydt=abψ(t)φ(t)Yxdydt=DYxdxdy

Ω 的面积为

Ωxdy=Ωdσ

旋度、散度

对平面向量场 F,称 curl F=rot F=YxXyF 的旋度,div F=Xx+YyF 的散度。

环量-旋度公式

ΩF,dl=Ωcurl Fdσ

通量-散度公式

ΩF,ndl=Ωdiv Fdσ

有势场:F=f

保守场:ABF,dl 与路径无关。

无旋场:curl F=0

无源场:div F=0

线性向量场的 Helmholtz 分解:一个向量场能够分成一个无旋场和一个无源场的和。

F(x,y)=(a(x,y)b(x,y)c(x,y)d(x,y))(xy)=(ax+bycx+dy)

A=(a(x,y)b(x,y)c(x,y)d(x,y))

curl F=cb,div F=a+d=tr A

F1=A+AT2,F2=AAT2

F1 无旋,F2 无源。

定义 集合 ARm 是单连通的,如果 A 中任何闭曲线都可以在 A 中连续变形为一个点。

定理 有势场 保守场 任何沿环路积分 =0 区域单连通的无旋场。

  • 保守场 任何沿环路积分 =0,显然。

  • 有势场 保守场,微积分基本定理。

  • 有势场 保守场

    考虑固定一点 A,令 f(x)=AxF,dl,可知积分值与路径无关。

    limt0+f(x+tek)f(x)t=limt0+0tF(x+sek),d(x+sek)t=limt0+0tFk(x+sek)dst=limt0+tFk(x+ξek)t0ξ1=limt0+Fk(x+ξek)0ξ1=Fk(x)

​ 其中上标为取其在一维的坐标分量。

​ 这说明,f=FF 是有势场。

  • 区域单连通时,有势场 无旋场。代入 Green 公式即可。

不单连通的无旋场并不能推出其是有势场。考虑

F=(yx2+y2xx2+y2)

是无旋场。但

x2+y2=R2yx2+y2dx+xx2+y2dy=2π

这是因为 (0,0)F 没有定义,有流量在偷跑。

一阶微分形式确定的微分方程

X(x,y)dx+Y(x,y)dy=0

(x(t),y(t)) 是这个微分方程的一个积分曲线,如果

X(x(t),y(t))x(t)+Y(x(t),y(t))y(t)=0

(X,Y)0 时,上述微分方程可以写成

dydx=XYdxdy=YX

此时方程的解是一条曲线。

如果存在函数 f 使得 (X,Y)T 平行于 f,则微分方程可以写成 f=0,也即 f(x,y)=c 的形式,也即 f 的任意等高线都是微分方程的解。

如果存在函数 μ 使得 (μX,μY)T 平行于 f,则微分方程 μXdx+μYdy=0 可以写成 f=0,也即 f(x,y)=c 的形式。称 μ 是微分形式 Xdx+Ydy 的积分因子。

第二类曲面积分

二维曲面

定义ΣRm 是一个 m1C1 正则曲面,称 Σ 是一个有向曲面,如果存在连续的单位法向量场 n:ΣRm。有向曲面记为 (Σ,n)

  • 超平面 a,xx0=0 是可定向曲面,n=aa
  • 球面 (xi)2=R2 是可定向曲面,n=xR
  • FmC1 函数,F 在高度 C 的等高线 F1(C)={x|F(x)=C} 若没有临界点,则是可定向曲面,n=FF
  • 若参数曲面

{x1=x1(u1,,um1)xm=xm(u1,,um1)

是一个 URm1x(U)Rm 的微分同胚,则曲面为可定向曲面。

Ni(x)=(1)m+idet(x1,,x^i,,xm)(u1,,um1)

其中 x^i 表示去掉第 i 行。

由于是微分同胚,Ni(x) 不均为零。

n(x)=(Ni(x)N1(x)2++Nm(x)2)T

  • Möbius{x=(4+tcosθ2)cosθy=(4+tcosθ2)sinθz=tsinθ2, 1<t<1,0θ2π不可定向曲面。因为在 θ=0,2π 时对应了同一排点,法向量恰好反向,不满足微分同胚一一对应的条件。

定义(Σ,n) 是一个定向曲面,对连续向量场 F:ΣR3,称 ΣF,ndσ 为向量场 F 沿曲面 Σ 的法方向场 n 的积分,称为向量场 F 关于有向曲面 Σ通量

定理C1 正则的参数曲面 ΣR3{x=x(u1,u2)y=y(u1,u2)z=z(u1,u2) , (u1,u2)DR2,满足 xu1×xu2n 的方向一致。则对于任何连续向量场 F:ΣR3

ΣF,ndσ=Ddet(F,xu1,xu2)du1du2

其中 dσΣ 的无向面积微元。ndσ=xu1×xu2du1du2。如果反向则为 xu2×xu1du1du2

证明 考虑行列式的几何意义,其是两个无穷小和 F 张成的平行多面体的三维体积。

定义 二阶微分形式是一个反对称、双线性函数场 ω

它作用于一对向量场 ξ,η,得到一个函数

ω(ξ,η)(P)=ωP(ξ(P),η(P))

反对称:ω(ξ,η)=ω(η,ξ)

双线性:对任意 a,bRω(aξ+bη,ζ)=aω(ξ,ζ)+bω(η,ζ),ω(ζ,aξ+bη)=aω(ζ,ξ)+bω(ζ,η)

称反对称、双线性的函数为一个2-形式

定义ω1,ω2 是两个一阶微分形式,它们的斜积(楔积、外积、wedge product)是一个二阶微分形式

ω1ω2(ξ,η)=|ω1(ξ)ω1(η)ω2(ξ)ω2(η)|

可知 ω1ω2(ξ,η) 关于 ξ,η 反对称、双线性。

特别地,取 ω1=dx,ω2=dy,设 ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)T,η=(η1,η2,η3)T,有

dxdy(η,ξ)=|dx(ξ(x,y,z))dx(η(x,y,z))dy(ξ(x,y,z))dy(η(x,y,z))|=|ξ1η1ξ2η2|

类似地可以有 dydz=|ξ2η2ξ3η3|,dzdx=|ξ3η3ξ1η1|

它们分别是由 ξ,η 构成的空间有向平行四边形在 xy,yz,zx 坐标平面中投影平行四边形的有向面积。

对任意二阶微分形式 ω

ω(ξ,η)=1i,j3ξiηjω(ei,ej)=1i<j3|ξiηiξjηj|ω(ei,ej)=ω(e1,e2)dxdy(ξ,η)+ω(e2,e3)dydz(ξ,η)+ω(e3,e1)dzdx(ξ,η)=|ω(e2,e3)dx(ξ)dx(η)ω(e3,e1)dy(ξ)dy(η)ω(e1,e2)dz(ξ)dz(η)|

所以 R3 中任何二阶微分形式都是 dxdy,dydz,dzdz 的线性组合。

定义 二阶微分形式 ω 在有向曲面 (Σ,n) 上的积分,定义为

Σω=Dω(ux,vx)dudv

其中 ux,vx,n 构成右手系。

考虑不同参数变换下的面积微元。设 u=u(t,s),v=v(t,s) 是保定向微分同胚((u,v)(t,s)>0),记 x~(t,s)=x(u(t,s),v(t,s)),则 (tx~,sx~)=(ux,vx)(u,v)(t,s)

ω(tx~,sx~)dtds=ω(utux+vtvx,usux+vsvx)dtds=ω(ux,vx)(u,v)(t,s)dtds=ω(ux,vx)dudv

所以 dσΣ 的正则表示选择无关。

我们可以将通量转化为二阶微分形式。

v,ndσ=|v1xuxvv2yuyvv3zuzv|=v1dydz+v2dzdx+v3dxdy

dydx=d(rsinθ)d(rcosθ)=(sinθdr+rcosθdθ)(cosθdrrsinθdθ)=rdθdr

二阶微分形式的换元公式,推进与拉回

Φ:R3R3 是一个 C1 映射,Φ(x,y,z)=(X,Y,Z),设 ω(X,Y,Z) 空间中的一个二阶微分形式。

对于 (x,y,z) 空间中的两个向量场 ξ(x,y,z),η(x,y,z)

DΦ(x,y,z)ξ(x,y,z),DΦ(x,y,z)η(x,y,z)

(X,Y,Z) 空间中的向量场,记它们为 Φξ,Φη(推进)。定义

Φω(ξ,η)=ω(Φξ,Φη)

(拉回)

则有

ΣΦω=Φ(Σ)ω

证明

ΣΦω=Du,vΦω(ux,vx)dudv=Du,vω(Φux,Φvx)dudv=Du,vω(DΦ(x)ux,DΦ(x)vx)dudv=Du,vω(ux,vx)dudv链索法则,转化为像的切空间=Φ(Σ)ω

可以推广到高维。

任意维数曲面

k 阶微分形式

k形式是一个作用在 k 个线性函数场,k 重线性的反对称函数:

ω(v1,,vk) 对每个 v 是线性的。

ω(vσ(1),,vσ(k))=(1)#σω(v1,,vk)

#σ 表示排列 σ 的逆序对数。

e1,,em 是基底向量,vi=j=1maijej,则

ω(v1,,vk)=j1,,jka1j1akjkω(ej1,,ejk)=1j1<<jkmσa1jσ(1)akjσ(k)(1)#σω(ej1,,ejk)=1j1<<jkmω(ej1,,ejk)|a1j1akj1a1jkakjk|

dx1,,dxm 是对应基底向量 e1,,em 的坐标函数,记

dxj1dxjk(v1,,vk)=|dxj1(v1)dxj1(vk)dxjk(v1)dxjk(vk)|

那么其是一个 k形式,且对于所有 k形式,有

ω=1j1<<jkmω(ej1,,ejk)dxj1dxjk

这说明所有的 k形式组成了 (mk) 维的线性空间,所有 dxj1dxjk 构成了空间的一组基。

ΣRm 中的超曲面,Φ:(Rm1)URmΣC1 正则参数表示,

n=|e1x1u1x1um1emxmu1xmum1||e1x1u1x1um1emxmu1xmum1|

Σ 的连续单位法向量场。

v=(v1,,vm)TΣ 上的连续向量场,v 沿有向曲面 (Σ,n) 的通量为

Σv,ndσ=U|v1x1u1x1um1vmxmu1xmum1|du1du2dum1=Σk=1m(1)k1vkdx1dxk^dxm

其中 dxk^ 表示去掉这一项。

散度、旋度

在直角坐标系中,我们定义向量场 X=(X1,,Xm)T 的散度为

div X=X=X1x1++Xmxm

Gauss 公式

设有界闭区域 ΩRm 的边界 Ω 是一个分片 C1 正则曲面,n 方向朝向无界区域。则对 Ω 上的任意 C1 向量场 X,都有

ΩX,ndσ=Ωdiv Xdμ

用微分形式表达,对任何 m1 阶微分形式 ω,都有

Ωω=Ωdω

其中

ω=k=1m(1)k1Xkdx1dxk^dxm

dω=k=1mXkxkdx1dxm

证明 分三步。

  • [0,1]m 上成立。

  • Φ([0,1]m) 上成立。

Φ[0,1]mω=[0,1]mΦω=[0,1]md(Φω)=[0,1]mdω(DΦ)=[0,1]mΦ(dω)=Φ[0,1]mdω

  • Ω 分成若干个 Φ 的并。

阿基米德定律:全部或部分浸没于流体中的物体 所受到的浮力的大小等于它所排开流体的重量。

Ω 是物体在流体中所占的区域,z 是深度,则 (x,y,z) 处的压强为 ρgznn 是单位外法向量。

F=Ωρgzn=Du,vρgz|ixuxvjyuyvkzuzv|dudv=Ωρgzidydz+ρgzjdzdx+ρgzkdxdy=Ωρgdxdydzk=ρgVk

在直角坐标系中,我们定义向量场 X=(X1,,Xm)T 的旋度为

curl F=rot F=(X3x2X2x3,X1x3X3x1,X2x1X1x2)

想法来自

12(DF(DF)T)i,j 两行两列的子阵

12(0XjxiXixjXixjXjxi0)

描述了向量场 Fxixj 坐标平面中的旋转。

Stokes 公式

ΣR3 中的二维 C1 有向曲面,Σ 是逐段 C1 曲线,其方向为左手指向 Σ 区域。设 FC1 向量场,则

ΣF,dl=Σcurl F,ndσ

用微分形式表达,对任何一阶微分形式 ω,都有

Σω=Σdω

后者可以推广到任意维数。

证明 同样分三步。

  • [0,1]m 上成立。Green 公式。

  • Φ([0,1]m) 上成立。

  • Σ 分成若干个 Φ 的并。

可知在任何维数,有势场 保守场 无旋场 有势场。

场论

算子,对函数 fff 的梯度,对应的微分形式为 df,在笛卡尔坐标系下为坐标偏导数组成的向量。

对向量场 F×FF 的旋度,F 对应一阶微分形式 ω,则 ×F 对应 dω

×F=(F23F32F31F13F12F21)=|ixF1jyF2kzF3|

由行列式的形式,我们可以理解为什么使用叉乘 ×

FF 的散度,F 对应二阶微分形式 ω,则 F 对应于 dω。在笛卡尔坐标系下

F=Fx1+Fy2+Fz3

  • 梯度场是无旋场:×f=0

  • 旋度场是无源场:(×F)=0

  • 上述两式的统一:对任何微分形式 ω,有 ddω=0

  • ,×, 都是线性的。

Leibniz 公式

  • (fg)=fg+gf
  • ×(μF)=μ×F+μ×F,其中 μ 为线性函数场。
  • (μF)=μF+μF
  • (F×G)=G(×F)F(×G)

用微分形式写成统一形式:对任何微分形式 ω1,ω2

d(ω1ω2)=dω1ω2+(1)#ω1ω1dω2

其中 #ω1ω1 的阶数。

ω=f 是函数时,可以视其为 0 阶微分形式,规定 fω=ωf=fω

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