曲面积分笔记

原文发表于 \(\text{2022-05-18 21:13:02}\)。

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论一个 OIer 对分析和几何的理解能有多差。

目录

• 第一型曲线积分
• 第一型曲面积分
  • 二维曲面
  • 任意维数曲面
• 第二类曲线积分
• 叉积
  • \(\color{green}{\textrm{Green}}\) 公式
  • 旋度、散度
  • 一阶微分形式确定的微分方程
• 第二类曲面积分
  • 二维曲面
  • 二阶微分形式的换元公式，推进与拉回
• 任意维数曲面
  • \(k\) 阶微分形式
  • 散度、旋度
• 场论

第一型曲线积分

正则的 \(C^1\) 的参数曲线 \(\bm x\) 的弧长为

\[\int_{[a, b]} \|\bm x'(t)\|\mathrm dt \]

若 \(C^1\) 函数 \(t=t(s)\) 满足 \(t[\alpha, \beta]=[a, b]\)，则

\[\int_{[\alpha, \beta]} \|\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\bm x(t(s))\|\mathrm ds=\int_{[\alpha, \beta]} \|\bm x'(t(s))t'(s)\|\mathrm ds=\int_{[\alpha, \beta]} \|\bm x'(t(s))\||t'(s)|\mathrm ds=\int_{[a, b]} \|\bm x'(t(s))\|\mathrm dt(s) \]

说明对任意正则 \(C^1\) 函数 \(t\)， \(\bm x\circ t\) 的弧长都相同。弧长与参数化形式的选择无关。

记 \(l(t)=\int_{[a, t]} \|\bm x'(s)\|\mathrm ds\) 为曲线 \(\gamma\) 的弧长参数。

若 \(\bm x\) 以弧长参数 \(l\) 为自变量，则 \(\|\bm x'(l)\|=1\)。

设 \(f:\gamma \to \mathbb R\) 为连续函数，\(\bm x(t)\) 为曲线 \(\gamma\) 的任意一个 \(C^1\) 的参数化表示，记

\[\int_\gamma f\mathrm dl=\int_{[a, b]} f(\bm x(t)) \|\bm x'(t)\|\mathrm dt \]

称为 \(f\) 沿 \(\gamma\) 的积分。同理，根据积分的换元公式可知，上述积分的值与参数化表示 \(\bm x\) 的选取无关。

考虑在不同坐标系下的弧长。在欧氏空间直角坐标系下，

\(\mathrm dl=\|\bm x'(t)\|\mathrm dt=\sqrt{\langle \bm x'(t), \bm x'(t)\rangle}\mathrm dt=\sqrt{\sum (\mathrm d\bm x^k)^2}\)

若有坐标变换 \(\bm x=\varphi(\bm u)\)，则

\[\begin{aligned}&\mathrm dl=\sqrt{\left \langle \bm x'(t), \bm x'(t)\right \rangle}\mathrm dt=\sqrt{\left \langle \partial \varphi(\bm u(t))\bm u'(t), \partial \varphi(\bm u(t))\bm u'(t) \right \rangle}\mathrm dt \\ =&\sqrt{\left \langle \sum_i \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}(\bm u(t))(u_i)'(t), \sum_j \frac{\partial \bm x}{\partial u_j}(\bm u(t))(u_j)'(t)\right \rangle} \\ =&\sqrt{\sum_{i, j} \left \langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}(\bm u(t)), \frac{\partial \bm x}{\partial u_j}(\bm u(t)) \right \rangle\mathrm du_i\mathrm du_j} \\ =&\sqrt{(\mathrm du_i, \ldots, \mathrm du_m) \Gamma(\partial \varphi(\bm u))\begin{pmatrix}\mathrm du_i \\ \vdots \\ \mathrm du_m\end{pmatrix}}\end{aligned} \]

其中 \(\Gamma(v_1, v_2, \ldots, v_k)\) 称为 \(\textrm{Gram}\) 矩阵或度量矩阵，为

\[\begin{bmatrix}\langle v_1, v_1 \rangle & \langle v_1, v_2 \rangle & \ldots & \langle v_1, v_k \rangle \\ \langle v_2, v_1 \rangle & \langle v_2, v_2 \rangle & \ldots & \langle v_2, v_k \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_k, v_1 \rangle & \langle v_k, v_2 \rangle & \ldots & \langle v_k, v_k \rangle\end{bmatrix} \]

定理 \(\sqrt{\det \Gamma(v_1, \ldots, v_k)}\) 是由 \(v_1, \ldots, v_k\) 张成的平行多面体的 \(k\) 维体积。

对 \(k\) 做数学归纳法，用内积的双线性性和行列式倍加不变即可。

定理 设 \(A_{(m \times m)}\) 是可逆方阵，则 \(\det A\) 是由 \(A\) 的所有列向量张成的平行多面体的 \(m\) 维体积。

例 平面极坐标 \((r, \theta)\)，\(\frac{\partial \bm x}{\partial r}=\begin{pmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta\end{pmatrix}, \frac{\partial \bm x}{\partial \theta}=\begin{pmatrix}-r\sin \theta \\ r \cos \theta\end{pmatrix}\)，\(\Gamma=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix}\)，故 \(\mathrm dl=\sqrt{(\mathrm dr)^2+(r\mathrm d\theta)^2}\)。其几何解释为，在 \([\theta, \theta+\Delta \theta]\) 转成的小扇形区域，微弧长可以看作直线，\((r, \theta),(r, \theta+\Delta \theta), (r+\Delta r, \theta+\Delta \theta)\) 可以看作小直角三角形，在其上应用勾股定理。

第一型曲面积分

二维曲面

\(\mathbb R^m(m \geq 3)\) 中的二维曲面 \(\Sigma\) 的 \(C^1\) 正则参数是一个单射

\(\bm x:D \to \mathbb R^m, \bm x(u_1, u_2)=\begin{pmatrix}x_1(u_1, u_2) \\ x_2(u_1, u_2) \\ \ldots \\ x_m(u_1, u_2)\end{pmatrix}, (u_1, u_2) \in D \subseteq \mathbb R^2\)

满足 \(\frac{\partial (x_1, x_2, \ldots, x_m)}{\partial (u_1, u_2)}\) 是列满秩矩阵（也即不会在任何地方退化为一条线），它的列空间即为曲面 \(\Sigma\) 在 \(\bm x\) 处的切空间。

\(\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\mathrm du_1, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\mathrm du_2\) 形成的无穷小的平行四边形的面积为

\[\mathrm d\sigma=\sqrt{\det \Gamma\left(\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\right)}\mathrm du_1\mathrm du_2 \]

在物理上常写作

\(\sqrt{EG-F^2}\mathrm du_1\mathrm du_2\)，其中，

\(E=\left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\right\rangle, F=\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\rangle, G=\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\rangle\)

称 \(\mathrm d\sigma\) 为 \(\Sigma\) 的面积微元。定义 \(\Sigma\) 的面积为

\[\sigma(\Sigma)=\int_\Sigma \mathrm d\sigma=\int_D \sqrt{\det\left(\left \langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}\frac{\partial \bm x}{\partial u_j}\right \rangle\right)_{2 \times 2}}\mathrm du_1\mathrm du_2 \]

考虑不同参数变换下的面积微元。若有正则的参数变换 \(u_1=u_1(t_1, t_2), u_2=u_2(t_1, t_2)\)（\((t_1, t_2) \in \Omega\)），即它是 \(\Omega\) 到 \(D\) 的微分同胚，则考虑 \(\tilde {\bm x}(t_1, t_2)\) 变换到 \(\bm x(u_1(t_1, t_2), u_2(t_1, t_2))\) 的过程。

\[\begin{aligned}&\sqrt{\det\left(\left\langle \frac{\partial \tilde {\bm x}}{\partial t_i}, \frac{\partial \tilde {\bm x}}{\partial t_j}\right\rangle\right)_{2 \times 2}} \mathrm dt_1 \mathrm dt_2 \\ =&\sqrt{\det\left(\left \langle \sum_{k=1}^2 \frac{\partial \bm x}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial t_i}, \sum_{l=1}^2 \frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\frac{\partial u_l}{\partial t_j}\right \rangle\right)_{2 \times 2}}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =&\sqrt{\det\left(\sum_{1 \leq k, l \leq 2} \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\frac{\partial u_k}{\partial t_i}\frac{\partial u_l}{\partial t_j}\right)_{2 \times 2}}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =& \sqrt{\det\left( \frac{\partial(u_1, u_2)}{\partial (t_1, t_2)}^T \left(\left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle \right)_{2 \times 2}\frac{\partial(u_1, u_2)}{\partial (t_1, t_2)}\right)}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =& \sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{2 \times 2}}\left|\det \frac{\partial(u_1, u_2)}{\partial (t_1, t_2)}\right|\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =& \sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{2 \times 2}}\mathrm du_1\mathrm du_2\end{aligned} \]

所以 \(\mathrm d\sigma\) 与 \(\Sigma\) 的正则表示选择无关。

例 求有界闭区域 \(D \subset \mathbb R^2\) 中 \(C^1\) 函数 \(f:D \to \mathbb R\) 的图像 \(\Sigma=\{(x, y, f(x, y))|(x, y) \in D\}\) 的面积。

\(\Sigma\) 的两个切向量

\(\bm v_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ f_x(x, y)\end{pmatrix}, \bm v_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ f_y(x, y)\end{pmatrix}\)

\(E=\langle \bm v_1, \bm v_1\rang=1+(f_x)^2, F=f_xf_y, G=1+(f_y)^2\)

\(\mathrm d\sigma=\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\mathrm dx\mathrm dy =\sqrt{1+\|\nabla f(x, y)\|^2}\mathrm dx\mathrm dy\)

几何解释为，\((1, \|\nabla f(x, y)\|)\) 为切平面与 \(xy\) 坐标形成的直角三角形的两边长度。

设 \(f:\Sigma \to \mathbb R\) 为连续函数，\(\bm x:D \to \mathbb R^m\) 为二元曲面 \(\Sigma\) 的任意一个 \(C^1\) 的参数化表示，记

\[\int_\Sigma f\mathrm d\sigma=\int_Df(x)\sqrt{\det\left(\left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_j}\right\rangle\right)_{2 \times 2}} \mathrm du_1 \mathrm du_2 \]

称它为 \(f\) 在曲面 \(\Sigma\) 上的积分。同理，上述积分的值与参数化表示 \(\bm x\) 的选取无关。

任意维数曲面

\(\Sigma\) 是一个 \(k\) 维的 \(C^1\) 正则曲面，\(D \subseteq \mathbb R^k\) 是一个区域，\(\frac{\partial \bm x}{\partial u_{1\sim k}}\) 线性无关，则 \(\Sigma\) 的 \(k\) 维体积微元为

\[\mathrm d\sigma=\sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{k \times k}}\mathrm du_1\mathrm du_2\ldots \mathrm du_k \]

设 \(f:\Sigma \to \mathbb R\) 为连续函数，记

\(\int_\Sigma f\mathrm d\sigma=\int_D f(\bm x)\sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{k \times k}}\mathrm du_1\mathrm du_2\ldots \mathrm du_k\)

称它为 \(f\) 在曲面 \(\Sigma\) 上的积分。同理，上述积分的值与参数化表示 \(\bm x\) 的选取无关。

例 设 \(\Sigma\) 为 \(m\) 元函数 \(f\) 的图像 \(\{(x_1, \ldots, x_m, f(x_1, \ldots, x_m)|(x_1, \ldots, x_m) \in D\}\)，则

\[\mathrm d\sigma=\sqrt{1+\|\nabla f(x)\|^2}\mathrm dx_1 \ldots\mathrm dx_m \]

证明

设 \(e_1, e_2, \ldots, e_m, e_{m+1}\) 为 \(\mathbb R^{m+1}\) 的标准基，则 \(\Sigma\) 的切向量为

\[v_k=e_k+\frac{\partial f}{\partial x_k}(\bm x)e_{m+1},\ \ k=1, 2, \ldots, m \]

\[\langle v_i, v_j \rangle=\delta_{i, j}+\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bm x)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\bm x) \]

故 \(\left(\langle v_i, v_j \rangle\right)_{m \times m}=I+\nabla f(\bm x)\nabla f(\bm x)^T\)。

任意与 \(\nabla f(\bm x)\) 正交的向量，都是特征值为 \(1\) 的特征向量。

而在 \(\nabla f(\bm x)\) 上的单位向量 \(u=\frac{\nabla f(\bm x)}{\|\nabla f(\bm x)\|}\)，有

\((I+\nabla f(\bm x)\nabla f(\bm x)^T)u=u+\|\nabla f(x)\|^2 uu^Tu=(1+\|\nabla f(\bm x)\|^2)u\)

故特征值为 \(1\)（\(m-1\) 重），\(1+\|\nabla f(\bm x)\|^2\) （\(1\) 重）。

故 \(\det (\langle v_i, v_j\rangle) = 1+\|\nabla f(\bm x)\|^2\)。

第二类曲线积分

\(\bm F: \mathbb R^m \to \mathrm R^m\) 是一个向量场，它在空间 \(\mathbb R^m\) 的每个点 \(\bm x\) 处给出一个向量 \(\bm F(\bm x) \in \mathrm R^m\)。为了区分位置和向量，我们分别使用 \mathbb R^m 和 \bm R^m。

定义向量场 \(\bm F:\R^m \to \mathrm R^m\) 沿 \(C^1\) 的（分段 \(C^1\) 也可）连续路径 \(\bm x:[a, b] \to \mathbb R^m\) 的积分为

\[\int^b_a \left\langle \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t) \right\rangle \mathrm dt \]

例 \(\bm F\) 是一个力场，它在空间每个点 \(\bm x\) 给出一个力 \(\bm F(\bm x)\)，其对质点做的功为

\(W=\int^b_a \langle \bm F(\bm x), \bm x'(t)\rangle\mathrm dt\)

例 如果 \(\gamma\) 是 \(\mathbb R^m\) 中一条 \(C^1\) 曲线，\(\bm T:\gamma \to \mathrm R^m\) 是 \(\gamma\) 的一个连续单位切向量场，则称

\[\int_\gamma \langle \bm F(\bm x), \bm T(\bm x) \rangle \mathrm dl \]

为向量场 \(\bm F\) 沿曲线 \(\gamma\) 的单位切向量场 \(\bm T\) 的环量。

例 如果 \(\gamma\) 是平面上一条 \(C^1\) 的简单封闭曲线，\(\bm n: \gamma \to \mathrm R^2\) 是单位法向量场，称

\[\int_\gamma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm dl=\int_\gamma \langle \bm F(\bm x), \bm n(\bm x) \rangle \mathrm dl \]

为向量场 \(\bm F\) 沿曲线 \(\gamma\) 的法方向 \(\bm n\) 的通量。

而我们知道 \(\bm k \times n=\bm T\)，其中 \(\bm k\) 是平面的单位法向量场，\(\times\) 是叉积。

故

\[\int_\gamma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm dl=\int^b_a \langle \bm F(\bm x(t)), \bm T(\bm x(t)) \times \bm k \rangle \|\bm x'(t)\|\mathrm dt=\int^b_a \langle \bm k \times \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t) \rangle \mathrm dt \]

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我们来复习一下

叉积

叉积（又称向量积、外积、叉乘）是一种在向量空间的二元运算。定义为

\[a \times b = \|a\|\|b\| \sin (\theta) \bm n \]

\(\theta\) 表示它们在所定义的平面的夹角，而 \(\bm n\) 是一个与 \(a, b\) 所构成的平面垂直的单位向量，方向根据右手定则确定。

将右手食指指向 \(a\) 的方向，中指指向 \(b\) 的方向，拇指便指向了 \(\bm n\) 的方向。

设基向量为 \(\bm i, \bm j, \bm k\)，则 \(\bm i \times \bm j=\bm k, \bm j \times \bm k=\bm i, \bm k \times \bm i=\bm j\)。

叉积有以下代数性质：

• \(a \times b = -b \times a\)
• \(a \times a = 0\)
• \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)
• \((a+b) \times c = a\times c + b \times c\)
• \(\lambda a \times b = \lambda(a \times b)=a \times \lambda b\)
• \((a \times b) \cdot c = (b \times c) \cdot a = (c \times a) \cdot b\)

叉积没有乘法结合律。

若两个向量为 \(\bm u=\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}, \bm v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\)，则 \(\bm u \times \bm v = \begin{vmatrix}\bm i & u_1 & v_1 \\ \bm j & u_2 & v_2 \\ \bm k & u_3 & v_3\end{vmatrix}\)。

更一般地，给定了 \(\mathbb R^m\) 中的 \(m-1\) 个线性无关的向量 \(\mathbf u^1, \mathbf u^2, \ldots, \mathbf u^{m-1}\)，一个与其全部正交的向量是

\(\mathbf v=\begin{vmatrix}\bm e_1 & u^1_1 & u^2_1 & \ldots & u^{m-1}_1 \\ \bm e_2 & u^1_2 & u^2_2 & \ldots & u^{m-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bm{e}_m & u^1_m & u^2_m & \ldots & u^{m-1}_m\end{vmatrix}\)

因为对任意向量 \(w\)，根据行列式一列的展开公式可知 \(\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle=\begin{vmatrix}w_1 & u^1_1 & u^2_1 & \ldots & u^{m-1}_1 \\ w_2 & u^1_2 & u^2_2 & \ldots & u^{m-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_m & u^1_m & u^2_m & \ldots & u^{m-1}_m\end{vmatrix}\)

故 \(\langle \mathbf v, \mathbf u^i \rangle=0\)（\(1 \leq i \leq m-1\)）。

叉积只能在一些特殊的维数上定义。因为在一些维数上不存在比较良好的运算。

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第二类曲线积分与曲线的同向正则参数表示的选择无关。设可微函数 \(t:[\alpha, \beta] \to [a, b]\)，\(t(\alpha)=a, t(\beta)=b, \tilde {\bm x}(s)=\bm x(t(s))\)，则

\[\int^\beta_\alpha \langle \bm F(\tilde {\bm x}(s)), \tilde {\bm x}'(s) \rangle \mathrm ds=\int^\beta_\alpha \langle \bm F(\bm x(t(s)), \bm x'(t(s))t'(s) \rangle \mathrm ds=\int^b_a \langle \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t) \rangle \mathrm dt \]

而反向参数表示得到的结果为相反数。

同向指的是起点和终点一致，不要求 \(t\) 递增。因为会抵消掉。这也是沿路径和沿曲线积分的不同。

一般地，我们固定地使用一种统一的方向。自然正向是曲线右手冲着无界区域的方向。

我们把内积式展开

\(\bm F=\begin{pmatrix}F_1 \\ \vdots \\ F_m\end{pmatrix}, \bm x=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}\)，则有

\[\int^b_a \langle \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t))\mathrm dt=\int^b_a F_1(\bm x(t)) \mathrm dx_1(t)+\ldots+F_m(\bm x(t))\mathrm dx_m(t) \]

称 \(\omega=F_1(\bm x)\mathrm dx_1+\ldots+F_m(\bm x)\mathrm dx_m\) 为一个一阶微分形式。

一个一阶微分形式是空间中的一个线性函数场，它在每点 \(P\) 处指定一个线性函数 \(\omega_P\)。\(\omega\) 作用于一个向量场 \(X\) 得到一个函数 \(\omega(X)\)。

\[\omega(X)(P)=\omega_P(X(P)) \]

故

\[\int_\gamma \omega=\int^b_a \omega_{\bm x(t)} \bm x'(t)\mathrm dt \]

在寻找通用计算方法之前，先考虑一个特殊的情况。

如果 \(\bm F\) 存在 \(f\) 使得 \(\bm F(x)=\nabla f(x), \forall x\)，则称 \(\bm F\) 为梯度向量场或有势向量场，\(f\) 为 \(\bm F\) 的一个势函数。

根据链索法则的矩阵形式（\(J\) 为 \(\textrm{Jacobi}\) 矩阵）

\[J(F \circ G)(\bm x_0)=JF(\mathrm y_0) \cdot JG(\bm x_0) \]

可知

\(\int_\gamma \langle \nabla f, \mathrm dl \rangle=\int^b_a \langle \nabla f(\bm x(t)), \bm x'(t) \rangle \mathrm dt=\int^b_a \mathrm df(\bm x(t))=f(\bm x(b)) - f(\bm x(a))=f(B)-f(A)\)

这说明，梯度向量场沿任何 \(C^1\) 路径的值只与路径起点和终点的位置有关。

称积分与路径无关的向量场为保守场。可知梯度向量场都是保守场。而保守场也同样都是梯度向量场。证明将在 \(\textrm{Green}\) 公式处提及。

\(\color{green}{\textrm{Green}}\) 公式

设 \(\Omega\) 是平面有界闭区域，边界 \(\partial \Omega\) 由有限条 \(C^1\) 曲线组成，自然正向。则对任何 \(C^1\) 函数 \(X, Y\)，都有

\[\int_{\partial \Omega} X\mathrm dx+Y\mathrm dy=\iint_{\Omega} \left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy \]

证明 考虑将 \(\Omega\) 拆成若干个区域 \(D\)，每个区域是 \(x=a, x=b, y=\varphi(x), y=\psi(x)\)（\(\varphi \geq \psi\)）围成的区域，或是 \(y=\alpha, y=\beta, x=f(y), x=g(y)\) 围成的区域。

若在 \(D\) 上 \(\textrm{Green}\) 公式成立，则我们可以将 \(\Omega\) 分成若干个 \(D\)，\(\int_{\partial \Omega}\mathrm dl=\sum \int_{\partial D}\mathrm dl\)，\(\iint_{\Omega} \mathrm dS=\sum \iint_D \mathrm dS\)，故 \(\Omega\) 上也成立。

仅对第一种情况证明。第二种同理。

\[\begin{aligned}&\int_{\partial D}X \mathrm dx \\ =&\int_{y=\psi(x), a \leq x \leq b} X \mathrm dx-\int_{y=\varphi(x), a \leq x \leq b} X\mathrm dx \\ =&\int^b_a X(x, \psi(x))-X(x, \varphi(x))\mathrm dx \\ =&\int^b_a \int^{\varphi(x)}_{\psi(x)}-\frac{\partial X}{\partial y}\mathrm dx\mathrm dy \\ =&\iint_D -\frac{\partial X}{\partial y}\mathrm dx\mathrm dy\end{aligned} \]

类似的，

\[\begin{aligned} &\int_{\partial D} Y\mathrm dy \\ =&\int_{y = \psi(x), a \leq x \leq b} Y \mathrm dy+\int^{\varphi(b)}_{\psi(b)} Y(b, y)\mathrm dy-\int_{y = \varphi(x), a \leq x \leq b} Y\mathrm dy-\int^{\varphi(a)}_{\psi(a)} Y(a, y)\mathrm dy \\ =& \int^b_a Y(x, \psi(x))\psi'(x)-Y(x, \varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx+ \left.\int^{\varphi(t)}_{\psi(t)}Y(t, y)\mathrm dy\right|^b_a \\ =&\int^b_a Y(x, \psi(x))\psi'(x)-Y(x, \varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx+ \frac{\partial }{\partial t} \int^b_a \int^{\varphi(t)}_{\psi(t)} Y(t, y)\mathrm dy\mathrm dt \\ =&\int^b_a Y(x, \psi(x))\psi'(x)-Y(x, \varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx+\int^b_a \left(\int^{\varphi(t)}_{\psi(t)} Y(t, y)\mathrm dy\right)'_t \mathrm dy \mathrm dt \\ =&\int^b_a \int^{\varphi(t)}_{\psi(t)}\frac{\partial Y}{\partial x}\mathrm dy\mathrm dt \\ =& \iint_D \frac{\partial Y}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dy\end{aligned} \]

例 \(\Omega\) 的面积为

\[\int_{\partial \Omega} x \mathrm dy=\iint_{\Omega} \mathrm d\sigma \]

旋度、散度

对平面向量场 \(\bm F\)，称 \(\textrm{curl } \bm F=\textrm{rot } \bm F=\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\) 为 \(\bm F\) 的旋度，\(\textrm{div }\bm F=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}\) 为 \(\bm F\) 的散度。

环量-旋度公式

\[\int_{\partial \Omega} \langle \bm F, \mathrm dl \rangle = \iint_{\Omega} \textrm{curl } \bm F \mathrm d\sigma \]

通量-散度公式

\[\int_{\partial \Omega} \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm dl=\iint_{\Omega} \textrm{div }\bm F \mathrm d\sigma \]

有势场：\(\bm F=\nabla f\)。

保守场：\(\int^B_A \langle \bm F, \mathrm dl \rangle\) 与路径无关。

无旋场：\(\textrm {curl }\bm F=0\)。

无源场：\(\textrm{div } \bm F=0\)。

线性向量场的 \(\textrm{Helmholtz}\) 分解：一个向量场能够分成一个无旋场和一个无源场的和。

\[\bm F(x, y)=\begin{pmatrix}a(x, y) & b(x, y) \\ c(x, y) & d(x, y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax + by \\ cx + dy\end{pmatrix} \]

\(A=\begin{pmatrix}a(x, y) & b(x, y) \\ c(x, y) & d(x, y)\end{pmatrix}\)

则 \(\textrm{curl } \bm F=c-b, \textrm{div } \bm F=a+d=\textrm{tr } A\)。

令 \(\bm F_1=\frac{A+A^T} 2, \bm F_2=\frac{A-A^T}2\)。

则 \(\bm F_1\) 无旋，\(\bm F_2\) 无源。

定义 集合 \(A \subset \mathbb R^m\) 是单连通的，如果 \(A\) 中任何闭曲线都可以在 \(A\) 中连续变形为一个点。

定理 有势场 \(\Leftrightarrow\) 保守场 \(\Leftrightarrow\) 任何沿环路积分 \(=0 \Leftrightarrow\) 区域单连通的无旋场。

• 保守场 \(\Leftrightarrow\) 任何沿环路积分 \(=0\)，显然。

• 有势场 \(\Rightarrow\) 保守场，微积分基本定理。

• 有势场 \(\Leftarrow\) 保守场

  考虑固定一点 \(A\)，令 \(f(x)=\int^x_A \langle \bm F, \mathrm dl \rangle\)，可知积分值与路径无关。

  \[\begin{aligned}&\lim_{t \to 0^+}\frac{f(x+t\bm e_k)-f(x)}t\\ =&\lim_{t \to 0^+}\frac{\int^t_0 \langle \bm F(x+s\bm e_k), \mathrm d(x+s\bm e_k) \rangle}t \\ =&\lim_{t \to 0^+}\frac{\int^t_0 \bm F^k(x+s\bm e_k)\mathrm ds}t\\ =&\lim_{t \to 0^+}\frac{t \bm F^k(x+\xi\bm e_k)}t & 0 \leq \xi \leq 1 \\ =&\lim_{t \to 0^+}F^k(x+\xi\bm e_k) & 0 \leq \xi \leq 1 \\ =&F^k(x)\end{aligned} \]

​ 其中上标为取其在一维的坐标分量。

​ 这说明，\(\nabla f=\bm F\)。\(\bm F\) 是有势场。

• 区域单连通时，有势场 \(\Leftrightarrow\) 无旋场。代入 \(\textrm{Green}\) 公式即可。

不单连通的无旋场并不能推出其是有势场。考虑

\[\bm F=\begin{pmatrix}-\frac y{x^2+y^2} \\ \frac x{x^2+y^2} \end{pmatrix} \]

是无旋场。但

\[\int_{x^2+y^2=R^2} -\frac y{x^2+y^2}\mathrm dx+\frac x{x^2+y^2}\mathrm dy=2\pi \]

这是因为 \((0, 0)\) 处 \(\bm F\) 没有定义，有流量在偷跑。

一阶微分形式确定的微分方程

\[X(x, y)\mathrm dx+Y(x, y)\mathrm dy=0 \]

称 \((x(t), y(t))\) 是这个微分方程的一个积分曲线，如果

\[X(x(t), y(t))x'(t)+Y(x(t), y(t))y'(t)=0 \]

当 \((X, Y) \neq 0\) 时，上述微分方程可以写成

\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac XY\) 或 \(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=-\frac YX\)

此时方程的解是一条曲线。

如果存在函数 \(f\) 使得 \((X, Y)^T\) 平行于 \(\nabla f\)，则微分方程可以写成 \(\nabla f=0\)，也即 \(f(x, y)=c\) 的形式，也即 \(f\) 的任意等高线都是微分方程的解。

如果存在函数 \(\mu\) 使得 \((\mu X, \mu Y)^T\) 平行于 \(\nabla f\)，则微分方程 \(\mu X\mathrm dx+\mu Y\mathrm dy=0\) 可以写成 \(\nabla f=0\)，也即 \(f(x, y)=c\) 的形式。称 \(\mu\) 是微分形式 \(X \mathrm dx+Y\mathrm dy\) 的积分因子。

第二类曲面积分

二维曲面

定义 设 \(\Sigma \subset \mathbb R^m\) 是一个 \(m-1\) 维 \(C^1\) 正则曲面，称 \(\Sigma\) 是一个有向曲面，如果存在连续的单位法向量场 \(\bm n: \Sigma \to \mathbb R^m\)。有向曲面记为 \((\Sigma, \bm n)\)。

例

• 超平面 \(\langle a, x-x_0 \rangle = 0\) 是可定向曲面，\(\bm n=\frac a{\|a\|}\)。
• 球面 \(\sum (x^i)^2=R^2\) 是可定向曲面，\(\bm n=\frac xR\)。
• \(F\) 是 \(m\) 元 \(C^1\) 函数，\(F\) 在高度 \(C\) 的等高线 \(F^{-1}(C)=\{x|F(x)=C\}\) 若没有临界点，则是可定向曲面，\(\bm n=\frac{\nabla F}{\|\nabla F\|}\)。
• 若参数曲面

\[\begin{cases}x^1=x^1(u^1, \ldots, u^{m-1}) \\ \vdots \\ x^m=x^m(u^1, \ldots, u^{m-1})\end{cases} \]

是一个 \(U \subset \mathbb R^{m-1}\to x(U) \subset \mathbb R^m\) 的微分同胚，则曲面为可定向曲面。

记

\[N^i(x)=(-1)^{m+i}\det \frac{\partial(x^1, \ldots, \hat x^i, \ldots, x^m)}{\partial(u^1, \ldots, u^{m-1})} \]

其中 \(\hat x^i\) 表示去掉第 \(i\) 行。

由于是微分同胚，\(N^i(x)\) 不均为零。

\[\bm n(x)=\left(\frac{N^i(x)}{\sqrt{N^1(x)^2+\ldots +N^m(x)^2}}\right)^T \]

• \(\textrm{Möbius}\) 带 \(\begin{cases}x=(4+t \cos \frac \theta2)\cos \theta \\ y=(4+t\cos \frac \theta 2)\sin \theta \\ z=t \sin \frac \theta 2\end{cases},\ -1 < t < 1, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\) 是不可定向曲面。因为在 \(\theta=0, 2\pi\) 时对应了同一排点，法向量恰好反向，不满足微分同胚一一对应的条件。

定义 设 \((\Sigma, \mathbf n)\) 是一个定向曲面，对连续向量场 \(\bm F: \Sigma \to \bm R^3\)，称 \(\int_\Sigma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm d \sigma\) 为向量场 \(\bm F\) 沿曲面 \(\Sigma\) 的法方向场 \(\bm n\) 的积分，称为向量场 \(\bm F\) 关于有向曲面 \(\Sigma\) 的通量。

定理 对 \(C^1\) 正则的参数曲面 \(\Sigma \subset \mathbb R^3\)，\(\begin{cases}x=x(u_1, u_2) \\ y=y(u_1, u_2) \\ z = z(u_1, u_2)\end{cases}\ ,\ (u_1, u_2) \in D \subseteq \mathbb R^2\)，满足 \(\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\times \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\) 与 \(\bm n\) 的方向一致。则对于任何连续向量场 \(\bm F:\Sigma \to \bm R^3\)，

\[\int_\Sigma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm d\sigma=\int_D \det \left(\bm F, \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\right)\mathrm du_1\mathrm du_2 \]

其中 \(\textrm d\sigma\) 为 \(\Sigma\) 的无向面积微元。\(\bm n \mathrm d \sigma=\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\times \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\mathrm du_1 \mathrm du_2\)。如果反向则为 \(\frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\times \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\mathrm du_1 \mathrm du_2\)。

证明 考虑行列式的几何意义，其是两个无穷小和 \(\bm F\) 张成的平行多面体的三维体积。

定义 二阶微分形式是一个反对称、双线性函数场 \(\omega\)：

它作用于一对向量场 \(\xi, \eta\)，得到一个函数

\[\omega(\xi, \eta)(P)=\omega_P(\xi(P), \eta(P)) \]

反对称：\(\omega(\xi, \eta)=-\omega(\eta, \xi)\)

双线性：对任意 \(a, b \in \mathbb R\)，\(\omega(a\xi+b\eta, \zeta)=a\omega(\xi, \zeta)+b\omega(\eta, \zeta), \omega(\zeta, a\xi+b\eta)=a\omega(\zeta, \xi)+b\omega(\zeta, \eta)\)

称反对称、双线性的函数为一个2-形式。

定义 设 \(\omega_1, \omega_2\) 是两个一阶微分形式，它们的斜积（楔积、外积、wedge product）是一个二阶微分形式

\[\omega_1\wedge \omega_2(\xi, \eta)=\begin{vmatrix}\omega_1(\xi) & \omega_1(\eta) \\ \omega_2(\xi) & \omega_2(\eta)\end{vmatrix} \]

可知 \(\omega_1\wedge \omega_2(\xi, \eta)\) 关于 \(\xi, \eta\) 反对称、双线性。

特别地，取 \(\omega_1=\mathrm dx, \omega_2=\mathrm dy\)，设 \(\xi=(\xi^1, \xi^2, \xi^3)^T, \eta=(\eta^1, \eta^2, \eta^3)^T\)，有

\[\mathrm dx \wedge \mathrm dy(\eta, \xi)=\begin{vmatrix}\mathrm dx(\xi(x, y, z)) & \mathrm dx(\eta(x, y, z)) \\ \mathrm dy(\xi(x, y, z)) & \mathrm dy(\eta(x, y, z))\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \xi^1 & \eta^1 \\ \xi^2 & \eta^2\end{vmatrix} \]

类似地可以有 \(\mathrm dy \wedge \mathrm dz=\begin{vmatrix} \xi^2 & \eta^2 \\ \xi^3 & \eta^3 \end{vmatrix}, \mathrm dz \wedge \mathrm dx=\begin{vmatrix}\xi^3 & \eta^3 \\ \xi^1 & \eta^1\end{vmatrix}\)。

它们分别是由 \(\xi, \eta\) 构成的空间有向平行四边形在 \(xy, yz, zx\) 坐标平面中投影平行四边形的有向面积。

对任意二阶微分形式 \(\omega\)，

\[\begin{aligned}&\omega(\xi, \eta)=\sum_{1 \leq i, j \leq 3} \xi^i \eta^j \omega(\bm e_i, \bm e_j) \\=&\sum_{1 \leq i < j \leq 3} \begin{vmatrix}\xi^i & \eta^i \\ \xi^j & \eta^j\end{vmatrix} \omega(\bm e_i, \bm e_j) \\=&\omega(\bm e_1, \bm e_2) \mathrm dx \wedge \mathrm dy(\xi, \eta)+\omega(\bm e_2, \bm e_3) \mathrm dy \wedge \mathrm dz(\xi, \eta)+\omega(\bm e_3, \bm e_1) \mathrm dz \wedge \mathrm dx(\xi, \eta) \\ =&\begin{vmatrix} \omega(\bm e_2, \bm e_3) & \mathrm dx(\xi) & \mathrm dx(\eta) \\ \omega(\bm e_3, \bm e_1) & \mathrm dy(\xi) & \mathrm dy(\eta) \\ \omega(\bm e_1, \bm e_2) & \mathrm dz(\xi) & \mathrm dz(\eta)\end{vmatrix}\end{aligned} \]

所以 \(\mathbb R^3\) 中任何二阶微分形式都是 \(\mathrm dx \wedge \mathrm dy, \mathrm dy \wedge \mathrm dz, \mathrm dz \wedge \mathrm dz\) 的线性组合。

定义 二阶微分形式 \(\omega\) 在有向曲面 \((\Sigma, \bm n)\) 上的积分，定义为

\[\int_\Sigma \omega=\int_D \omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv \]

其中 \(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x, \bm n\) 构成右手系。

考虑不同参数变换下的面积微元。设 \(u=u(t, s), v=v(t, s)\) 是保定向微分同胚（\(\frac{\partial (u, v)}{\partial(t, s)}> 0\)），记 \(\widetilde {\bm x}(t, s)=\bm x(u(t, s), v(t, s))\)，则 \((\partial_t \widetilde {\bm x}, \partial_s \widetilde {\bm x})=(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\frac{\partial (u, v)}{\partial(t, s)}\)，

\[\begin{aligned}&\omega(\partial_t\widetilde {\bm x}, \partial_s \widetilde {\bm x})\mathrm dt\mathrm ds \\ =& \omega\left(\frac{\partial u}{\partial t} \partial _u \bm x+\frac{\partial v}{\partial t}\partial_v \bm x, \frac{\partial u}{\partial s} \partial _u \bm x+\frac{\partial v}{\partial s}\partial_v \bm x\right)\mathrm dt\mathrm ds \\ =&\omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\frac{\partial (u, v)}{\partial(t, s)}\mathrm dt\mathrm ds \\ =& \omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv\end{aligned} \]

所以 \(\mathrm d\sigma\) 与 \(\Sigma\) 的正则表示选择无关。

我们可以将通量转化为二阶微分形式。

\[\langle \bm v, \bm n \rangle \mathrm d \sigma= \begin{vmatrix} \bm v^1 & \frac{\partial \bm x}{\partial u} & \frac{\partial \bm x}{\partial v} \\ \bm v^2 & \frac{\partial \bm y}{\partial u} & \frac{\partial \bm y}{\partial v} \\ \bm v^3 & \frac{\partial \bm z}{\partial u} & \frac{\partial \bm z}{\partial v}\end{vmatrix}=\bm v^1 \mathrm dy \wedge \mathrm dz+\bm v^2 \mathrm dz \wedge \mathrm dx + \bm v^3 \mathrm dx \wedge \mathrm dy \]

例 \(\mathrm dy \wedge \mathrm dx=\mathrm d(r\sin \theta) \wedge \mathrm d(r \cos \theta)=(\sin \theta \mathrm dr+r \cos \theta \mathrm d\theta) \wedge (\cos \theta \mathrm dr - r \sin \theta \mathrm d \theta) = r \mathrm d \theta \wedge \mathrm dr\)

二阶微分形式的换元公式，推进与拉回

设 \(\Phi: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) 是一个 \(C^1\) 映射，\(\Phi(x, y, z)=(X, Y, Z)\)，设 \(\omega\) 是 \((X, Y, Z)\) 空间中的一个二阶微分形式。

对于 \((x, y, z)\) 空间中的两个向量场 \(\xi(x, y, z), \eta(x, y, z)\)，

\[\mathrm D\Phi(x, y, z) \xi(x, y, z), \mathrm D\Phi(x, y, z) \eta(x, y, z) \]

是 \((X, Y, Z)\) 空间中的向量场，记它们为 \(\Phi_* \xi, \Phi_* \eta\)（推进）。定义

\[\Phi^* \omega(\xi, \eta)=\omega(\Phi_* \xi, \Phi_* \eta) \]

（拉回）

则有

\[\int_\Sigma \Phi^* \omega=\int_{\Phi(\Sigma)} \omega \]

证明

\[\begin{aligned}&\int_\Sigma \Phi^* \omega \\ =&\int_{D_{u, v}} \Phi^* \omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv \\ =&\int_{D_{u, v}} \omega(\Phi_*\partial_u \bm x, \Phi_* \partial_v \bm x) \mathrm du\mathrm dv \\ =&\int_{D_{u, v}} \omega(\mathrm D \Phi(\bm x)\partial_u \bm x, \mathrm D \Phi(\bm x)\partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv \\ =&\int_{D_{u, v}}\omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv & \text{链索法则，转化为像的切空间} \\ =& \int_{\Phi(\Sigma)}\omega\end{aligned} \]

可以推广到高维。

任意维数曲面

\(k\) 阶微分形式

\(k-\)形式是一个作用在 \(k\) 个线性函数场，\(k\) 重线性的反对称函数：

\(\omega(v_1, \ldots, v_k)\) 对每个 \(v\) 是线性的。

\[\omega(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})=(-1)^{\#\sigma} \omega(v_1, \ldots, v_k) \]

\(\#\sigma\) 表示排列 \(\sigma\) 的逆序对数。

设 \(\bm e_1, \ldots, \bm e_m\) 是基底向量，\(v_i=\sum_{j=1}^m a^j_i \bm e_j\)，则

\[\begin{aligned}&\omega(v_1, \ldots, v_k) \\ =&\sum_{j_1, \ldots, j_k} a_1^{j_1}\ldots a_k^{j_k} \omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \\ =&\sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq m} \sum_\sigma a_1^{j_{\sigma(1)}}\ldots a_k^{j_{\sigma(k)}}(-1)^{\#\sigma} \omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \\ =& \sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq m}\omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \begin{vmatrix}a_1^{j_1} & \ldots & a_k^{j_1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{j_k} & \ldots & a_k^{j_k}\end{vmatrix}\end{aligned} \]

设 \(\mathrm dx^1, \ldots, \mathrm dx^m\) 是对应基底向量 \(\bm e_1, \ldots, \bm e_m\) 的坐标函数，记

\(\mathrm dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^{j_k}(v_1, \ldots, v_k)=\begin{vmatrix} \mathrm dx^{j_1}(v_1) & \ldots & \mathrm dx^{j_1}(v_k) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm dx^{j_k}(v_1) & \ldots & \mathrm dx^{j_k}(v_k)\end{vmatrix}\)

那么其是一个 \(k-\)形式，且对于所有 \(k-\)形式，有

\[\omega=\sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq m} \omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \mathrm dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^{j_k} \]

这说明所有的 \(k-\)形式组成了 \(\binom mk\) 维的线性空间，所有 \(\mathrm dx^{j_1}\wedge \ldots \wedge \mathrm dx^{j_k}\) 构成了空间的一组基。

设 \(\Sigma\) 是 \(\mathbb R^m\) 中的超曲面，\(\Phi: \left(\mathbb R^{m-1}\supset \right)U \to \mathbb R^m\) 是 \(\Sigma\) 的 \(C^1\) 正则参数表示，

\[\bm n=\frac{\begin{vmatrix} \bm e_1 & \frac{\partial x^1}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial u^{m-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bm e_m & \frac{\partial x^m}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^m}{\partial u^{m-1}}\end{vmatrix}}{\left\|\begin{vmatrix} \bm e_1 & \frac{\partial x^1}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial u^{m-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bm e_m & \frac{\partial x^m}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^m}{\partial u^{m-1}}\end{vmatrix}\right\|} \]

是 \(\Sigma\) 的连续单位法向量场。

设 \(\bm v=(v^1, \ldots, v^m)^T\) 是 \(\Sigma\) 上的连续向量场，\(\bm v\) 沿有向曲面 \((\Sigma, \bm n)\) 的通量为

\[\begin{aligned}&\int_\Sigma \langle \bm v, \bm n \rangle \mathrm d\sigma \\ =& \int_U\begin{vmatrix} v^1 & \frac{\partial x^1}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial u^{m-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v^m & \frac{\partial x^m}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^m}{\partial u^{m-1}}\end{vmatrix}\mathrm du^1\mathrm du^2\ldots\mathrm du^{m-1} \\ =& \int_\Sigma \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} v^k \mathrm dx^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{\mathrm dx^k} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^m\end{aligned} \]

其中 \(\widehat{\mathrm dx^k}\) 表示去掉这一项。

散度、旋度

在直角坐标系中，我们定义向量场 \(\bm X=(X^1, \ldots, X^m)^T\) 的散度为

\[\textrm{div } \bm X=\nabla \cdot \bm X=\frac{\partial X^1}{\partial x^1}+\ldots +\frac{\partial \bm X^m}{\partial x^m} \]

\(\textrm{Gauss}\) 公式

设有界闭区域 \(\Omega \subset \mathbb R^m\) 的边界 \(\partial \Omega\) 是一个分片 \(C^1\) 正则曲面，\(\bm n\) 方向朝向无界区域。则对 \(\Omega\) 上的任意 \(C^1\) 向量场 \(\bm X\)，都有

\[\int_{\partial \Omega} \langle \bm X, \bm n \rangle \mathrm d \sigma=\int_\Omega \textrm{div } \bm X \mathrm d \mu \]

用微分形式表达，对任何 \(m-1\) 阶微分形式 \(\omega\)，都有

\[\int_{\partial \Omega} \omega= \int_\Omega \mathrm d \omega \]

其中

\(\omega=\sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} X^k \mathrm dx^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{\mathrm dx^k} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^m\)

\[\mathrm d \omega=\sum_{k=1}^m \frac{\partial X^k}{\partial x^k} \mathrm dx^1 \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^m \]

证明 分三步。

• 在 \([0, 1]^m\) 上成立。

• 在 \(\Phi([0, 1]^m)\) 上成立。

\[\int_{\partial \Phi[0, 1]^m} \omega=\int_{\partial [0, 1]^m} \Phi^*\omega=\int_{[0, 1]^m} \mathrm d(\Phi^*\omega)=\int_{[0, 1]^m} \mathrm d\omega(\mathrm D \Phi)=\int_{[0, 1]^m} \Phi^*(\mathrm d\omega)=\int_{\Phi[0, 1]^m} \mathrm d\omega \]

• \(\Omega\) 分成若干个 \(\Phi\) 的并。

例 阿基米德定律：全部或部分浸没于流体中的物体 所受到的浮力的大小等于它所排开流体的重量。

设 \(\Omega\) 是物体在流体中所占的区域，\(z\) 是深度，则 \((x, y, z)\) 处的压强为 \(\rho gz \bm n\)，\(\bm n\) 是单位外法向量。

\[\begin{aligned}\bm F=&\iint_{\partial \Omega} \rho g z \bm n \\=&\iint_{D_{u, v}} \rho g z \begin{vmatrix} \bm i & \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \bm j & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \bm k & \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}\end{vmatrix} \mathrm du \wedge \mathrm dv \\ =& \iint_{\partial \Omega} \rho g z \bm i\mathrm dy \wedge \mathrm dz+\rho g z \bm j \mathrm dz \wedge \mathrm dx+\rho gz \bm k \mathrm dx \wedge \mathrm dy \\ =& \iiint_\Omega \rho g \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz \bm k \\ =& \rho g V \bm k\end{aligned} \]

在直角坐标系中，我们定义向量场 \(\bm X=(X^1, \ldots, X^m)^T\) 的旋度为

\[\textrm{curl } \bm F=\textrm{rot } \bm F=\left(\frac{\partial X^3}{\partial x^2}-\frac{\partial X^2}{\partial x^3}, \frac{\partial X^1}{\partial x^3}-\frac{\partial X^3}{\partial x^1}, \frac{\partial X^2}{\partial x^1}-\frac{\partial X^1}{\partial x^2}\right) \]

想法来自

\(\frac 12(\mathrm D\bm F-(\mathrm D \bm F)^T)\) 的 \(i, j\) 两行两列的子阵

\[\frac 12 \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial X^j}{\partial x^i}-\frac{\partial X^i}{\partial x^j} \\ \frac{\partial X^i}{\partial x^j}-\frac{\partial X^j}{\partial x^i} & 0 \end{pmatrix} \]

描述了向量场 \(\bm F\) 在 \(x^ix^j\) 坐标平面中的旋转。

\(\textrm{Stokes}\) 公式

设 \(\Sigma\) 是 \(\mathbb R^3\) 中的二维 \(C^1\) 有向曲面，\(\partial \Sigma\) 是逐段 \(C^1\) 曲线，其方向为左手指向 \(\Sigma\) 区域。设 \(\bm F\) 是 \(C^1\) 向量场，则

\[\int_{\partial \Sigma} \langle\bm F, \mathrm dl \rangle=\iint_\Sigma \langle\textrm{curl }\bm F, \bm n \rangle \mathrm d \sigma \]

用微分形式表达，对任何一阶微分形式 \(\omega\)，都有

\[\int_{\partial \Sigma} \omega=\iint_\Sigma \mathrm d \omega \]

后者可以推广到任意维数。

证明 同样分三步。

• 在 \([0, 1]^m\) 上成立。\(\textrm{Green}\) 公式。

• 在 \(\Phi([0, 1]^m)\) 上成立。

• \(\Sigma\) 分成若干个 \(\Phi\) 的并。

可知在任何维数，有势场 \(\Leftrightarrow\) 保守场 \(\Rightarrow\) 无旋场 \(\stackrel{区域单连通}\Longleftrightarrow\) 有势场。

场论

\(\nabla\) 算子，对函数 \(f\)，\(\nabla f\) 是 \(f\) 的梯度，对应的微分形式为 \(\mathrm df\)，在笛卡尔坐标系下为坐标偏导数组成的向量。

对向量场 \(\bm F\)，\(\nabla \times \bm F\) 是 \(\bm F\) 的旋度，\(\bm F\) 对应一阶微分形式 \(\omega\)，则 \(\nabla \times \bm F\) 对应 \(\mathrm d\omega\)。

\[\nabla \times \bm F=\begin{pmatrix} F^3_2 - F^2_3 \\ F^1_3 - F^3_1 \\ F^2_1 - F^1_2\end{pmatrix}=\begin{vmatrix} \bm i & \frac{\partial }{\partial x} & F^1 \\ \bm j & \frac{\partial }{\partial y} & F^2 \\ \bm k & \frac{\partial}{\partial z} & F^3\end{vmatrix} \]

由行列式的形式，我们可以理解为什么使用叉乘 \(\times\)。

\(\nabla \cdot \bm F\) 是 \(\bm F\) 的散度，\(\bm F\) 对应二阶微分形式 \(\omega\)，则 \(\nabla \cdot \bm F\) 对应于 \(\mathrm d\omega\)。在笛卡尔坐标系下

\[\nabla \cdot \bm F = F^1_x+F^2_y+F^3_z \]

• 梯度场是无旋场：\(\nabla \times \nabla f = 0\)。

• 旋度场是无源场：\(\nabla \cdot(\nabla \times \bm F)=0\)。

• 上述两式的统一：对任何微分形式 \(\omega\)，有 \(\mathrm d\mathrm d \omega=0\)。

• \(\nabla, \nabla \times, \nabla \cdot\) 都是线性的。

\(\textrm{Leibniz}\) 公式

• \(\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f\)
• \(\nabla \times (\mu \bm F)=\mu \nabla \times \bm F + \nabla \mu \times \bm F\)，其中 \(\mu\) 为线性函数场。
• \(\nabla \cdot (\mu \bm F)=\mu \nabla \cdot \bm F + \nabla \mu \cdot \bm F\)
• \(\nabla \cdot(F \times G) = G \cdot(\nabla \times F) - F \cdot(\nabla \times G)\)

用微分形式写成统一形式：对任何微分形式 \(\omega_1, \omega_2\)，

\[\mathrm d(\omega_1 \wedge \omega_2)=\mathrm d \omega_1 \wedge \omega_2+(-1)^{\#\omega_1}\omega_1 \wedge \mathrm d \omega_2 \]

其中 \(\#\omega_1\) 为 \(\omega_1\) 的阶数。

当 \(\omega=f\) 是函数时，可以视其为 \(0\) 阶微分形式，规定 \(f \wedge \omega=\omega\wedge f=f\omega\)。