二次曲线教案

一元二次方程的根与曲线交点问题教案

 

教学目的：带学生体会代数方程与几何之间的联系

 

我们知道，一元二次方程在实数范围内根的情况有0,1,2个根，直线与圆的交点个数有0,1,2个，实际上这并非巧合，在这里我不做过多赘述。我们需要给同学展示代数与几何之间联系。代数方程的解对应着曲线的交点，从几何角度可以处理方程的根，通过方程限制系数，另一方面通过方程的解来判断交点情况。

 

本节课开始需要叙述明白“一元二次方程的根对应圆与直线交点”

 

最后要抛出问题“同为二次曲线，为什么圆与圆的交点最多只有两个，椭圆与椭圆的交点可以有四个？并给出几何方向证明，以及代数方程角度证明。”

 

思考问题“什么样的椭圆交点至多有两个”

 

老师向大家提供了“二次曲线，圆与圆的交点至多只有两个的几何方向证明与代数方向证明”供大家思考揣摩，思考代数方程与几何互相解决问题的美妙。

 

1. 圆与圆至多只有两个交点的几何证明

Proof反证法，

不妨假设两圆交点有三个A、B、C如图，设两圆圆心分别为O、P半径分别为r，R

那么OA=OB=OC=r，PA=PB=PC=R，

△AOP全等于△BOP全等于△COP（SSS）

假设B落在OP右侧，∠POB=∠POC（全等三角形对应角相等）

那么B与C重合，矛盾。

 

 

1. 圆与圆至多只有两个交点的代数证明

Proof为简便起见，不妨设一个圆为圆心在原点的单位圆，两圆的方程为

  

 

假设两式子联立存在三个解，那么方程①减方程②可以消掉x与y的二次项，那么成为一条直线方程，三个解都满足这个直线方程，故三个点在直线上，同时也在圆上，但之前已经推导出，直线与圆至多有两个交点，所以这又导出了矛盾。

 

 

最后，请同学们思考什么时候，椭圆与椭圆交点至多为四个，什么时候椭圆与椭圆交点至多为两个？（我们只思考长轴互相平行的椭圆，提示：考虑离心率）